§ 30. Direkt und umgekehrt nie un- und nie mehrdeutige Zuordnung.
Zunächst mögen diese verschiednen Ausdrucksformen, soweit sie nicht durch Kontraposition oder Konversion auf den ersten Blick schon aus einander hervorgehn, auf einander zurückgeführt werden. Dies braucht blos bei A1 und A2 zu geschehen. Hernach wird dann blos erforderlich sein, je eine von diesen Formen 5) aus 1), und 6) aus 2) abzuleiten.
Die Formen 5) von A1 sind nun einander äquivalent aufgrund der folgenden Überlegungen, bei denen man zur Koeffizientenevidenz keine Zu- flucht zu nehmen braucht.
Weil 1 ; a j 0 als ausgezeichnetes Relativ blos der Werte 1 und 0 fähig und (1 1) = 1, (1 0) = 0 ist, so muss sein: 1 ; a j 0 = (1 1 ; a j 0). Letztre Subsumtion kommt aber nach dem ersten Inversionstheoreme auf 1 ; 1 oder 1 1 ; a äquivalent hinaus, und da 1 ; a = (1' + 0') ; a = 1' ; a + 0' ; a = a + 0' ; a ist, so lässt sich wiederum diese Subsumtion 1 a + 0' ; a nach bekanntestem Aussagenschema (ab) = (1 an + b) sofort umschreiben in an 0' ; a, was kontraponirt auch 1' j ana gibt. Darnach sind alle Formen 5) aufeinander zurückgeführt bis auf die erste. Um diese aus 1 1 ; a zu gewinnen, schreibe man letzteres als: 1 (a + an) ; a = a ; a + an ; aa ; a + 0' wegen 3) des § 8 und kann nun 1 0' + a ; a unmittelbar in 1' a ; a wie vorhin umsetzen, sodass (1 1 ; a) (1' a ; a) erwiesen ist. Um auch die um- gekehrte Aussagensubsumtion zu beweisen, braucht man blos zu schliessen: (1' a ; a) (1 ; 1' 1 ; a ; a) = (1 1 ; a) mit Rücksicht auf 26) des § 27, q. e. d.
Von den Formen 6) für A2 sind die beiden ersten einander schon auf- grund des ersten Inversionstheorems äquivalent; aus der zweiten Form folgt durch Kontraposition die dritte und aus beiden die vierte und fünfte, indem man die linke Seite auf 1 oder die rechte auf 0 bringt -- womit denn die Formen der ersten Zeile von 6) aufeinander zurückgeführt erscheinen.
Was die Formen der zweiten Zeile betrifft, so ist wieder das aus- gezeichnete Relativ 1 ; (1' j an) j 0 = {1 1 ; (1' j an) j 0} und dies = {1 1 ; (1' j an)} nach dem ersten Inversionstheorem, was kontraponirt nun auch 0 j 0' ; a 0 gibt -- und womit die Formen der zweiten Zeile aufeinander zurückgeführt erscheinen.
Nun ist kolonnenrechnerisch bekannt, vergl. 30) S. 216, dass 0 j 0' ; a = = 1 ; a(0' ; a). Mit 0 j 0' ; a 0 ist also auch 1 ; a(0' ; a) 0 gegeben, was auf a · 0' ; a (0 j 0 = ) 0 nach dem ersten Inversionstheorem hinausläuft. Und aus letztrer Subsumtion hinwiederum folgt mit 1 ; a(0' ; a) 1 ; 0 = 0 auch ihrerseits die vorige. Mit der hiermit dargethanen Aussagenäqui- valenz aber: (a · 0' ; a = 0) = (0 j 0' ; a = 0) ist nun auch von einer Form der ersten und einer Form der zweiten Zeile von 6) gezeigt, dass sie aufeinander zurückkommen, q. e. d.
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§ 30. Direkt und umgekehrt nie un- und nie mehrdeutige Zuordnung.
Zunächst mögen diese verschiednen Ausdrucksformen, soweit sie nicht durch Kontraposition oder Konversion auf den ersten Blick schon aus einander hervorgehn, auf einander zurückgeführt werden. Dies braucht blos bei A1 und A2 zu geschehen. Hernach wird dann blos erforderlich sein, je eine von diesen Formen 5) aus 1), und 6) aus 2) abzuleiten.
