Kontext erörtert. Dieselbe -- was uns jetzt noch obliegt -- aus (17) zu beweisen, fiel nicht ganz leicht
Ich werde drei Beweise geben, auch eines Fehlversuchs erwähnen der lehrreich war, sofern er zahlreiche neue Ausdrucksformen und Relationen offenbarte.
Zunächst beachte man, dass nach bekanntestem Satze über Systeme: a ; 0' ; a = 1 ; a(0' ; a) = 0 j 0' ; a -- letztres gemäss 30) S. 216 ist. Die beiden in 46) angeführten Formen fallen also gänzlich zusammen, und mit 0' ; a = 0'a ; 1 erhält man die Form hinzu: 1 ; 0'aa ; 1 = 1 ; 0'bb ; 1. Es würde sonach blos (0'aa = 0) = (0'bb = 0) zu beweisen sein, was man leicht auch auf die Formen der letzten Zeile 31) zurückführt. Da ferner 0' ; a sowie a · 0' ; a(= a0' ; a) System ist, so wird das ausgezeichnete Re- lativ 0 j 0' ; a nur dann nicht 0 sein, wenn 0' ; a = 1 ist, weshalb die Be- hauptung auch auf (1 0' ; a) = (1 0' ; b) hinausläuft; und ferner wird das ausgezeichnete Relativ 1 ; a(0' ; a) nur dann nicht 1 sein, wenn a(0' ; a) = 0 ist, weshalb dieselbe auch mit (a · 0' ; a = 0) = (b · 0' ; b = 0) äquivalent sein muss. Damit erscheinen die unter 31) aufgeführten Formen, soweit z nicht in ihnen vorkommt, nun aufeinander zurückgeführt. Wegen b = z ; a, a = z ; b, 0' ; zzn und zn ; z 0', etc. kann man schliessen: 47)
[Formel 1]
Sintemal hier Anfangssubjekt und Endprädikat übereinstimmen, müssen alle zwischenliegenden Termini diesem und unter sich gleich sein -- womit sich, wenn man noch z ; a = z ; 1 und z ; b = z ; 1 berücksichtigt, eine grosse Reihe von andern in 31) angegebnen Ausdrucksformen mit hinzuergibt, sobald unsre Behauptung 46) anderweitig gerechtfertigt sein wird. Diese selbst ergibt sich auf diesem Wege nicht, es sei denn, dass es gelänge, die Gleichheit zwischen irgend einem Ausdruck der einen und der andern Zeile von 47) erst darzuthun -- wie z. B. der Gleichung: 0 j zn ; a = 0 j 0' ; a.
Nun kann man zwar durch die Schlüsse: zn ; a = zn ; z ; b 0' ; b, 0' ; b = 0' ; z ; azn ; a unschwer beweisen dass: 48) zn ; a = 0' ; b und analog zn ; b = 0' ; a sein muss. Allein damit liefe die letzte Behauptung doch nur auf eine petitio principii hinaus.
Indessen wird mit 48) und dem Satze 46) auch der Rest seiner Aus- drucksformen in 31) -- bis auf die zwei ersten Formeln der viertletzten Zeile -- gesichert sein.
[Es käme nun also darauf an, etwa die Äquivalenz (1 zn ; a) = = (1 0' ; a) zu beweisen. Fehlversuche betreffend sei erwähnt, dass zwar zu zeigen gelingt: 49) (1 0' ; a) = (zn 0' ; a), (1 zn ; a) (z ; 1 0' ; a) = (a 0' ; a), damit aber eine Annäherung zwischen den beiden Aussagen herbeizuführen erst recht erschwert erscheint.
§ 31. Zweite Partialresultante.
Kontext erörtert. Dieselbe — was uns jetzt noch obliegt — aus (17) zu beweisen, fiel nicht ganz leicht
Ich werde drei Beweise geben, auch eines Fehlversuchs erwähnen der lehrreich war, sofern er zahlreiche neue Ausdrucksformen und Relationen offenbarte.
