Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Damit ist erkannt: Ein jedes Elementepaar einer "Cyklensumme" be-
stimmt einen ("geordnet" denkbaren) Cyklus als die Summe derjenigen
Elementepaare, die von ihm aus erreichbar sind -- was gegenseitig --
sodass derselbe Cyklus von jedem seiner Elementepaare bestimmt wird;
und es kommen die im Cyklus auftretenden (m. a. W. seine "konstitutiven")
Elemente ausserhalb desselben nicht mehr in der "Cyklensumme" vor.

Und ferner folgt daraus: Jede "Cyklensumme" ist (wirklich) eine Summe
von lauter -- "elementefremden" -- Cyklen, d. h. von solchen, deren niemals
zweie ein konstitutives Element gemeinsam haben -- die vielmehr aus
durchweg verschiednen Elementen aufgebaut erscheinen.

Dasselbe gilt demnach auch von den Substitutionen (im Sinne unsrer
Disziplin) -- mag auch der Denkbereich sogar ein "Kontinuum" sein. So-
mit wäre denn für's erste erwiesen, dass unsre Substitution eine identische
Summe ist von lauter elementefremden Cyklen. --

Ich bitte nicht zu übersehen: dass die ganze Betrachtung vom Absatz
auf S. 576 an blos durch das eingangs derselben erwähnte didaktische Motiv
der Aussöhnung mit dem Mathematiker veranlasst ist. Sie bleibt für die
Weiterentwicklung unsrer Theorie nach deren urwüchsigem Plane vorder-
hand nebensächlich und bildet nur eine Digression. Die Betrachtungen sind
eigentlich verfrüht und dürften systematisch jedenfalls nicht vor der Theorie
der einfach unendlichen Systeme und legitimirender Einführung der Ordinal-
zahlen zu bringen sein, an die wir erst in der zweiten Abteilung des Bandes
herantreten -- vergleiche die Bemerkung auf S. 179 im Kontext. Man
könnte die gelieferten Beweise in der That noch mannigfach ergänzungs-
bedürftig nennen und sie vollständiger wünschen, z. B. einen förmlichen
Beweis für die (obzwar unmittelbar intuitive) Thatsache verlangen, dass,
wenn ein Elementepaar (der Cyklensumme) von einem andern aus "erreich-
bar" ist, auch gewiss das Umgekehrte stattfindet, dass ferner die Beziehung
der "Erreichbarkeit von -..., resp. aus -..." eine transitive sein muss, und
andres mehr. Auch müsste alles doch in der Zeichensprache unsrer Algebra
einmal rechnerisch formulirt werden. Etc.

Das Beispiel der nach links und rechts unbegrenzten Reihe der ganzen
Zahlen zeigt, dass es auch "unendliche", sive "unbegrenzte", oder, wenn man
so sagen will: "offene" Cyklen gibt: ein solcher ist z. B. die Summe der
Elementepaare die aus je zwei benachbarten Zahlen dieser Reihe sich bilden
lassen:
... + (-- 3) : (-- 2) + (-- 2) : (-- 1) + (-- 1) : 0 + 0 : 1 + 1 : 2 + 2 : 3 + 3 : 4 + ...,
Und es erscheint die Ausdehnung des "Cyklus"begriffs auf ein "einfach un-
endliches" System von konstitutiven Elementen als zweifellos zulässig und
sogleich auch anschaulich. Anders, wenn die konstitutiven Elemente des
Cyklus ein unendliches System "der zweiten Art" bilden, eines, das nicht
"einfach unendlich" ist. Von einem Cyklus aus einem Kontinuum von
Elementen habe ich keine Vorstellung, dergleichen ist noch völlig terra
incognita, und ich stehe selbst dem Begriffe noch etwas misstrauisch gegen-
über. Darüber wird erst von späteren Forschungen völlige Aufklärung zu

Damit ist erkannt: Ein jedes Elementepaar einer „Cyklensumme“ be-
stimmt einen („geordnet“ denkbaren) Cyklus als die Summe derjenigen
Elementepaare, die von ihm aus erreichbar sind — was gegenseitig —
sodass derselbe Cyklus von jedem seiner Elementepaare bestimmt wird;
und es kommen die im Cyklus auftretenden (m. a. W. seine „konstitutiven“)
Elemente ausserhalb desselben nicht mehr in der „Cyklensumme“ vor.

Und ferner folgt daraus: Jede „Cyklensumme“ ist (wirklich) eine Summe
von lauter — „elementefremden“ — Cyklen, d. h. von solchen, deren niemals
zweie ein konstitutives Element gemeinsam haben — die vielmehr aus
durchweg verschiednen Elementen aufgebaut erscheinen.

Dasselbe gilt demnach auch von den Substitutionen (im Sinne unsrer
Disziplin) — mag auch der Denkbereich sogar ein „Kontinuum“ sein. So-
mit wäre denn für’s erste erwiesen, dass unsre Substitution eine identische
Summe ist von lauter elementefremden Cyklen. —

Ich bitte nicht zu übersehen: dass die ganze Betrachtung vom Absatz
auf S. 576 an blos durch das eingangs derselben erwähnte didaktische Motiv
der Aussöhnung mit dem Mathematiker veranlasst ist. Sie bleibt für die
Weiterentwicklung unsrer Theorie nach deren urwüchsigem Plane vorder-
hand nebensächlich und bildet nur eine Digression. Die Betrachtungen sind
eigentlich verfrüht und dürften systematisch jedenfalls nicht vor der Theorie
der einfach unendlichen Systeme und legitimirender Einführung der Ordinal-
zahlen zu bringen sein, an die wir erst in der zweiten Abteilung des Bandes
herantreten — vergleiche die Bemerkung auf S. 179 im Kontext. Man
könnte die gelieferten Beweise in der That noch mannigfach ergänzungs-
bedürftig nennen und sie vollständiger wünschen, z. B. einen förmlichen
Beweis für die (obzwar unmittelbar intuitive) Thatsache verlangen, dass,
wenn ein Elementepaar (der Cyklensumme) von einem andern aus „erreich-
bar“ ist, auch gewiss das Umgekehrte stattfindet, dass ferner die Beziehung
der „Erreichbarkeit von -…, resp. aus -…“ eine transitive sein muss, und
andres mehr. Auch müsste alles doch in der Zeichensprache unsrer Algebra
einmal rechnerisch formulirt werden. Etc.

Das Beispiel der nach links und rechts unbegrenzten Reihe der ganzen
Zahlen zeigt, dass es auch „unendliche“, sive „unbegrenzte“, oder, wenn man
so sagen will: „offene“ Cyklen gibt: ein solcher ist z. B. die Summe der
Elementepaare die aus je zwei benachbarten Zahlen dieser Reihe sich bilden
lassen:
… + (— 3) : (— 2) + (— 2) : (— 1̇) + (— 1̇) : 0̇ + 0̇ : 1̇ + 1̇ : 2 + 2 : 3 + 3 : 4 + …,
Und es erscheint die Ausdehnung des „Cyklus“begriffs auf ein „einfach un-
endliches“ System von konstitutiven Elementen als zweifellos zulässig und
sogleich auch anschaulich. Anders, wenn die konstitutiven Elemente des
Cyklus ein unendliches System „der zweiten Art“ bilden, eines, das nicht
„einfach unendlich“ ist. Von einem Cyklus aus einem Kontinuum von
Elementen habe ich keine Vorstellung, dergleichen ist noch völlig terra
incognita, und ich stehe selbst dem Begriffe noch etwas misstrauisch gegen-
über. Darüber wird erst von späteren Forschungen völlige Aufklärung zu