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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 31. Die Ähnlichkeitsbedingung als Eliminationsresultante.

Wäre nun links k dn wo d = z ; c, so folgte:
kzn j cn also z ; k cn, und da mit z ; h = k also k z ; h
auch h z ; k gilt, a fortiori: h cn im Widerspruch mit der Voraus-
setzung h c.

Wäre rechts h cn, so können wir nicht ebenso einfach weiter schliessen,
weil für c die Darstellung als z ; d hier noch nicht verfügbar ist -- es sei
denn, dass man sie erst so, wie S. 610 von uns geschehn, beweise -- viel-
mehr wird, wenn wir beim Argumentiren auf die Elemente bleiben wollen,
nun so zum Ziel zu kommen sein.

Mit k d = z ; c und z ; k = h folgt: z ; k z ; z ; c 1' ; c = c
also h c auch in direktem Beweise.

Ebenso wäre auch für die vorige Behauptung statt des apagogischen
ein direkter Beweis erbringlich -- wofern wir dort wie hier von der
Charakteristik A2A4 oder z ; z + z ; z 1' des Abbildungsprinzips Gebrauch
machen. Und dies scheint wenigstens im letzten Falle unumgänglich zu
sein. Q. e. d.

Die Bedingung für die Ähnlichkeit oder Gleichmächtigkeit zweier
Systeme a und b ist als eine Relation rein logischer Art zwischen
diesen anzusehn, zu deren adäquatem Ausdruck unsre Disziplin die
Mittel besitzt. Sie präsentirt sich als die Resultante der Elimination
des Abbildungsprinzips x, resp. y oder z, aus den Forderungen unsrer
Ähnlichkeitsdefinition in irgend einer ihrer Fassungen.

Solange die Elimination nicht wirklich vollzogen, die S oder P,
mit Hülfe deren sich die Resultante ja nach allgemeinen Sätzen dar-
stellen lässt, nicht ausgewertet sind -- kurz: solange der Name des
Abbildungsprinzips als eines unbestimmten binären Relativs noch im
Ausdruck dieser Resultante figurirt -- mögen wir die Ähnlichkeits-
definition noch eine implizite nennen.

Um die Elimination vorzubereiten, wird man etwa die vereinigte Null-
gleichung sämtlicher Teilbedingungen unsrer Ähnlichkeitsforderung bilden:
f(z) = 0, wobei man jedoch unter mancherlei Ausdrücken für deren Po-
lynom f(z) noch die Wahl haben wird, selbst wenn man eine bestimmte
wie (10) oder (17) von unsern Fassungen zugrunde legt. Die Charakte-
ristik z ; z + z ; z 1' setzt man am besten wol in der Form an
z ; 0' j 0 + 0 j 0' ; z = 0,
weil man dadurch den Vorteil erreicht, dass in jedem Gliede von f(z) der
Name des Eliminanden z blos einmal vorkommt. Man kann ferner die
beiden Hauptbedingungen in (10) etc. blos als Subsumtionen, oder aber
auch als Gleichungen berücksichtigen, wobei erstres insofern als das ein-
fachere erscheint als man (um zweie) weniger Glieder bei f(z) bekommt.
Auch die Adventivbedingung in (17) kann mitberücksichtigt oder unter-

§ 31. Die Ähnlichkeitsbedingung als Eliminationsresultante.

Wäre nun links k ⋹ d̄ wo d = z ; c, so folgte:
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auch h ⋹ z̆ ; k gilt, a fortiori: h ⋹ c̄ im Widerspruch mit der Voraus-
setzung h ⋹ c.

Wäre rechts h ⋹ c̄, so können wir nicht ebenso einfach weiter schliessen,
weil für c die Darstellung als z̆ ; d hier noch nicht verfügbar ist — es sei
denn, dass man sie erst so, wie S. 610 von uns geschehn, beweise — viel-
mehr wird, wenn wir beim Argumentiren auf die Elemente bleiben wollen,
nun so zum Ziel zu kommen sein.

Mit k ⋹ d = z ; c und z̆ ; k = h folgt: z̆ ; k ⋹ z̆ ; z ; c ⋹ 1' ; c = c
also h ⋹ c auch in direktem Beweise.

Ebenso wäre auch für die vorige Behauptung statt des apagogischen
ein direkter Beweis erbringlich — wofern wir dort wie hier von der
Charakteristik A2A4 oder z ; z̆ + z̆ ; z ⋹ 1' des Abbildungsprinzips Gebrauch
machen. Und dies scheint wenigstens im letzten Falle unumgänglich zu
sein. Q. e. d.

Die Bedingung für die Ähnlichkeit oder Gleichmächtigkeit zweier
Systeme a und b ist als eine Relation rein logischer Art zwischen
diesen anzusehn, zu deren adäquatem Ausdruck unsre Disziplin die
Mittel besitzt. Sie präsentirt sich als die Resultante der Elimination
des Abbildungsprinzips x, resp. y oder z, aus den Forderungen unsrer
Ähnlichkeitsdefinition in irgend einer ihrer Fassungen.