Die Formen 5) von A1 sind nun einander äquivalent aufgrund der folgenden Überlegungen, bei denen man zur Koeffizientenevidenz keine Zu- flucht zu nehmen braucht.
Weil 1 ; a ɟ 0 als ausgezeichnetes Relativ blos der Werte 1 und 0 fähig und (1 ⋹ 1) = 1, (1 ⋹ 0) = 0 ist, so muss sein: 1 ; a ɟ 0 = (1 ⋹ 1 ; a ɟ 0). Letztre Subsumtion kommt aber nach dem ersten Inversionstheoreme auf 1 ; 1 oder 1 ⋹ 1 ; a äquivalent hinaus, und da 1 ; a = (1' + 0') ; a = 1' ; a + 0' ; a = a + 0' ; a ist, so lässt sich wiederum diese Subsumtion 1 ⋹ a + 0' ; a nach bekanntestem Aussagenschema (α ⋹ β) = (1 ⋹ ᾱ + β) sofort umschreiben in ā ⋹ 0' ; a, was kontraponirt auch 1' ɟ ā ⋹ a gibt. Darnach sind alle Formen 5) aufeinander zurückgeführt bis auf die erste. Um diese aus 1 ⋹ 1 ; a zu gewinnen, schreibe man letzteres als: 1 ⋹ (ă + ā̆) ; a = ă ; a + ā̆ ; a ⋹ ă ; a + 0' wegen 3) des § 8 und kann nun 1 ⋹ 0' + ă ; a unmittelbar in 1' ⋹ ă ; a wie vorhin umsetzen, sodass (1 ⋹ 1 ; a) ⋹ (1' ⋹ ă ; a) erwiesen ist. Um auch die um- gekehrte Aussagensubsumtion zu beweisen, braucht man blos zu schliessen: (1' ⋹ ă ; a) ⋹ (1 ; 1' ⋹ 1 ; ă ; a) = (1 ⋹ 1 ; a) mit Rücksicht auf 26) des § 27, q. e. d.
Von den Formen 6) für A2 sind die beiden ersten einander schon auf- grund des ersten Inversionstheorems äquivalent; aus der zweiten Form folgt durch Kontraposition die dritte und aus beiden die vierte und fünfte, indem man die linke Seite auf 1 oder die rechte auf 0 bringt — womit denn die Formen der ersten Zeile von 6) aufeinander zurückgeführt erscheinen.
Was die Formen der zweiten Zeile betrifft, so ist wieder das aus- gezeichnete Relativ 1 ; (1' ɟ ā) ɟ 0 = {1 ⋹ 1 ; (1' ɟ ā) ɟ 0} und dies = {1 ⋹ 1 ; (1' ɟ ā)} nach dem ersten Inversionstheorem, was kontraponirt nun auch 0 ɟ 0' ; a ⋹ 0 gibt — und womit die Formen der zweiten Zeile aufeinander zurückgeführt erscheinen.
Nun ist kolonnenrechnerisch bekannt, vergl. 30) S. 216, dass 0 ɟ 0' ; a = = 1 ; a(0' ; a). Mit 0 ɟ 0' ; a ⋹ 0 ist also auch 1 ; a(0' ; a) ⋹ 0 gegeben, was auf a · 0' ; a ⋹ (0 ɟ 0 = ) 0 nach dem ersten Inversionstheorem hinausläuft. Und aus letztrer Subsumtion hinwiederum folgt mit 1 ; a(0' ; a) ⋹ 1 ; 0 = 0 auch ihrerseits die vorige. Mit der hiermit dargethanen Aussagenäqui- valenz aber: (a · 0' ; a = 0) = (0 ɟ 0' ; a = 0) ist nun auch von einer Form der ersten und einer Form der zweiten Zeile von 6) gezeigt, dass sie aufeinander zurückkommen, q. e. d.
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§ 30. Direkt und umgekehrt nie un- und nie mehrdeutige Zuordnung.