Zunächst beachte man, dass nach bekanntestem Satze über Systeme: ă ; 0' ; a = 1 ; a(0' ; a) = 0 ɟ 0' ; a — letztres gemäss 30) S. 216 ist. Die beiden in 46) angeführten Formen fallen also gänzlich zusammen, und mit 0' ; a = 0'ă ; 1 erhält man die Form hinzu: 1 ; 0'aă ; 1 = 1 ; 0'bb̆ ; 1. Es würde sonach blos (0'aă = 0) = (0'bb̆ = 0) zu beweisen sein, was man leicht auch auf die Formen der letzten Zeile 31) zurückführt. Da ferner 0' ; a sowie a · 0' ; a(= a0' ; a) System ist, so wird das ausgezeichnete Re- lativ 0 ɟ 0' ; a nur dann nicht 0 sein, wenn 0' ; a = 1 ist, weshalb die Be- hauptung auch auf (1 ⋹ 0' ; a) = (1 ⋹ 0' ; b) hinausläuft; und ferner wird das ausgezeichnete Relativ 1 ; a(0' ; a) nur dann nicht 1 sein, wenn a(0' ; a) = 0 ist, weshalb dieselbe auch mit (a · 0' ; a = 0) = (b · 0' ; b = 0) äquivalent sein muss. Damit erscheinen die unter 31) aufgeführten Formen, soweit z nicht in ihnen vorkommt, nun aufeinander zurückgeführt. Wegen b = z ; a, a = z̆ ; b, 0' ; z ⋹ z̄ und z̄ ; z̆ ⋹ 0', etc. kann man schliessen: 47)
[Formel 1]
Sintemal hier Anfangssubjekt und Endprädikat übereinstimmen, müssen alle zwischenliegenden Termini diesem und unter sich gleich sein — womit sich, wenn man noch z ; a = z ; 1 und z̆ ; b = z̆ ; 1 berücksichtigt, eine grosse Reihe von andern in 31) angegebnen Ausdrucksformen mit hinzuergibt, sobald unsre Behauptung 46) anderweitig gerechtfertigt sein wird. Diese selbst ergibt sich auf diesem Wege nicht, es sei denn, dass es gelänge, die Gleichheit zwischen irgend einem Ausdruck der einen und der andern Zeile von 47) erst darzuthun — wie z. B. der Gleichung: 0 ɟ z̄ ; a = 0 ɟ 0' ; a.
Nun kann man zwar durch die Schlüsse: z̄ ; a = z̄ ; z̆ ; b ⋹ 0' ; b, 0' ; b = 0' ; z ; a ⋹ z̄ ; a unschwer beweisen dass: 48) z̄ ; a = 0' ; b und analog z̄̆ ; b = 0' ; a sein muss. Allein damit liefe die letzte Behauptung doch nur auf eine petitio principii hinaus.
Indessen wird mit 48) und dem Satze 46) auch der Rest seiner Aus- drucksformen in 31) — bis auf die zwei ersten Formeln der viertletzten Zeile — gesichert sein.
[Es käme nun also darauf an, etwa die Äquivalenz (1 ⋹ z̄ ; a) = = (1 ⋹ 0' ; a) zu beweisen. Fehlversuche betreffend sei erwähnt, dass zwar zu zeigen gelingt: 49) (1 ⋹ 0' ; a) = (z̄̆ ⋹ 0' ; a), (1 ⋹ z̄ ; a) ⋹ (z̆ ; 1 ⋹ 0' ; a) = (a ⋹ 0' ; a), damit aber eine Annäherung zwischen den beiden Aussagen herbeizuführen erst recht erschwert erscheint.
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[629/0643]
§ 31. Zweite Partialresultante.
