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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Elfte Vorlesung.

worin der Faktor a wie sich zeigt auch weggelassen werden kann, und dies
führt b, a für an, bn gesagt zu einem tiefer liegenden Satze:
99)

ab {(a + b ; 0') j 1'} ; 0'

a(b j 1') ; 0' j 1' a + b

etc., zu dessen Beweis die Koeffizientenevidenz angerufen werden muss, sinte-
mal weder a (a j 1') ; 0' noch b (b ; 0' j 1') ; 0' = b ; 0' für sich gilt.
Sagen wir für die erste Subsumtion S P, so ist Si j = ai jbi j Pi j zu
zeigen, wo
Pi j = Sh0'h jPk(ai k + Slbi l0'l k + 1'k h).

Um es ganz analytisch zu machen, fügen wir zum allgemeinen Faktor
des Pk den Term 0'k j1'k j hinzu, welcher ja = 0 ist, und zerlegen gemäss dem
Schema a + bc = (a + b)(a + c), das Pk des ersten Faktors sogleich gemäss 12+)
S. 121 evaluirend: so kommt:
Pi j = Sh0'h j(ai j + Slbi l0'l j)Pk(ai k + Slbi l0'l k + 1'k h + 1'k j).
Multipliziren wir ferner das allgemeine Glied der letzten Sl mit 1'l j + 0'l j,
welches ja = 1 ist, und evaluiren die vom ersten Terme herrührende Sl ge-
mäss 12x) S. 121, so tritt der Summand bi j · 0'j k auf, der sich wegen des
folgenden 1'k j zu bi j vereinfacht, und lässt sich dieses Glied als ein von k un-
abhängiges vor das Pk schieben. Es entsteht:
Pi j = Sh0'h j(ai j + Slbi l0'l j){bi j + Pk(ai k + Slbi l0'l k0'l j + 1'k h + 1'k j)}.
Durch Ausmultipliziren lassen sich hieraus leicht die Glieder herausheben:
ai jbi jSh0'h j = (ab)i j · 1 = Si j, womit die Einordnung und damit alles Bis-
herige bewiesen ist.

In 99) dürfte links zum Subjekte natürlich auch noch b ; 0' als Glied
hinzugefügt werden. --

Noch besser als die -- auf S. 272 unten -- angegebene Formel für x
würde diese:
x = (a ; b j bn)[(an j bn) ; b ; b + u + (un j bn) ; b]
empirisch die Resultate zusammenfassen, welche sich für b = einem der vier
Modulwerte auf S. 268 sq. für die allgemeine Wurzel von x ; b = a ; b ergeben
haben. Bei beliebigem b gelingt es mir jedoch nicht, die Lösungen S. 266
des dritten Inversionsproblems noch ähnlich zu vereinfachen.

Studie 20. Auch inbezug auf Partikularlösungen des allgemeinen
(dritten) Inversionsproblems kann ich zu dem in § 19 erreichten Stand-
punkt noch Einiges hinzufügen.

Um nachzuweisen, dass die Einsetzung von u = a · a ; b ; b in die all-
gemeine Lösung 64) unsres Problems auch x = u liefern muss, mithin dieses u
eine partikulare Lösung, Wurzel vorstellt, war die folgende fast monströs er-
scheinende Gleichung als eine allgemein gültige Formel zu beweisen:
[Formel 1] .
In dieser kommt zunächst nach einer S. 267 erwähnten aus a ; b a ; b dort
gefolgerten Formel an + (an j bn) ; b = an das unterwellte Glied in Wegfall. Weil
sodann nach 9) des § 19 a(a ; b ; b) ; b = a ; b ist, so haben wir

Elfte Vorlesung.

worin der Faktor a wie sich zeigt auch weggelassen werden kann, und dies
führt b, a für ā, b̄ gesagt zu einem tiefer liegenden Satze:
99)

ab⋹ {(a + b ; 0') ɟ 1'} ; 0'

a(b ɟ 1') ; 0' ɟ 1' ⋹ a + b

etc., zu dessen Beweis die Koeffizientenevidenz angerufen werden muss, sinte-
mal weder a ⋹ (a ɟ 1') ; 0' noch b ⋹ (b ; 0' ɟ 1') ; 0' = b ; 0' für sich gilt.
Sagen wir für die erste Subsumtion S ⋹ P, so ist Si j = ai jbi j ⋹ Pi j zu
zeigen, wo
Pi j = Σh0'h jΠk(ai k + Σlbi l0'l k + 1'k h).

Um es ganz analytisch zu machen, fügen wir zum allgemeinen Faktor
des Πk den Term 0'k j1'k j hinzu, welcher ja = 0 ist, und zerlegen gemäss dem
Schema a + bc = (a + b)(a + c), das Πk des ersten Faktors sogleich gemäss 12+)
S. 121 evaluirend: so kommt:
Pi j = Σh0'h j(ai j + Σlbi l0'l j)Πk(ai k + Σlbi l0'l k + 1'k h + 1'k j).
Multipliziren wir ferner das allgemeine Glied der letzten Σl mit 1'l j + 0'l j,
welches ja = 1 ist, und evaluiren die vom ersten Terme herrührende Σl ge-
mäss 12×) S. 121, so tritt der Summand bi j · 0'j k auf, der sich wegen des
folgenden 1'k j zu bi j vereinfacht, und lässt sich dieses Glied als ein von k un-
abhängiges vor das Πk schieben. Es entsteht:
Pi j = Σh0'h j(ai j + Σlbi l0'l j){bi j + Πk(ai k + Σlbi l0'l k0'l j + 1'k h + 1'k j)}.
Durch Ausmultipliziren lassen sich hieraus leicht die Glieder herausheben:
ai jbi jΣh0'h j = (ab)i j · 1 = Si j, womit die Einordnung und damit alles Bis-
herige bewiesen ist.