Zunächst mögen diese verschiednen Ausdrucksformen, soweit sie
nicht durch Kontraposition oder Konversion auf den ersten Blick schon
aus einander hervorgehn, auf einander zurückgeführt werden. Dies
braucht blos bei A1 und A2 zu geschehen. Hernach wird dann blos
erforderlich sein, je eine von diesen Formen 5) aus 1), und 6) aus 2)
abzuleiten.
Die Formen 5) von A1 sind nun einander äquivalent aufgrund der
folgenden Überlegungen, bei denen man zur Koeffizientenevidenz keine Zu-
flucht zu nehmen braucht.
Weil 1 ; a ɟ 0 als ausgezeichnetes Relativ blos der Werte 1 und 0 fähig
und (1 ⋹ 1) = 1, (1 ⋹ 0) = 0 ist, so muss sein: 1 ; a ɟ 0 = (1 ⋹ 1 ; a ɟ 0).
Letztre Subsumtion kommt aber nach dem ersten Inversionstheoreme auf
1 ; 1 oder 1 ⋹ 1 ; a äquivalent hinaus, und da
1 ; a = (1' + 0') ; a = 1' ; a + 0' ; a = a + 0' ; a
ist, so lässt sich wiederum diese Subsumtion 1 ⋹ a + 0' ; a nach bekanntestem
Aussagenschema (α ⋹ β) = (1 ⋹ ᾱ + β) sofort umschreiben in ā ⋹ 0' ; a, was
kontraponirt auch 1' ɟ ā ⋹ a gibt. Darnach sind alle Formen 5) aufeinander
zurückgeführt bis auf die erste. Um diese aus 1 ⋹ 1 ; a zu gewinnen,
schreibe man letzteres als: 1 ⋹ (ă + ā̆) ; a = ă ; a + ā̆ ; a ⋹ ă ; a + 0' wegen
3) des § 8 und kann nun 1 ⋹ 0' + ă ; a unmittelbar in 1' ⋹ ă ; a wie vorhin
umsetzen, sodass (1 ⋹ 1 ; a) ⋹ (1' ⋹ ă ; a) erwiesen ist. Um auch die um-
gekehrte Aussagensubsumtion zu beweisen, braucht man blos zu schliessen:
(1' ⋹ ă ; a) ⋹ (1 ; 1' ⋹ 1 ; ă ; a) = (1 ⋹ 1 ; a) mit Rücksicht auf 26) des § 27,
q. e. d.
Von den Formen 6) für A2 sind die beiden ersten einander schon auf-
grund des ersten Inversionstheorems äquivalent; aus der zweiten Form folgt
durch Kontraposition die dritte und aus beiden die vierte und fünfte, indem
man die linke Seite auf 1 oder die rechte auf 0 bringt — womit denn die
Formen der ersten Zeile von 6) aufeinander zurückgeführt erscheinen.
Was die Formen der zweiten Zeile betrifft, so ist wieder das aus-
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1 ; (1' ɟ ā) ɟ 0 = {1 ⋹ 1 ; (1' ɟ ā) ɟ 0} und dies = {1 ⋹ 1 ; (1' ɟ ā)}
nach dem ersten Inversionstheorem, was kontraponirt nun auch 0 ɟ 0' ; a ⋹ 0
gibt — und womit die Formen der zweiten Zeile aufeinander zurückgeführt
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Nun ist kolonnenrechnerisch bekannt, vergl. 30) S. 216, dass 0 ɟ 0' ; a =
= 1 ; a(0' ; a). Mit 0 ɟ 0' ; a ⋹ 0 ist also auch 1 ; a(0' ; a) ⋹ 0 gegeben, was
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Und aus letztrer Subsumtion hinwiederum folgt mit 1 ; a(0' ; a) ⋹ 1 ; 0 = 0
auch ihrerseits die vorige. Mit der hiermit dargethanen Aussagenäqui-
valenz aber:
(a · 0' ; a = 0) = (0 ɟ 0' ; a = 0)
ist nun auch von einer Form der ersten und einer Form der zweiten Zeile
von 6) gezeigt, dass sie aufeinander zurückkommen, q. e. d.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 563. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/577>, abgerufen am 18.06.2024.
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