Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.Archimedis Erstes Buch let/ daß/ wann man von dem ersten gegebenen das lezte/ auch bekante/ wegnimbt/ und das übrigein drey gleiche Teihl teihlet/ so werde aus G und zwey solchen Teihlen das andere/ wiederumb aus G und einem solchen Teihl das dritte/ und also die beyde begehrte mittlere gleichübertreffende. 2. Daß nun aber die dreyfache Verhältnis des ersten gegen dem andern (K gegen I) Wem diese Art zu schwär oder unannehmlich scheinet/ der kan sich eines andern Beweises Dann weil sich/ wie B gegen G, also G gegen L, verhält/ so wird Folge. Aus obigem Lehrsatz ist offenbar/ daß eine jede Rund-Säule/ Dann gemeldte Rund-Säule ist sechsmal so groß als der Kegel/ welcher beyden
Archimedis Erſtes Buch let/ daß/ wann man von dem erſten gegebenen das lezte/ auch bekante/ wegnimbt/ und das uͤbrigein drey gleiche Teihl teihlet/ ſo werde aus G und zwey ſolchen Teihlen das andere/ wiederumb aus G und einem ſolchen Teihl das dritte/ und alſo die beyde begehrte mittlere gleichuͤbertreffende. 2. Daß nun aber die dreyfache Verhaͤltnis des erſten gegen dem andern (K gegen I) Wem dieſe Art zu ſchwaͤr oder unannehmlich ſcheinet/ der kan ſich eines andern Beweiſes Dann weil ſich/ wie B gegen G, alſo G gegen L, verhaͤlt/ ſo wird Folge. Aus obigem Lehrſatz iſt offenbar/ daß eine jede Rund-Saͤule/ Dann gemeldte Rund-Saͤule iſt ſechsmal ſo groß als der Kegel/ welcher beyden
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Daß nun aber die dreyfache Verhaͤltnis des erſten gegen dem andern (<hi rendition="#aq">K</hi> gegen <hi rendition="#aq">I</hi>)<lb/> kleiner ſey als die Verhaͤltnis des erſten gegen dem lezten (<hi rendition="#aq">K</hi> gegen <hi rendition="#aq">G</hi>) wollen wir Luſts halben/<lb/> denen Liebhabern der Buchſtaben-Rechnung (<hi rendition="#aq">Logiſticæ ſpecioſæ</hi>) alſo erweiſen: <hi rendition="#aq"><hi rendition="#i">g+3x</hi></hi><lb/> iſt das erſte/ und <hi rendition="#aq"><hi rendition="#i">g+2x</hi></hi> das andere/ und alſo der Rahme ihrer Verhaͤltnis (<hi rendition="#aq">nomen ratio-<lb/> nis</hi>) <formula/> vermittelſt welches nun leichtlich gefunden wird das dritte gleichverhal-<lb/> tende/ <formula/> und das vierdte/ <formula/><lb/> Nun iſt die Verhaͤltnis des erſten gegen dieſem vierdten/ eben die dreyfache Verhaͤltnis des<lb/> erſten gegen dem andern (des <hi rendition="#aq">K</hi> gegen <hi rendition="#aq">I;</hi>) alſo daß nur dieſes zu beweiſen uͤbrig iſt/ daß das erſte<lb/> (<hi rendition="#aq">K</hi>) gegen dieſem vierdten eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als gegen <hi rendition="#aq">G.</hi> Solches nun wird da-<lb/> her offenbar/ weil dieſes vierdte gleichverhaltende groͤſſer iſt als das <hi rendition="#aq">G,</hi> welches augenſcheinlich<lb/> wird/ wann man das obere dieſes Bruchs (<hi rendition="#aq">fractionis</hi>) durch das untere teihlet/ und alſo findet/<lb/> daß er ſo viel gelte/ als <formula/> und derowegen mehr als <hi rendition="#aq">G.