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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Zwölfte Vorlesung.

Nur ist zu bemerken, dass aus 33) und 34) im Hinblick auf d)
der Satz mitfolgt sub:
39) A2A4: (h x ; k) = (h = x ; k) = (k = x ; h) = (k [Formel 1]
vorwärtig sintemal man zu jeder Prämisse linkerhand die Konklusion
aus 29) bis 32) als Aussagenfaktor hinzunotiren darf, wonach dann die
Def. (1) der Gleichheit anwendbar wird, rückwärtig als selbstverständ-
liche. Und zwar gelten diese Sätze nicht etwa nur für Systeme, sondern
schon für beliebige Relative a, b.

Die Wichtigkeit gerade des Typus A2A4 (für den Eintritt vom Stand-
punkte unsrer Theorie aus in die Dedekind'schen Forschungen) recht-
fertigt ein gelegentlich ausführlicheres Eingehen auf diesen. So sei denn
hier noch darauf aufmerksam gemacht, dass, wenn in 2) und 4) x für a
gesagt wird, diese beiden Forderungen sich auch zusammenziehen zu
42) A2A4 = Ph k l[(h x ; k) {(l h) (l x ; k)}{(l k) (h x ; l)}]
und dass mit Rücksicht auf die obige aus der Charakteristik von A2A4
vorhin gerechtfertigte Formel 39) diese Forderung hinausläuft auf
[Formel 2]
wo der erste Faktor der Thesis sich aus der Hypothesis durch Elimination
(Einsetzung des Wertes) von h von selbst versteht, und ebenso der letzte
Faktor der Thesis -- in der darunter stehenden Form -- durch Elimi-
nation von k. Sonach ist es auch ein Leichtes, die Grundeigenschaften
einer Abbildung vom Typus A2A4 aus deren Charakteristik wieder rück-
wärts abzuleiten.

Zum Schluss noch einige Sätze über Substitutionen.

Bezeichnen wir eine Substitution, d. h. eine zum Typus 90 oder
A1A2A2A4 gehörige Abbildung demnächst mit s, so wird also sein:
43) s ; s = 1' und s ; s = 1'.

Da diese Charakteristik bei Vertauschung von s mit s ungeändert
bleibt, nämlich blos die eine Gleichung in die andre, und umgekehrt,
übergeht, so haben wir den implicite schon S. 569 miterwähnten Satz:

Das Konvere s einer Substitution s ist auch eine Substitution --
es ist die sogenannte reziproke Substitution von s, oder falls die Sub-

Zwölfte Vorlesung.

Nur ist zu bemerken, dass aus 33) und 34) im Hinblick auf δ)
der Satz mitfolgt sub:
39) A2A4: (h ⋹ x ; k) = (h = x ; k) = (k = x̆ ; h) = (k ⋹ [Formel 1]
vorwärtig sintemal man zu jeder Prämisse linkerhand die Konklusion
aus 29) bis 32) als Aussagenfaktor hinzunotiren darf, wonach dann die
Def. (1) der Gleichheit anwendbar wird, rückwärtig als selbstverständ-
liche. Und zwar gelten diese Sätze nicht etwa nur für Systeme, sondern
schon für beliebige Relative a, b.

Die Wichtigkeit gerade des Typus A2A4 (für den Eintritt vom Stand-
punkte unsrer Theorie aus in die Dedekind’schen Forschungen) recht-
fertigt ein gelegentlich ausführlicheres Eingehen auf diesen. So sei denn
hier noch darauf aufmerksam gemacht, dass, wenn in 2) und 4) x für a
gesagt wird, diese beiden Forderungen sich auch zusammenziehen zu
42) A2A4 = Πh k l[(h ⋹ x ; k) ⋹ {(l ≠ h) ⋹ (l ⋹ x ; k)}{(l ≠ k) ⋹ (h ⋹ x ; l)}]
und dass mit Rücksicht auf die obige aus der Charakteristik von A2A4
vorhin gerechtfertigte Formel 39) diese Forderung hinausläuft auf
[Formel 2]
wo der erste Faktor der Thesis sich aus der Hypothesis durch Elimination
(Einsetzung des Wertes) von h von selbst versteht, und ebenso der letzte
Faktor der Thesis — in der darunter stehenden Form — durch Elimi-
nation von k. Sonach ist es auch ein Leichtes, die Grundeigenschaften
einer Abbildung vom Typus A2A4 aus deren Charakteristik wieder rück-
wärts abzuleiten.

