Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.Von der Kugel und Rund-Säule. (das ist/ BF) sambt BX (das ist/ FX) gegen BX, also LX gegen DX; und(nach der Folge des 19den im V.) FX gegen FB, wie LX gegen LD; und umbgekehrt/ wie LD gegen LX, also FB gegen FX. Wie aber FX ferner sich verhält gegen FH, also ist/ in verwirrter Verhältnis (perturbate) RL gegen LD, wie vorgesagt: derowegen verhalten sich gleichdurchgehend (ex aequo) wie BF gegen FH, also RL gegen LX, vermög des 23sten im V. und zer- teihlet wie BH gegen HF, also RX gegen XL; und umbgekehret XL gegen RX, wie HF gegen BH, das ist (vermög obiger Auflösung) wie P gegen S. Wie sich aber XL gegen RX verhält/ so verhält sich der Kegel ALC gegen dem Kegel ARC, (das ist/ nach dem vorhergehenden Lehrsatz/ das Kugel- stükk ADC gegen dem übrigen ABC) vermög des 14den im XII. Derowe- gen verhält sich auch das Kugelstükk ADC, gegen dem übrigen ABC, wie P gegen S; Welches hat sollen bewiesen werden. Anmerkungen. Der Aufgab ist also ein ganzes und volles Genügen geschehen/ wann nur eines und das 1. Das erste ist/ daß er in der Grundforschung als bekant nimmt/ weil RL gegen XL Wann zwischen zwey gegebenen ein mittleres gesetzet wird/ so ist die Worbey zu förderst muß gelehret werden/ was da heisse eine Verhältnis aus zweyen oder Damit aber/ was hier durch ein Exempel erkläret worden/ auch durch Es seyen nun gegeben (sagt Eutokius) zwey Dinge A und B, die [Abbildung]
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Von der Kugel und Rund-Saͤule. (das iſt/ BF) ſambt BX (das iſt/ FX) gegen BX, alſo LX gegen DX; und(nach der Folge des 19den im V.) FX gegen FB, wie LX gegen LD; und umbgekehrt/ wie LD gegen LX, alſo FB gegen FX. Wie aber FX ferner ſich verhaͤlt gegen FH, alſo iſt/ in verwirꝛter Verhaͤltnis (perturbatè) RL gegen LD, wie vorgeſagt: derowegen verhalten ſich gleichdurchgehend (ex æquo) wie BF gegen FH, alſo RL gegen LX, vermoͤg des 23ſten im V. und zer- teihlet wie BH gegen HF, alſo RX gegen XL; und umbgekehret XL gegen RX, wie HF gegen BH, das iſt (vermoͤg obiger Aufloͤſung) wie P gegen S. Wie ſich aber XL gegen RX verhaͤlt/ ſo verhaͤlt ſich der Kegel ALC gegen dem Kegel ARC, (das iſt/ nach dem vorhergehenden Lehrſatz/ das Kugel- ſtuͤkk ADC gegen dem uͤbrigen ABC) vermoͤg des 14den im XII. Derowe- gen verhaͤlt ſich auch das Kugelſtuͤkk ADC, gegen dem uͤbrigen ABC, wie P gegen S; Welches hat ſollen bewieſen werden. Anmerkungen. Der Aufgab iſt alſo ein ganzes und volles Genuͤgen geſchehen/ wann nur eines und das 1. Das erſte iſt/ daß er in der Grundforſchung als bekant nimmt/ weil RL gegen XL Wann zwiſchen zwey gegebenen ein mittleres geſetzet wird/ ſo iſt die Worbey zu foͤrderſt muß gelehret werden/ was da heiſſe eine Verhaͤltnis aus zweyen oder Damit aber/ was hier durch ein Exempel erklaͤret worden/ auch durch Es ſeyen nun gegeben (ſagt Eutokius) zwey Dinge A und B, die [Abbildung]
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Von der Kugel und Rund-Saͤule.
(das iſt/ BF) ſambt BX (das iſt/ FX) gegen BX, alſo LX gegen DX; und
(nach der Folge des 19den im V.) FX gegen FB, wie LX gegen LD; und
umbgekehrt/ wie LD gegen LX, alſo FB gegen FX. Wie aber FX ferner ſich
verhaͤlt gegen FH, alſo iſt/ in verwirꝛter Verhaͤltnis (perturbatè) RL gegen
LD, wie vorgeſagt: derowegen verhalten ſich gleichdurchgehend (ex æquo)
wie BF gegen FH, alſo RL gegen LX, vermoͤg des 23ſten im V. und zer-
teihlet wie BH gegen HF, alſo RX gegen XL; und umbgekehret XL gegen
RX, wie HF gegen BH, das iſt (vermoͤg obiger Aufloͤſung) wie P gegen S.