</hi></p><lb/> <p>Wem dieſe Art zu ſchwaͤr oder unannehmlich ſcheinet/ der kan ſich eines andern Beweiſes<lb/> bedienen/ welchen <hi rendition="#fr">Eutokius</hi> ohngefehr folgender Geſtalt verfaſſet: Es ſeyen 4. gleich - uͤber-<lb/><figure/> treffende <hi rendition="#aq">(Arithmeticè proportionalia) B, G, H</hi> und <hi rendition="#aq">K,</hi> und wie-<lb/> derumb mit <hi rendition="#aq">B</hi> und <hi rendition="#aq">G</hi> das dritte und vierdte gleichverhaltende <hi rendition="#aq">(Geo-<lb/> metrice proportionalia) L</hi> und <hi rendition="#aq">M,</hi> alſo daß (<hi rendition="#fr">vermoͤg der 10den<lb/> Worterklaͤrung im</hi> <hi rendition="#aq">V.</hi> <hi rendition="#fr">B.</hi>) <hi rendition="#aq">B</hi> gegen <hi rendition="#aq">M</hi> eine dreyfache Verhaͤlt-<lb/> nis habe derer jenigen/ welche da hat <hi rendition="#aq">B</hi> gegen <hi rendition="#aq">G.</hi> Soll nun bewie-<lb/> ſen werden/ daß <hi rendition="#aq">B</hi> gegen <hi rendition="#aq">M</hi> eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als eben<lb/> das <hi rendition="#aq">B</hi> gegen <hi rendition="#aq">K.</hi></p><lb/> <p>Dann weil ſich/ wie <hi rendition="#aq">B</hi> gegen <hi rendition="#aq">G,</hi> alſo <hi rendition="#aq">G</hi> gegen <hi rendition="#aq">L,</hi> verhaͤlt/ ſo wird<lb/><hi rendition="#aq">L</hi> von <hi rendition="#aq">G</hi> umb eben ſo viel Teihl ſeiner ſelbſten/ uͤbertroffen/ als das <hi rendition="#aq">G</hi><lb/> von <hi rendition="#aq">B.</hi> Nun aber (weil <hi rendition="#aq">B</hi> groͤſſer iſt als <hi rendition="#aq">G</hi>) ſind die Teihle des <hi rendition="#aq">B</hi><lb/> groͤſſer als die Teihle des <hi rendition="#aq">G:</hi> derowegen iſt der Reſt des <hi rendition="#aq">B</hi> uͤber das<lb/><hi rendition="#aq">G</hi> groͤſſer/ als der Reſt des <hi rendition="#aq">G</hi> uͤber das <hi rendition="#aq">L.</hi> Der Reſt aber eben deſſel-<lb/> ben/ <hi rendition="#aq">G</hi> uͤber <hi rendition="#aq">H</hi> iſt gleich dem Reſt <hi rendition="#aq">B</hi> uͤber <hi rendition="#aq">G.</hi> Darumb dann noht-<lb/> wendig <hi rendition="#aq">L</hi> groͤſſer ſeyn muß als <hi rendition="#aq">H.</hi> Gleicher geſtalt folget/ daß <hi rendition="#aq">M</hi><lb/> groͤſſer ſey als <hi rendition="#aq">K,</hi> und deswegen (<hi rendition="#fr">nach dem 8ten des</hi> <hi rendition="#aq">V.</hi> <hi rendition="#fr">B.</hi>) <hi rendition="#aq">B</hi> ge-<lb/> gen <hi rendition="#aq">M</hi> eine kleinere Verhaͤltnis habe als gegen <hi rendition="#aq">K,</hi> das iſt/ als da iſt die<lb/> dreyfache Verhaͤltnis des <hi rendition="#aq">B</hi> gegen <hi rendition="#aq">G.</hi></p> </div><lb/> <div n="3"> <head> <hi rendition="#b">Folge.</hi> </head><lb/> <p>Aus obigem Lehrſatz iſt offenbar/ daß eine jede Rund-Saͤule/<lb/> deren Grundſcheibe gleich iſt der groͤſſeſten Scheibe einer Kugel/ die<lb/> Hoͤhe aber ihrem Durchmeſſer/ andeꝛthalb mal ſo groß ſey als dieſelbe<lb/> Kugel; 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Archimedis Erſtes Buch
let/ daß/ wann man von dem erſten gegebenen das lezte/ auch bekante/ wegnimbt/ und das uͤbrige
in drey gleiche Teihl teihlet/ ſo werde aus G und zwey ſolchen Teihlen das andere/ wiederumb aus
G und einem ſolchen Teihl das dritte/ und alſo die beyde begehrte mittlere gleichuͤbertreffende.
