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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 31. Normale und andre Fassungen eindeutiger Abbildung.

Nennt man indess auch hier abx = z, so gelangt man ebenfalls
zur Normalform 55).

Inbezug auf den letzten Faktor rechts und die Adventivforderung
ist dies wiederholt (so gerade vorhin in y statt x) gezeigt, und was
den ersten Faktor betrifft eigentlich auch schon, und zwar auf S. 620. --

Ferner kann man auch selbständig die Forderung aufstellen, dass
es zu jedem Element h von a ein Element k von b gebe derart, dass
das x-Bild von h gleich k sei. Damit wird das Vorhandensein von
noch andern Elementen k' des b, sei es als x-Bilder von h, sei es
auch als solchem x ; h blos eingeordnet, von selber ausgeschlossen,
weil in diesen Fällen (k' k also) k' = k folgen müsste. Notwendige
und hinreichende Bedingung dafür, dass a durch x in b hinein ein-
deutig abgebildet werde, muss also auch sein:
57) Ph{(ha) Sk(kb)(x ; h = k)}.
Jenachdem wir nun für den Ausdruck des letzten Thesisfaktors das
Schema o) oder das x) des § 30 benutzen, ergeben sich ganz ver-
schiedne Ausdrucksformen dieser Bedingung, die es verlohnt beide
aufzusuchen. Mit ersterem entsteht:
58) b ; x(1' j xn) j an, = an j (xn j 1')x ; b = {a (xn j 1')x ; b} = (a x ; b){a (xn 1') ; b},
mit letztrem dagegen:
59) an j 1'{(xn j 1') ; xb} ; 1, = {1'a (xn j 1') ; xb}.

Dies ist zunächst herzuleiten, dann aufeinander zurückzuführen, was
nicht ganz leicht, aber lehrreich ist. Zu 58) haben wir:
Ph[anh + Skbk{x(1' j xn)}k h] = Ph k{an + 1 ; bx(1' j xn)}k h = {an + b ; x(1' j xn)} j 0,
weil 0 j vor einem Systemkonvers unterdrückbar. Damit ist die erste
Form gewonnen, welche sich konvertirt in die zweite, dann, als Prädikat
zu 1 gesetzt, nach dem ersten Inversionstheorem auch in die dritte um-
setzt. Die Äquivalenz dieser mit der letzten Subsumtion und vierten Form
aber beruht auf einem allgemeinen Satze:
60) [Formel 1]
-- demgegenüber ein analoger Satz für a(1' j an) ; b jedoch nicht gelten
muss. Er beweist sich mit:
Li j = ShPk(ani k + 1'k h)ai hbh j, Ri j = SlPk(ani k + 1'k l)bl jShai hbh j =
= Sh lPk(ani k + 1'k l)ai hbh jbl j
in Anbetracht dass aus der letztern Doppelsumme alle die Glieder heraus-
fallen müssen, in denen l h ist, sintemal sie wegen k l dann ani h zum
effektiven Faktor des P haben und dieser mit ai h zusammentrifft; und
wird nun l = h gesetzt, so fällt Ri j völlig mit Li j zusammen, q. e. d. Der

§ 31. Normale und andre Fassungen eindeutiger Abbildung.

Nennt man indess auch hier ăbx = z, so gelangt man ebenfalls
zur Normalform 55).

Ferner kann man auch selbständig die Forderung aufstellen, dass
es zu jedem Element h von a ein Element k von b gebe derart, dass
das x-Bild von h gleich k sei. Damit wird das Vorhandensein von
noch andern Elementen k' des b, sei es als x-Bilder von h, sei es
auch als solchem x ; h blos eingeordnet, von selber ausgeschlossen,
weil in diesen Fällen (k' ⋹ k also) k' = k folgen müsste. Notwendige
und hinreichende Bedingung dafür, dass a durch x in b hinein ein-
deutig abgebildet werde, muss also auch sein:
57) Πh{(h⋹a) ⋹Σk(k⋹b)(x ; h = k)}.
Jenachdem wir nun für den Ausdruck des letzten Thesisfaktors das
Schema ο) oder das ξ) des § 30 benutzen, ergeben sich ganz ver-
schiedne Ausdrucksformen dieser Bedingung, die es verlohnt beide
aufzusuchen. Mit ersterem entsteht:
58) b̆ ; x(1' ɟ x̄) ɟ ā, = ā̆ ɟ (x̄̆ ɟ 1')x̆ ; b = {a ⋹ (x̄̆ ɟ 1')x̆ ; b} = (a ⋹ x̆ ; b){a ⋹ (x̄̆ ⋹ 1') ; b},
mit letztrem dagegen:
59) ā̆ ɟ 1'{(x̄̆ ɟ 1') ; xb} ; 1, = {1'a ⋹ (x̄̆ ɟ 1') ; xb}.

