Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.§ 29. Determination des dritten Inversionsproblems. -- worin nämlich der unterwellte Term auch unterdrückbar -- als Ausdruckder gesuchten Bedingung. Dieser kann aber jetzt nicht mehr für sich, sondern erst in Verbindung mit der ersten Subsumtion 103), welche uns c = a ver- bürgte, "hinreichend" genannt werden. Die hinreichende oder volle Bedingung drückte 105) allein noch aus, falls man c für a restituirte und dann für c seinen Wert a ; b j bn einsetzte. In den Koeffizienten stellt sich die letzte Forde- rung 105) einfachst dar als: 1050) ah kPm{(an j bn)h m + Slah l0'k lbl m} = 0. Aus 105) können manche Folgerungen gezogen werden. Die Forderung So muss z. B. gelten: aPi{(an j bn) ; i + i ; bn} = 0, d. h. nach 14) Ferner muss sein aPi(in + a ; inb j 0) = 0. Nach 7) des § 6 ist aber a ; (inb j 0) Nun kann man zwar der ersten Subsumtion 103) für sich auf die all- Allein solange man nicht die Produkte Pi in 105) in geschlossener Es muss deshalb das Problem hier stehn gelassen werden. Versuchte Auswertung jener Pi ferner dürfte kaum Erfolg versprechen, § 29. Determination des dritten Inversionsproblems. — worin nämlich der unterwellte Term auch unterdrückbar — als Ausdruckder gesuchten Bedingung. Dieser kann aber jetzt nicht mehr für sich, sondern erst in Verbindung mit der ersten Subsumtion 103), welche uns c = a ver- bürgte, „hinreichend“ genannt werden. Die hinreichende oder volle Bedingung drückte 105) allein noch aus, falls man c für a restituirte und dann für c seinen Wert a ; b ɟ b̄̆ einsetzte. In den Koeffizienten stellt sich die letzte Forde- rung 105) einfachst dar als: 1050) ah kΠm{(ā ɟ b̄)h m + Σlah l0'k lbl m} = 0. Aus 105) können manche Folgerungen gezogen werden. Die Forderung So muss z. B. gelten: aΠi{(ā ɟ b̄) ; i + ĭ ; b̄̆} = 0, d. h. nach 14) Ferner muss sein aΠi(ī̆ + a ; īb ɟ 0) = 0. Nach 7) des § 6 ist aber a ; (īb ɟ 0) ⋹ Nun kann man zwar der ersten Subsumtion 103) für sich auf die all- Allein solange man nicht die Produkte Πi in 105) in geschlossener Es muss deshalb das Problem hier stehn gelassen werden. Versuchte Auswertung jener Πi ferner dürfte kaum Erfolg versprechen, <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0557" n="543"/><fw place="top" type="header">§ 29. Determination des dritten Inversionsproblems.</fw><lb/> — worin nämlich der unterwellte Term auch unterdrückbar — als Ausdruck<lb/> der gesuchten <hi rendition="#i">Bedingung</hi>. Dieser kann aber jetzt nicht mehr für sich, sondern<lb/> erst in Verbindung mit der ersten Subsumtion 103), welche uns <hi rendition="#i">c</hi> = <hi rendition="#i">a</hi> ver-<lb/> bürgte, „hinreichend“ genannt werden. Die hinreichende oder <hi rendition="#i">volle</hi> Bedingung<lb/> drückte 105) allein noch aus, falls man <hi rendition="#i">c</hi> für <hi rendition="#i">a</hi> restituirte und dann für <hi rendition="#i">c</hi><lb/> seinen Wert <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> ɟ <hi rendition="#i">b̄̆</hi> einsetzte. In den Koeffizienten stellt sich die letzte Forde-<lb/> rung 105) einfachst dar als:<lb/> 105<hi rendition="#sup">0</hi>) <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">a<hi rendition="#sub">h k</hi>Π<hi rendition="#sub">m</hi></hi>{(<hi rendition="#i">ā</hi> ɟ <hi rendition="#i">b̄</hi>)<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">h m</hi></hi> + <hi rendition="#i">Σ<hi rendition="#sub">l</hi>a<hi rendition="#sub">h l</hi></hi>0'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">k l</hi>b<hi rendition="#sub">l m</hi></hi>} = 0.</hi></p><lb/> <p>Aus 105) können manche Folgerungen gezogen werden. Die Forderung<lb/> muss nämlich a fortiori bestehen, wenn man hinter dem <hi rendition="#i">Π<hi rendition="#sub">i</hi></hi> irgendwelche<lb/> Glieder unterdrückt, ev. auch Faktoren zufügt.