Kontext erörtert. Dieselbe — was uns jetzt noch obliegt — aus (17)
zu beweisen, fiel nicht ganz leicht
Ich werde drei Beweise geben, auch eines Fehlversuchs erwähnen der
lehrreich war, sofern er zahlreiche neue Ausdrucksformen und Relationen
offenbarte.
Zunächst beachte man, dass nach bekanntestem Satze über Systeme:
ă ; 0' ; a = 1 ; a(0' ; a) = 0 ɟ 0' ; a — letztres gemäss 30) S. 216 ist. Die
beiden in 46) angeführten Formen fallen also gänzlich zusammen, und mit
0' ; a = 0'ă ; 1 erhält man die Form hinzu: 1 ; 0'aă ; 1 = 1 ; 0'bb̆ ; 1. Es
würde sonach blos (0'aă = 0) = (0'bb̆ = 0) zu beweisen sein, was man
leicht auch auf die Formen der letzten Zeile 31) zurückführt. Da ferner
0' ; a sowie a · 0' ; a(= a0' ; a) System ist, so wird das ausgezeichnete Re-
lativ 0 ɟ 0' ; a nur dann nicht 0 sein, wenn 0' ; a = 1 ist, weshalb die Be-
hauptung auch auf (1 ⋹ 0' ; a) = (1 ⋹ 0' ; b) hinausläuft; und ferner wird
das ausgezeichnete Relativ 1 ; a(0' ; a) nur dann nicht 1 sein, wenn a(0' ; a) = 0
ist, weshalb dieselbe auch mit (a · 0' ; a = 0) = (b · 0' ; b = 0) äquivalent
sein muss. Damit erscheinen die unter 31) aufgeführten Formen, soweit z
nicht in ihnen vorkommt, nun aufeinander zurückgeführt. Wegen b = z ; a,
a = z̆ ; b, 0' ; z ⋹ z̄ und z̄ ; z̆ ⋹ 0', etc. kann man schliessen:
47) [FORMEL]
Sintemal hier Anfangssubjekt und Endprädikat übereinstimmen, müssen alle
zwischenliegenden Termini diesem und unter sich gleich sein — womit
sich, wenn man noch z ; a = z ; 1 und z̆ ; b = z̆ ; 1 berücksichtigt, eine grosse
Reihe von andern in 31) angegebnen Ausdrucksformen mit hinzuergibt,
sobald unsre Behauptung 46) anderweitig gerechtfertigt sein wird. Diese
selbst ergibt sich auf diesem Wege nicht, es sei denn, dass es gelänge, die
Gleichheit zwischen irgend einem Ausdruck der einen und der andern Zeile
von 47) erst darzuthun — wie z. B. der Gleichung: 0 ɟ z̄ ; a = 0 ɟ 0' ; a.
Nun kann man zwar durch die Schlüsse:
z̄ ; a = z̄ ; z̆ ; b ⋹ 0' ; b, 0' ; b = 0' ; z ; a ⋹ z̄ ; a
unschwer beweisen dass:
48) z̄ ; a = 0' ; b und analog z̄̆ ; b = 0' ; a
sein muss. Allein damit liefe die letzte Behauptung doch nur auf eine
petitio principii hinaus.
Indessen wird mit 48) und dem Satze 46) auch der Rest seiner Aus-
drucksformen in 31) — bis auf die zwei ersten Formeln der viertletzten
Zeile — gesichert sein.
[Es käme nun also darauf an, etwa die Äquivalenz (1 ⋹ z̄ ; a) =
= (1 ⋹ 0' ; a) zu beweisen. Fehlversuche betreffend sei erwähnt, dass zwar
zu zeigen gelingt:
49) (1 ⋹ 0' ; a) = (z̄̆ ⋹ 0' ; a), (1 ⋹ z̄ ; a) ⋹ (z̆ ; 1 ⋹ 0' ; a) = (a ⋹ 0' ; a),
damit aber eine Annäherung zwischen den beiden Aussagen herbeizuführen
erst recht erschwert erscheint.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 629. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/643>, abgerufen am 23.11.2024.
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