2. Daß nun aber die dreyfache Verhaͤltnis des erſten gegen dem andern (K gegen I)
kleiner ſey als die Verhaͤltnis des erſten gegen dem lezten (K gegen G) wollen wir Luſts halben/
denen Liebhabern der Buchſtaben-Rechnung (Logiſticæ ſpecioſæ) alſo erweiſen: g+3x
iſt das erſte/ und g+2x das andere/ und alſo der Rahme ihrer Verhaͤltnis (nomen ratio-
nis) [FORMEL] vermittelſt welches nun leichtlich gefunden wird das dritte gleichverhal-
tende/ [FORMEL] und das vierdte/ [FORMEL]
Nun iſt die Verhaͤltnis des erſten gegen dieſem vierdten/ eben die dreyfache Verhaͤltnis des
erſten gegen dem andern (des K gegen I;) alſo daß nur dieſes zu beweiſen uͤbrig iſt/ daß das erſte
(K) gegen dieſem vierdten eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als gegen G. Solches nun wird da-
her offenbar/ weil dieſes vierdte gleichverhaltende groͤſſer iſt als das G, welches augenſcheinlich
wird/ wann man das obere dieſes Bruchs (fractionis) durch das untere teihlet/ und alſo findet/
daß er ſo viel gelte/ als [FORMEL] und derowegen mehr als G.
Wem dieſe Art zu ſchwaͤr oder unannehmlich ſcheinet/ der kan ſich eines andern Beweiſes
bedienen/ welchen Eutokius ohngefehr folgender Geſtalt verfaſſet: Es ſeyen 4. gleich - uͤber-
[Abbildung]
treffende (Arithmeticè proportionalia) B, G, H und K, und wie-
derumb mit B und G das dritte und vierdte gleichverhaltende (Geo-
metrice proportionalia) L und M, alſo daß (vermoͤg der 10den
Worterklaͤrung im V. B.) B gegen M eine dreyfache Verhaͤlt-
nis habe derer jenigen/ welche da hat B gegen G. Soll nun bewie-
ſen werden/ daß B gegen M eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als eben
das B gegen K.
Dann weil ſich/ wie B gegen G, alſo G gegen L, verhaͤlt/ ſo wird
L von G umb eben ſo viel Teihl ſeiner ſelbſten/ uͤbertroffen/ als das G
von B. Nun aber (weil B groͤſſer iſt als G) ſind die Teihle des B
groͤſſer als die Teihle des G: derowegen iſt der Reſt des B uͤber das
G groͤſſer/ als der Reſt des G uͤber das L. Der Reſt aber eben deſſel-
ben/ G uͤber H iſt gleich dem Reſt B uͤber G. Darumb dann noht-
wendig L groͤſſer ſeyn muß als H. Gleicher geſtalt folget/ daß M
groͤſſer ſey als K, und deswegen (nach dem 8ten des V. B.) B ge-
gen M eine kleinere Verhaͤltnis habe als gegen K, das iſt/ als da iſt die
dreyfache Verhaͤltnis des B gegen G.
Folge.
Aus obigem Lehrſatz iſt offenbar/ daß eine jede Rund-Saͤule/
deren Grundſcheibe gleich iſt der groͤſſeſten Scheibe einer Kugel/ die
Hoͤhe aber ihrem Durchmeſſer/ andeꝛthalb mal ſo groß ſey als dieſelbe
Kugel; und ihre ganze aͤuſſere Flaͤche/ ſambt ihrer Grund- und Dek-
kel-Scheiben/ auch anderthalb mal ſo groß als die Kugelflaͤche.
Dann gemeldte Rund-Saͤule iſt ſechsmal ſo groß als der Kegel/ welcher
mit ihr eine gleiche Grundſcheibe/ aber nur halbe Hoͤhe (nehmlich die Hoͤhe des
Halbmeſſers) hat/ vermoͤg des 10den und 14den des XII. B. die Kugel aber
iſt viermal ſo groß als eben derſelbe Kegel/ nach vorhergegangenem XXXII.
Lehrſatz. Verhaͤlt ſich alſo die Rund-Saͤule gegen der Kugel/ wie 6 gegen 4/
oder wie 3 gegen 2/ das iſt/ anderthalbig. Wiederumb: So wol die Hoͤhe der
Rund-Saͤule/ als der Durchmeſſer ihrer Grundſcheibe iſt gleich dem Durch-
meſſer der Kugel/ und daher/ auch die mittlere gleichverhaltende zwiſchen jenen
beyden
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Zitationshilfe: | Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 80. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/108>, abgerufen am 14.08.2024. |