</p><lb/> <p>So muss z. B. gelten: <hi rendition="#i">aΠ<hi rendition="#sub">i</hi></hi>{(<hi rendition="#i">ā</hi> ɟ <hi rendition="#i">b̄</hi>) ; <hi rendition="#i">i</hi> + <hi rendition="#i">ĭ</hi> ; <hi rendition="#i">b̄̆</hi>} = 0, d. h. nach 14)<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">a</hi>(<hi rendition="#i">ā</hi> ɟ <hi rendition="#i">b̄</hi> ɟ <hi rendition="#i">b̄̆</hi>) = 0 oder <hi rendition="#i">a</hi> ⋹ <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> ; <hi rendition="#i">b̆</hi></hi><lb/> in Bestätigung der zweiten Subsumtion 103). Ebenso folgt dies aus der<lb/> letzten Form von 105) sofort, imgleichen wie: <hi rendition="#i">a</hi>(<hi rendition="#i">ā</hi> ɟ <hi rendition="#i">b̄</hi> ɟ 0) = 0 oder <hi rendition="#i">a</hi> ⋹ <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> ; 1,<lb/> was sich durch 104) bestätigt. Etc.</p><lb/> <p>Ferner muss sein <hi rendition="#i">aΠ<hi rendition="#sub">i</hi></hi>(<hi rendition="#i">ī̆</hi> + <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">īb</hi> ɟ 0) = 0. Nach 7) des § 6 ist aber <hi rendition="#i">a</hi> ; (<hi rendition="#i">īb</hi> ɟ 0) ⋹<lb/> ⋹ <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">īb</hi> ɟ 0 und hier das Subjekt gleich <hi rendition="#i">a</hi> ; (<hi rendition="#i">ī</hi> ɟ 0)(<hi rendition="#i">b</hi> ɟ 0) = <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">ī</hi>(<hi rendition="#i">b</hi> ɟ 0) = <hi rendition="#i">a</hi>(0 ɟ <hi rendition="#i">b̆</hi>) ; <hi rendition="#i">ī</hi>,<lb/> folglich a fortiori <hi rendition="#i">aΠ<hi rendition="#sub">i</hi></hi>{<hi rendition="#i">a</hi>(0 ɟ <hi rendition="#i">b̆</hi>) ; <hi rendition="#i">ī</hi> + <hi rendition="#i">ī̆</hi>} = 0, was nach 18) gibt: <hi rendition="#i">a</hi> · <hi rendition="#i">a</hi>(0 ɟ <hi rendition="#i">b̆</hi>) ; 0'<lb/> oder<lb/> 106) <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">a</hi> · <hi rendition="#i">a</hi> ; 0'(<hi rendition="#i">b</hi> ɟ 0) = 0</hi><lb/> als eine fernere notwendige Bedingung.</p><lb/> <p>Nun kann man zwar der ersten Subsumtion 103) für sich auf die all-<lb/> gemeinste Weise genügen durch den Ansatz: <hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">α</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> ɟ <hi rendition="#i">b̄̆</hi>, wie schon in 4<hi rendition="#sup">0</hi>)<lb/> des § 19) gezeigt; der zweiten für sich durch den Ansatz <hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">α</hi> · <hi rendition="#i">α</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> ; <hi rendition="#i">b̆</hi>.<lb/> Beiden Forderungen 103) zugleich, die auch 104) involvirten, lässt sich, wie<lb/> ich durch eine mühsamere Untersuchung fand, auf allgemeinste Weise in un-<lb/> abhängigen Parametern <hi rendition="#i">α</hi>, <hi rendition="#i">β</hi> genügen durch die unschwer zu verifizirenden<lb/> Ansätze:<lb/> 107) <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">α</hi> ; (<hi rendition="#i">β̄</hi> ɟ 0) + <hi rendition="#i">α</hi> ; <hi rendition="#i">β</hi> ɟ 0 + (<hi rendition="#i">α</hi> ; <hi rendition="#i">β</hi> ɟ <hi rendition="#i">β̄̆</hi>) · 1 ; <hi rendition="#i">β̆</hi>, <hi rendition="#i">b</hi> = <hi rendition="#i">β̄</hi> ɟ 0 + <hi rendition="#i">β</hi>,</hi><lb/> und so könnte man vielleicht noch fortfahren, durch weitre Bestimmung der<lb/> Parameter auch fernern Teilforderungen oder Unter-Bedingungen des Problemes<lb/> — wie 106) — nach und nach Genüge zu leisten.</p><lb/> <p>Allein solange man nicht die Produkte <hi rendition="#i">Π<hi rendition="#sub">i</hi></hi> in 105) in geschlossener<lb/> Form auszuwerten vermag, indem man dieselben äquivalent in Funktionen<lb/> von <hi rendition="#i">a</hi> und <hi rendition="#i">b</hi> transformirt, die sich lediglich vermittelst der 6 Spezies aus<lb/> diesen Argumenten und vielleicht den Moduln aufbauen, ist wenig Aussicht<lb/> vorhanden, dass man auf diesem Wege zur völligen Lösung dieser unsrer<lb/> schwierigen „<hi rendition="#i">Determinations</hi>aufgabe“ (zum dritten Inversionsprobleme) ge-<lb/> langen wird.</p><lb/> <p>Es muss deshalb das Problem hier stehn gelassen werden.</p><lb/> <p>Versuchte Auswertung jener <hi rendition="#i">Π<hi rendition="#sub">i</hi></hi> ferner dürfte kaum Erfolg versprechen,<lb/> solange sie nicht bei soviel einfacheren Produkten wie:<lb/></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [543/0557]
§ 29. Determination des dritten Inversionsproblems.