Zum Schluss noch einige Sätze über Substitutionen.

Bezeichnen wir eine Substitution, d. h. eine zum Typus 90 oder
A1A2A2A4 gehörige Abbildung demnächst mit s, so wird also sein:
43) s ; s̆ = 1' und s̆ ; s = 1'.

Da diese Charakteristik bei Vertauschung von s mit s̆ ungeändert
bleibt, nämlich blos die eine Gleichung in die andre, und umgekehrt,
übergeht, so haben wir den implicite schon S. 569 miterwähnten Satz:

Das Konvere s̆ einer Substitution s ist auch eine Substitution —
es ist die sogenannte reziproke Substitution von s, oder falls die Sub-

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[594/0608] Zwölfte Vorlesung. Nur ist zu bemerken, dass aus 33) und 34) im Hinblick auf δ) der Satz mitfolgt sub: 39) A2A4: (h ⋹ x ; k) = (h = x ; k) = (k = x̆ ; h) = (k ⋹ [FORMEL] vorwärtig sintemal man zu jeder Prämisse linkerhand die Konklusion aus 29) bis 32) als Aussagenfaktor hinzunotiren darf, wonach dann die Def. (1) der Gleichheit anwendbar wird, rückwärtig als selbstverständ- liche. Und zwar gelten diese Sätze nicht etwa nur für Systeme, sondern schon für beliebige Relative a, b. Die Wichtigkeit gerade des Typus A2A4 (für den Eintritt vom Stand- punkte unsrer Theorie aus in die Dedekind’schen Forschungen) recht- fertigt ein gelegentlich ausführlicheres Eingehen auf diesen. So sei denn hier noch darauf aufmerksam gemacht, dass, wenn in 2) und 4) x für a gesagt wird, diese beiden Forderungen sich auch zusammenziehen zu 42) A2A4 = Πh k l[(h ⋹ x ; k) ⋹ {(l ≠ h) ⋹ (l ⋹ x ; k)}{(l ≠ k) ⋹ (h ⋹ x ; l)}] und dass mit Rücksicht auf die obige aus der Charakteristik von A2A4 vorhin gerechtfertigte Formel 39) diese Forderung hinausläuft auf [FORMEL] wo der erste Faktor der Thesis sich aus der Hypothesis durch Elimination (Einsetzung des Wertes) von h von selbst versteht, und ebenso der letzte Faktor der Thesis — in der darunter stehenden Form — durch Elimi- nation von k. Sonach ist es auch ein Leichtes, die Grundeigenschaften einer Abbildung vom Typus A2A4 aus deren Charakteristik wieder rück- wärts abzuleiten. Zum Schluss noch einige Sätze über Substitutionen. Bezeichnen wir eine Substitution, d. h. eine zum Typus 90 oder A1A2A2A4 gehörige Abbildung demnächst mit s, so wird also sein: 43) s ; s̆ = 1' und s̆ ; s = 1'. Da diese Charakteristik bei Vertauschung von s mit s̆ ungeändert bleibt, nämlich blos die eine Gleichung in die andre, und umgekehrt, übergeht, so haben wir den implicite schon S. 569 miterwähnten Satz: Das Konvere s̆ einer Substitution s ist auch eine Substitution — es ist die sogenannte reziproke Substitution von s, oder falls die Sub-

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 594. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/608>, abgerufen am 23.11.2024.