Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Besteht nun a aus einer Vollzeile, so ist jede Kolonne von a als eine
einbesetzte zur Kolonnenkategorie g gehörig und wird im Relative 0 j 0' ; a
abgeworfen, weshalb dieses alsdann verschwindet. Besteht aber a aus mehr
als einer Vollzeile, so gehört jede Kolonne dieses Systems (und alle Kolonnen
eines solchen müssen ja kongruent sein) als eine mehrbesetzte zu einer
der drei ersten Kolonuenkategorien 1, a, b, welche das Relativ 0 j 0' ; a
in Vollkolonnen verwandelt, und muss letztres folglich = 1 sein.

Besteht a aus gerade zwei Vollzeilen, so hat es in unserm Denk-
bereiche 1 1/4 auch ebensoviele Leerzeilen; seine Kolonnen gehören dann zur
Kategorie b der mehrlückig mehrbesetzten, werden in 0 j 0' ; a in Voll-
kolonnen verwandelt, dagegen in 1 ; (1' j a) noch abgeworfen, gleichwie auch
in letzterem die einbesetzten Kolonnen des a abgeworfen wurden; also
während jenes = 1 ist, muss dieses verschwinden.

Besteht endlich a aus drei Vollzeilen (nebst also einer Leerzeile), so
gehören die Kolonnen des a als einlückige zur Kategorie a und werden
sie auch im Relative 1 ; (1' j a) in Vollkolonnen verwandelt, dagegen in
0 j a, welches nur die (blos bei a = 1 vorhandnen) Vollkolonnen von a
beibehält, noch abgeworfen -- wie zunächst einzusehn gewesen. [Im letzten
Falle hätte man auch, statt neu denselben zu überlegen, auf das Relativ an
die frühere Überlegung anwenden und ihr Ergebniss kontraponiren können.]

Es ist also unsre Tabelle gerechtfertigt.

Umgekehrt charakterisiren nun auch aufgrund von 43) sub 1 1/4 die
Wertsysteme obiger Tabelle als einer ebenso für b gültigen ihrerseits wieder
die Zusammensetzung oder Bildungsweise von b als 0, 1j, 2j, 3j, resp. 4j.
Und es leuchtet damit ein, dass in der That die vier Bedingungen zu-
sammengenommen den notwendigen und hinreichenden Ausdruck für die
Gleichzahligkeit der Elemente in a und b sub 1 1/4 ausmachen.

Die erste 1 ; a = 1 ; b dieser Bedingungen ist äquivalent mit
1 ; a ; 1 = 1 ; b ; 1 und läuft also hinaus auf
44) (a = 0) = (b = 0) somit (a 0) = (b 0)
d. h. sie fordert immer gleichzeitiges Verschwinden oder Nichtverschwinden
bei den ähnlichen Systemen a und b.

Die zweite Bedingung: 0 j 0' ; a = 0 j 0' ; b drückt für sich allein
aus, dass a und b immer nur gleichzeitig mehr als ein Element resp.
nicht mehr als ein Element enthalten dürfen (sofern sie ähnlich sein
sollen). In Verbindung mit der ersten Bedingung ist sie aber auch
der ausreichende Ausdruck für die Forderung, dass, sobald das System a
aus gerade einem Element besteht (sonach selbst Element ist), dann
auch b aus gerade einem Element bestehn (ebenfalls irgend ein Element
sein) muss, sowie umgekehrt.

Diese beiden Bedingungen nun gelten (offenbar) für jeden, auch
für den voraussetzungslosen Denkbereich, und werden wir sie nachher
auch noch analytisch aus unsrer Ähnlichkeitsdefinition (17) abzuleiten
haben.

Besteht nun a aus einer Vollzeile, so ist jede Kolonne von a als eine
einbesetzte zur Kolonnenkategorie γ gehörig und wird im Relative 0 ɟ 0' ; a
abgeworfen, weshalb dieses alsdann verschwindet. Besteht aber a aus mehr
als einer Vollzeile, so gehört jede Kolonne dieses Systems (und alle Kolonnen
eines solchen müssen ja kongruent sein) als eine mehrbesetzte zu einer
der drei ersten Kolonuenkategorien 1, α, β, welche das Relativ 0 ɟ 0' ; a
in Vollkolonnen verwandelt, und muss letztres folglich = 1 sein.

Besteht a aus gerade zwei Vollzeilen, so hat es in unserm Denk-
bereiche 1 ¼ auch ebensoviele Leerzeilen; seine Kolonnen gehören dann zur
Kategorie β der mehrlückig mehrbesetzten, werden in 0 ɟ 0' ; a in Voll-
kolonnen verwandelt, dagegen in 1 ; (1' ɟ a) noch abgeworfen, gleichwie auch
in letzterem die einbesetzten Kolonnen des a abgeworfen wurden; also
während jenes = 1 ist, muss dieses verschwinden.

Besteht endlich a aus drei Vollzeilen (nebst also einer Leerzeile), so
gehören die Kolonnen des a als einlückige zur Kategorie α und werden
sie auch im Relative 1 ; (1' ɟ a) in Vollkolonnen verwandelt, dagegen in
0 ɟ a, welches nur die (blos bei a = 1 vorhandnen) Vollkolonnen von a
beibehält, noch abgeworfen — wie zunächst einzusehn gewesen. [Im letzten
Falle hätte man auch, statt neu denselben zu überlegen, auf das Relativ ā
die frühere Überlegung anwenden und ihr Ergebniss kontraponiren können.]

Es ist also unsre Tabelle gerechtfertigt.

Umgekehrt charakterisiren nun auch aufgrund von 43) sub 1 ¼ die
Wertsysteme obiger Tabelle als einer ebenso für b gültigen ihrerseits wieder
die Zusammensetzung oder Bildungsweise von b als 0, 1j, 2j, 3j, resp. 4j.
Und es leuchtet damit ein, dass in der That die vier Bedingungen zu-
sammengenommen den notwendigen und hinreichenden Ausdruck für die
Gleichzahligkeit der Elemente in a und b sub 1 ¼ ausmachen.

Die erste 1 ; a = 1 ; b dieser Bedingungen ist äquivalent mit
1 ; a ; 1 = 1 ; b ; 1 und läuft also hinaus auf
44) (a = 0) = (b = 0) somit (a ≠ 0) = (b ≠ 0)
d. h. sie fordert immer gleichzeitiges Verschwinden oder Nichtverschwinden
bei den ähnlichen Systemen a und b.

Die zweite Bedingung: 0 ɟ 0' ; a = 0 ɟ 0' ; b drückt für sich allein
aus, dass a und b immer nur gleichzeitig mehr als ein Element resp.
nicht mehr als ein Element enthalten dürfen (sofern sie ähnlich sein
sollen). In Verbindung mit der ersten Bedingung ist sie aber auch
der ausreichende Ausdruck für die Forderung, dass, sobald das System a
aus gerade einem Element besteht (sonach selbst Element ist), dann
auch b aus gerade einem Element bestehn (ebenfalls irgend ein Element
sein) muss, sowie umgekehrt.

Diese beiden Bedingungen nun gelten (offenbar) für jeden, auch
für den voraussetzungslosen Denkbereich, und werden wir sie nachher
auch noch analytisch aus unsrer Ähnlichkeitsdefinition (17) abzuleiten
haben.