— worin nämlich der unterwellte Term auch unterdrückbar — als Ausdruck
der gesuchten Bedingung. Dieser kann aber jetzt nicht mehr für sich, sondern
erst in Verbindung mit der ersten Subsumtion 103), welche uns c = a ver-
bürgte, „hinreichend“ genannt werden. Die hinreichende oder volle Bedingung
drückte 105) allein noch aus, falls man c für a restituirte und dann für c
seinen Wert a ; b ɟ b̄̆ einsetzte. In den Koeffizienten stellt sich die letzte Forde-
rung 105) einfachst dar als:
1050) ah kΠm{(ā ɟ b̄)h m + Σlah l0'k lbl m} = 0.
Aus 105) können manche Folgerungen gezogen werden. Die Forderung
muss nämlich a fortiori bestehen, wenn man hinter dem Πi irgendwelche
Glieder unterdrückt, ev. auch Faktoren zufügt.
So muss z. B. gelten: aΠi{(ā ɟ b̄) ; i + ĭ ; b̄̆} = 0, d. h. nach 14)
a(ā ɟ b̄ ɟ b̄̆) = 0 oder a ⋹ a ; b ; b̆
in Bestätigung der zweiten Subsumtion 103). Ebenso folgt dies aus der
letzten Form von 105) sofort, imgleichen wie: a(ā ɟ b̄ ɟ 0) = 0 oder a ⋹ a ; b ; 1,
was sich durch 104) bestätigt. Etc.
Ferner muss sein aΠi(ī̆ + a ; īb ɟ 0) = 0. Nach 7) des § 6 ist aber a ; (īb ɟ 0) ⋹
⋹ a ; īb ɟ 0 und hier das Subjekt gleich a ; (ī ɟ 0)(b ɟ 0) = a ; ī(b ɟ 0) = a(0 ɟ b̆) ; ī,
folglich a fortiori aΠi{a(0 ɟ b̆) ; ī + ī̆} = 0, was nach 18) gibt: a · a(0 ɟ b̆) ; 0'
oder
106) a · a ; 0'(b ɟ 0) = 0
als eine fernere notwendige Bedingung.
Nun kann man zwar der ersten Subsumtion 103) für sich auf die all-
gemeinste Weise genügen durch den Ansatz: a = α ; b ɟ b̄̆, wie schon in 40)
des § 19) gezeigt; der zweiten für sich durch den Ansatz a = α · α ; b ; b̆.
Beiden Forderungen 103) zugleich, die auch 104) involvirten, lässt sich, wie
ich durch eine mühsamere Untersuchung fand, auf allgemeinste Weise in un-
abhängigen Parametern α, β genügen durch die unschwer zu verifizirenden
Ansätze:
107) a = α ; (β̄ ɟ 0) + α ; β ɟ 0 + (α ; β ɟ β̄̆) · 1 ; β̆, b = β̄ ɟ 0 + β,
und so könnte man vielleicht noch fortfahren, durch weitre Bestimmung der
Parameter auch fernern Teilforderungen oder Unter-Bedingungen des Problemes
— wie 106) — nach und nach Genüge zu leisten.
Allein solange man nicht die Produkte Πi in 105) in geschlossener
Form auszuwerten vermag, indem man dieselben äquivalent in Funktionen
von a und b transformirt, die sich lediglich vermittelst der 6 Spezies aus
diesen Argumenten und vielleicht den Moduln aufbauen, ist wenig Aussicht
vorhanden, dass man auf diesem Wege zur völligen Lösung dieser unsrer
schwierigen „Determinationsaufgabe“ (zum dritten Inversionsprobleme) ge-
langen wird.
Es muss deshalb das Problem hier stehn gelassen werden.
Versuchte Auswertung jener Πi ferner dürfte kaum Erfolg versprechen,
solange sie nicht bei soviel einfacheren Produkten wie:
Suche im WerkInformationen zum Werk
Download dieses Werks
XML (TEI P5) ·
HTML ·
Text Metadaten zum WerkTEI-Header · CMDI · Dublin Core Ansichten dieser Seite
Voyant Tools
|
URL zu diesem Werk: | https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895 |
URL zu dieser Seite: | https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/557 |
Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 543. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/557>, abgerufen am 18.06.2024. |