Wie ſich aber XL gegen RX verhaͤlt/ ſo verhaͤlt ſich der Kegel ALC gegen
dem Kegel ARC, (das iſt/ nach dem vorhergehenden Lehrſatz/ das Kugel-
ſtuͤkk ADC gegen dem uͤbrigen ABC) vermoͤg des 14den im XII. Derowe-
gen verhaͤlt ſich auch das Kugelſtuͤkk ADC, gegen dem uͤbrigen ABC, wie P
gegen S; Welches hat ſollen bewieſen werden.
Anmerkungen.
Der Aufgab iſt alſo ein ganzes und volles Genuͤgen geſchehen/ wann nur eines und das
andere/ welches Archimedes als gewiß ſetzet/ und wir biß daher verſchoben haben/ zuvor rich-
tig und gewiß gemachet wird.
1. Das erſte iſt/ daß er in der Grundforſchung als bekant nimmt/ weil RL gegen XL
eine gewiſſe Verhaͤltnis hat/ und LD zwiſchen beyden genommen worden/ daß daher erwaͤhnte
Verhaͤltnis zuſammgeſetzet ſey aus denen zweyen/ nehmlich des RL gegen dem LD und des
LD gegen dem XL; und alſo gleichſam auf dieſen gemeinen Satz ſich beruffet:
Wann zwiſchen zwey gegebenen ein mittleres geſetzet wird/ ſo iſt die
Verhaͤltnis derer erſtgegebenen zuſammgeſetzet aus der Verhaͤltnis des er-
ſten gegen dem mittlern und aus der Verhaͤltnis des mittlern gegen dem
lezten.
Worbey zu foͤrderſt muß gelehret werden/ was da heiſſe eine Verhaͤltnis aus zweyen oder
mehr andern zuſammſetzen; nehmlich/ nach der 5ten Worterklaͤrung im VI. B. Eucli-
dis/ die Groͤſſen/ das iſt/ die Nenner oder Nahmen derer gegebenen Verhaͤltniſſen in einander
fuͤhren oder miteinander vervielfaͤltigen/ und dardurch eine neue Verhaͤltnis herfuͤr bringen.
Alſo daß die Meinung des gegenwaͤrtigen Satzes iſt: Wann man zwiſchen zwey ein drittes oder
mittleres ſetzet/ und nachmals die Nenner oder Nahmen derer beyden Verhaͤltniſſen/ des erſten
gegen dem mittlern und des mittlern gegen dem lezten/ miteinander vervielfaͤltiget/ ſo kommt
eben die Verhaͤltnis heraus/ welche da hat das erſte gegen dem lezten; oder vielmehr/ es kommt
heraus der Nahme oder Nenner ſolcher Verhaͤltnis/ alſo daß/ wann das lezte mit ſolchem Nen-
ner vervielfaͤltiget wird/ das erſte heraus komme/ wie in allen Verhaͤltniſſen zu geſchehenpfle-
get. Zum Exempel/ wann ich zwiſchen zwey gegebene Zahlen/ 12 und 2/ ſetze eine mittlere/ 4/
ſo iſt 3 der Nenner der erſten Verhaͤltnis/ 12 gegen 4/ und 2 der Nenner der andern Verhaͤlt-
nis/ 4 gegen 2. Wann ich nun 3 mit 2 vervielfaͤltige/ kommt 6/ als der Nenner der Verhaͤlt-
nis/ 12 gegen 2; dann 2 mit 6 vervielfaͤltiget/ bringt 12. Alſo/ wann ich 3 zwiſchen 12 und
2 ſetze/ und die zwey Nenner 4 und 1½ miteinander vervielfaͤltige/ kommt [FORMEL]/ das iſt/ wieder 6/
fuͤr den Nenner der Verhaͤltnis 12 gegen 2; und ſolches allezeit/ es moͤge fuͤr eine Zahl dar-
zwiſchen geſetzet werden/ als immer wolle. Und darumb ſag ich nun/ die Verhaͤltnis 12 gegen
2 ſey aus jeden ſolchen zweyen zuſammgeſetzet.
Damit aber/ was hier durch ein Exempel erklaͤret worden/ auch durch
einen richtigen Beweiß bekraͤfftiget werde/ wollen wir zu foͤrderſt des Eu-
tokii ſeinen kuͤrzlich beybringen/ nachmals einen gar leichten und augen-
ſcheinlich/ jedoch darbey allgemeinen/ hinbeyfuͤgen.
Es ſeyen nun gegeben (ſagt Eutokius) zwey Dinge A und B, die
eine gewiſſe Verhaͤltnis gegen einander haben/ und zwiſchen-eingeſetzet
ein drittes/ C. Soll nun erwieſen werden/ daß die Verhaͤltnis A gegen
B, aus denen zweyen/ des A gegen C und des C gegen B, zuſammgeſetzet
ſey. Jch ſetze nun/ der Nenner der Verhaͤltnis A gegen C ſey D, der an-
dern aber/ des C gegen B, ihr Nenner ſey E; und was aus E in D wird/
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Zitationshilfe: | Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 129. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/157>, abgerufen am 16.07.2024. |