In 99) dürfte links zum Subjekte natürlich auch noch b ; 0' als Glied
hinzugefügt werden. —

Noch besser als die — auf S. 272 unten — angegebene Formel für x
würde diese:
x = (a ; b ɟ b̄̆)[(ā ɟ b̄) ; b̆ ; b + u + (ū ɟ b̄) ; b̆]
empirisch die Resultate zusammenfassen, welche sich für b = einem der vier
Modulwerte auf S. 268 sq. für die allgemeine Wurzel von x ; b = a ; b ergeben
haben. Bei beliebigem b gelingt es mir jedoch nicht, die Lösungen S. 266
des dritten Inversionsproblems noch ähnlich zu vereinfachen.

Studie 20. Auch inbezug auf Partikularlösungen des allgemeinen
(dritten) Inversionsproblems kann ich zu dem in § 19 erreichten Stand-
punkt noch Einiges hinzufügen.

Um nachzuweisen, dass die Einsetzung von u = a · a ; b ; b̆ in die all-
gemeine Lösung 64) unsres Problems auch x = u liefern muss, mithin dieses u
eine partikulare Lösung, Wurzel vorstellt, war die folgende fast monströs er-
scheinende Gleichung als eine allgemein gültige Formel zu beweisen:
[Formel 1] .
In dieser kommt zunächst nach einer S. 267 erwähnten aus a ; b ⋹ a ; b dort
gefolgerten Formel ā + (ā ɟ b̄) ; b̆ = ā das unterwellte Glied in Wegfall. Weil
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[540/0554] Elfte Vorlesung. worin der Faktor a wie sich zeigt auch weggelassen werden kann, und dies führt b, a für ā, b̄ gesagt zu einem tiefer liegenden Satze: 99) ab⋹ {(a + b ; 0') ɟ 1'} ; 0' a(b ɟ 1') ; 0' ɟ 1' ⋹ a + b etc., zu dessen Beweis die Koeffizientenevidenz angerufen werden muss, sinte- mal weder a ⋹ (a ɟ 1') ; 0' noch b ⋹ (b ; 0' ɟ 1') ; 0' = b ; 0' für sich gilt. Sagen wir für die erste Subsumtion S ⋹ P, so ist Si j = ai jbi j ⋹ Pi j zu zeigen, wo Pi j = Σh0'h jΠk(ai k + Σlbi l0'l k + 1'k h). Um es ganz analytisch zu machen, fügen wir zum allgemeinen Faktor des Πk den Term 0'k j1'k j hinzu, welcher ja = 0 ist, und zerlegen gemäss dem Schema a + bc = (a + b)(a + c), das Πk des ersten Faktors sogleich gemäss 12+) S. 121 evaluirend: so kommt: Pi j = Σh0'h j(ai j + Σlbi l0'l j)Πk(ai k + Σlbi l0'l k + 1'k h + 1'k j). Multipliziren wir ferner das allgemeine Glied der letzten Σl mit 1'l j + 0'l j, welches ja = 1 ist, und evaluiren die vom ersten Terme herrührende Σl ge- mäss 12×) S. 121, so tritt der Summand bi j · 0'j k auf, der sich wegen des folgenden 1'k j zu bi j vereinfacht, und lässt sich dieses Glied als ein von k un- abhängiges vor das Πk schieben. Es entsteht: Pi j = Σh0'h j(ai j + Σlbi l0'l j){bi j + Πk(ai k + Σlbi l0'l k0'l j + 1'k h + 1'k j)}. Durch Ausmultipliziren lassen sich hieraus leicht die Glieder herausheben: ai jbi jΣh0'h j = (ab)i j · 1 = Si j, womit die Einordnung und damit alles Bis- herige bewiesen ist. In 99) dürfte links zum Subjekte natürlich auch noch b ; 0' als Glied hinzugefügt werden. — Noch besser als die — auf S. 272 unten — angegebene Formel für x würde diese: x = (a ; b ɟ b̄̆)[(ā ɟ b̄) ; b̆ ; b + u + (ū ɟ b̄) ; b̆] empirisch die Resultate zusammenfassen, welche sich für b = einem der vier Modulwerte auf S. 268 sq. für die allgemeine Wurzel von x ; b = a ; b ergeben haben. Bei beliebigem b gelingt es mir jedoch nicht, die Lösungen S. 266 des dritten Inversionsproblems noch ähnlich zu vereinfachen. Studie 20. Auch inbezug auf Partikularlösungen des allgemeinen (dritten) Inversionsproblems kann ich zu dem in § 19 erreichten Stand- punkt noch Einiges hinzufügen. Um nachzuweisen, dass die Einsetzung von u = a · a ; b ; b̆ in die all- gemeine Lösung 64) unsres Problems auch x = u liefern muss, mithin dieses u eine partikulare Lösung, Wurzel vorstellt, war die folgende fast monströs er- scheinende Gleichung als eine allgemein gültige Formel zu beweisen: [FORMEL]. In dieser kommt zunächst nach einer S. 267 erwähnten aus a ; b ⋹ a ; b dort gefolgerten Formel ā + (ā ɟ b̄) ; b̆ = ā das unterwellte Glied in Wegfall. Weil sodann nach 9) des § 19 a(a ; b ; b̆) ; b = a ; b ist, so haben wir

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 540. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/554>, abgerufen am 23.11.2024.

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