Dies ist zunächst herzuleiten, dann aufeinander zurückzuführen, was
nicht ganz leicht, aber lehrreich ist. Zu 58) haben wir:
Πh[āh + Σkbk{x(1' ɟ x̄)}k h] = Πh k{ā̆ + 1 ; bx(1' ɟ x̄)}k h = {ā̆ + b̆ ; x(1' ɟ x̄)} ɟ 0,
weil 0 ɟ vor einem Systemkonvers unterdrückbar. Damit ist die erste
Form gewonnen, welche sich konvertirt in die zweite, dann, als Prädikat
zu 1 gesetzt, nach dem ersten Inversionstheorem auch in die dritte um-
setzt. Die Äquivalenz dieser mit der letzten Subsumtion und vierten Form
aber beruht auf einem allgemeinen Satze:
60) [Formel 1]
— demgegenüber ein analoger Satz für a(1' ɟ ā) ; b jedoch nicht gelten
muss. Er beweist sich mit:
Li j = ΣhΠk(āi k + 1'k h)ai hbh j, Ri j = ΣlΠk(āi k + 1'k l)bl jΣhai hbh j =
= Σh lΠk(āi k + 1'k l)ai hbh jbl j
in Anbetracht dass aus der letztern Doppelsumme alle die Glieder heraus-
fallen müssen, in denen l ≠ h ist, sintemal sie wegen k ≠ l dann āi h zum
effektiven Faktor des Π haben und dieser mit ai h zusammentrifft; und
wird nun l = h gesetzt, so fällt Ri j völlig mit Li j zusammen, q. e. d. Der

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[635/0649] § 31. Normale und andre Fassungen eindeutiger Abbildung. Nennt man indess auch hier ăbx = z, so gelangt man ebenfalls zur Normalform 55). Inbezug auf den letzten Faktor rechts und die Adventivforderung ist dies wiederholt (so gerade vorhin in y statt x) gezeigt, und was den ersten Faktor betrifft eigentlich auch schon, und zwar auf S. 620. — Ferner kann man auch selbständig die Forderung aufstellen, dass es zu jedem Element h von a ein Element k von b gebe derart, dass das x-Bild von h gleich k sei. Damit wird das Vorhandensein von noch andern Elementen k' des b, sei es als x-Bilder von h, sei es auch als solchem x ; h blos eingeordnet, von selber ausgeschlossen, weil in diesen Fällen (k' ⋹ k also) k' = k folgen müsste. Notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass a durch x in b hinein ein- deutig abgebildet werde, muss also auch sein: 57) Πh{(h⋹a) ⋹Σk(k⋹b)(x ; h = k)}. Jenachdem wir nun für den Ausdruck des letzten Thesisfaktors das Schema ο) oder das ξ) des § 30 benutzen, ergeben sich ganz ver- schiedne Ausdrucksformen dieser Bedingung, die es verlohnt beide aufzusuchen. Mit ersterem entsteht: 58) b̆ ; x(1' ɟ x̄) ɟ ā, = ā̆ ɟ (x̄̆ ɟ 1')x̆ ; b = {a ⋹ (x̄̆ ɟ 1')x̆ ; b} = (a ⋹ x̆ ; b){a ⋹ (x̄̆ ⋹ 1') ; b}, mit letztrem dagegen: 59) ā̆ ɟ 1'{(x̄̆ ɟ 1') ; xb} ; 1, = {1'a ⋹ (x̄̆ ɟ 1') ; xb}. Dies ist zunächst herzuleiten, dann aufeinander zurückzuführen, was nicht ganz leicht, aber lehrreich ist. Zu 58) haben wir: Πh[āh + Σkbk{x(1' ɟ x̄)}k h] = Πh k{ā̆ + 1 ; bx(1' ɟ x̄)}k h = {ā̆ + b̆ ; x(1' ɟ x̄)} ɟ 0, weil 0 ɟ vor einem Systemkonvers unterdrückbar. Damit ist die erste Form gewonnen, welche sich konvertirt in die zweite, dann, als Prädikat zu 1 gesetzt, nach dem ersten Inversionstheorem auch in die dritte um- setzt. Die Äquivalenz dieser mit der letzten Subsumtion und vierten Form aber beruht auf einem allgemeinen Satze: 60) [FORMEL] — demgegenüber ein analoger Satz für a(1' ɟ ā) ; b jedoch nicht gelten muss. Er beweist sich mit: Li j = ΣhΠk(āi k + 1'k h)ai hbh j, Ri j = ΣlΠk(āi k + 1'k l)bl jΣhai hbh j = = Σh lΠk(āi k + 1'k l)ai hbh jbl j in Anbetracht dass aus der letztern Doppelsumme alle die Glieder heraus- fallen müssen, in denen l ≠ h ist, sintemal sie wegen k ≠ l dann āi h zum effektiven Faktor des Π haben und dieser mit ai h zusammentrifft; und wird nun l = h gesetzt, so fällt Ri j völlig mit Li j zusammen, q. e. d. Der

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 635. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/649>, abgerufen am 23.11.2024.

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