Solange die Elimination nicht wirklich vollzogen, die Σ oder Π,
mit Hülfe deren sich die Resultante ja nach allgemeinen Sätzen dar-
stellen lässt, nicht ausgewertet sind — kurz: solange der Name des
Abbildungsprinzips als eines unbestimmten binären Relativs noch im
Ausdruck dieser Resultante figurirt — mögen wir die Ähnlichkeits-
definition noch eine implizite nennen.

Um die Elimination vorzubereiten, wird man etwa die vereinigte Null-
gleichung sämtlicher Teilbedingungen unsrer Ähnlichkeitsforderung bilden:
f(z) = 0, wobei man jedoch unter mancherlei Ausdrücken für deren Po-
lynom f(z) noch die Wahl haben wird, selbst wenn man eine bestimmte
wie (10) oder (17) von unsern Fassungen zugrunde legt. Die Charakte-
ristik z ; z̆ + z̆ ; z ⋹ 1' setzt man am besten wol in der Form an
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weil man dadurch den Vorteil erreicht, dass in jedem Gliede von f(z) der
Name des Eliminanden z blos einmal vorkommt. Man kann ferner die
beiden Hauptbedingungen in (10) etc. blos als Subsumtionen, oder aber
auch als Gleichungen berücksichtigen, wobei erstres insofern als das ein-
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Auch die Adventivbedingung in (17) kann mitberücksichtigt oder unter-

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[623/0637] § 31. Die Ähnlichkeitsbedingung als Eliminationsresultante. Wäre nun links k ⋹ d̄ wo d = z ; c, so folgte: k⋹z̄ ɟ c̄ also z̆ ; k ⋹ c̄, und da mit z ; h = k also k ⋹ z ; h auch h ⋹ z̆ ; k gilt, a fortiori: h ⋹ c̄ im Widerspruch mit der Voraus- setzung h ⋹ c. Wäre rechts h ⋹ c̄, so können wir nicht ebenso einfach weiter schliessen, weil für c die Darstellung als z̆ ; d hier noch nicht verfügbar ist — es sei denn, dass man sie erst so, wie S. 610 von uns geschehn, beweise — viel- mehr wird, wenn wir beim Argumentiren auf die Elemente bleiben wollen, nun so zum Ziel zu kommen sein. Mit k ⋹ d = z ; c und z̆ ; k = h folgt: z̆ ; k ⋹ z̆ ; z ; c ⋹ 1' ; c = c also h ⋹ c auch in direktem Beweise. Ebenso wäre auch für die vorige Behauptung statt des apagogischen ein direkter Beweis erbringlich — wofern wir dort wie hier von der Charakteristik A2A4 oder z ; z̆ + z̆ ; z ⋹ 1' des Abbildungsprinzips Gebrauch machen. Und dies scheint wenigstens im letzten Falle unumgänglich zu sein. Q. e. d. Die Bedingung für die Ähnlichkeit oder Gleichmächtigkeit zweier Systeme a und b ist als eine Relation rein logischer Art zwischen diesen anzusehn, zu deren adäquatem Ausdruck unsre Disziplin die Mittel besitzt. Sie präsentirt sich als die Resultante der Elimination des Abbildungsprinzips x, resp. y oder z, aus den Forderungen unsrer Ähnlichkeitsdefinition in irgend einer ihrer Fassungen. Solange die Elimination nicht wirklich vollzogen, die Σ oder Π, mit Hülfe deren sich die Resultante ja nach allgemeinen Sätzen dar- stellen lässt, nicht ausgewertet sind — kurz: solange der Name des Abbildungsprinzips als eines unbestimmten binären Relativs noch im Ausdruck dieser Resultante figurirt — mögen wir die Ähnlichkeits- definition noch eine implizite nennen. Um die Elimination vorzubereiten, wird man etwa die vereinigte Null- gleichung sämtlicher Teilbedingungen unsrer Ähnlichkeitsforderung bilden: f(z) = 0, wobei man jedoch unter mancherlei Ausdrücken für deren Po- lynom f(z) noch die Wahl haben wird, selbst wenn man eine bestimmte wie (10) oder (17) von unsern Fassungen zugrunde legt. Die Charakte- ristik z ; z̆ + z̆ ; z ⋹ 1' setzt man am besten wol in der Form an z ; 0' ɟ 0 + 0 ɟ 0' ; z = 0, weil man dadurch den Vorteil erreicht, dass in jedem Gliede von f(z) der Name des Eliminanden z blos einmal vorkommt. Man kann ferner die beiden Hauptbedingungen in (10) etc. blos als Subsumtionen, oder aber auch als Gleichungen berücksichtigen, wobei erstres insofern als das ein- fachere erscheint als man (um zweie) weniger Glieder bei f(z) bekommt. Auch die Adventivbedingung in (17) kann mitberücksichtigt oder unter-

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 623. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/637>, abgerufen am 23.11.2024.