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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Von der Kugel und Rund-Säule.
tung der 10den Worterklärung des V. B. Erhellet demnach/ daß die Verhältnis AB
gegen D grösser sey als die anderthalbige der jenigen/ welche da hat C gegen D; Welches zu
beweisen war.

Durch unsere bißher oftgebrauchte Buchstaben Rechnung kan dieser Lehensatz allgemein
gemachet/ und folgender Gestalt augenscheinlich bewiesen werden: Für jede drey ungleiche
Dinge/ welche solcher Gestalt beschaffen seyn/ daß das Vermögen des ersten gegen dem Ver-
mögen des andern eine grössere Verhältnis habe/ als das andere gegen dem dritten/ kan ich
setzen e3a+x, eea und a. Dann das Vermögen des ersten ist e6aa+2e3ax+xx;
des andern Vermögen aber ist e4aa. Daß nun jenes gegen diesem eine grössere Verhältnis
habe/ als eea gegen a, wird offenbar aus dem jenigen/ was oben in der 3. Anmerkung bewie-
sen worden/ wann man nehmlich das erste durch das lezte/ und dann die beyde mittlere durch-
einander führet; da dann das kommende aus dem ersten in das lezte (nehmlich e6a3+
2e3 aax+axx) augenscheinlich grösser ist/ als das gemachte aus beyden mittlern (nehmlich
als e6a3.) Soll nun bewiesen werden/ daß bey so beschaffenen Dingen/ das erste e3a+x
gegen dem dritten a eine grössere Verhältnis habe/ als die anderthalbige Verhältnis des eea
gegen a. Dann wann ich zwischen eea und a setze die mittlere gleichverhaltende ea, und
dann zu diesen dreyen finde die erste gleichverhaltende/ e3a, so ist die Verhältnis e3a gegen a
eben die anderthalbige des eea gegen a, nach Anleitung der 10den Worterklärung im
V. B. Daß nun e3a+x gegen a eine grössere Verhältnis habe als e3a allein gegen
eben demselben a, ligt für Augen/ und bedarf also die Waarheit des besagten keines fernern
Beweisens/ sondern nur Beschauens.

6. Endlich muß auch dieses noch erinnert werden/ daß Archimedes gegenwertigen sei-
nen VIII. Lehrsatz noch mit einem andern Beweiß bekräfftiget/ welchen zu vollziehen wir aus
Eutokio folgenden Lehensatz voran schikken müssen:

Wann vier Dinge (A, B, C und D) nach Belieben gesetzet sind/ so ist
die zusammgesetzte Verhältnis/ welche bestehet aus der jenigen/ welche da
hat das gemachte aus dem ersten in das andere (aus A in B) gegen dem
Vermögen des dritten (C) und dann der Verhältnis des andern gegen
dem vierdten/ eben die jenige/ welche da hat das gemachte aus dem er-
sten in das andere zweymal (das ist/ aus A in B, und dann was kommt
wieder in B) gegen dem/ was kommt aus dem Vermögen des dritten (C)
in das vierdte (D.)

Dieses erläutert Eutokius durch beygesetzte Figur/ in welcher sind A, B, C, D vier
Lineen; K ist das/ was wird aus A in B, und L das Vermögen oder die Vierung von C;
und ist gemacht L gegen M, wie B ge-
gen D; also daß die Verhältnis des K
gegen M zusammgesetzet ist/ aus de-
nen beyden Verhältnissen/ des K ge-
gen L und des L gegen M, das ist/
des B gegen D, (Besihe die 3. An-
merkung obigen IV. Lehrsatzes.)
Ferner macht er aus K (das ist/ dem
Rechtekk aus A in B) in B, die Cör-
perliche Figur N; aus L (das ist/ dem
Vermögen oder der Vierung C) in
D, die Cörperliche Figur O; und
dann aus L in B die Cörperliche Figur
X. Letzlich beweiset er/ daß K gegen
[Abbildung] M sich verhalte/ wie N gegen O, welches eben das jenige ist/ was oben gesagt worden.

Sein Beweiß aber ist dieser: Weil aus K in B kommt N, und aus L in B kommt X, so
verhält sich/ wie K gegen L, also N gegen X, vermög des 18den im VII. B. Wiederumb

weil
T ij

Von der Kugel und Rund-Saͤule.
tung der 10den Worterklaͤrung des V. B. Erhellet demnach/ daß die Verhaͤltnis AB
gegen D groͤſſer ſey als die anderthalbige der jenigen/ welche da hat C gegen D; Welches zu
beweiſen war.

Durch unſere bißher oftgebrauchte Buchſtaben Rechnung kan dieſer Lehenſatz allgemein
gemachet/ und folgender Geſtalt augenſcheinlich bewieſen werden: Fuͤr jede drey ungleiche
Dinge/ welche ſolcher Geſtalt beſchaffen ſeyn/ daß das Vermoͤgen des erſten gegen dem Ver-
moͤgen des andern eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als das andere gegen dem dritten/ kan ich
ſetzen e3a+x, eea und a. Dann das Vermoͤgen des erſten iſt e6aa+2e3ax+xx;
des andern Vermoͤgen aber iſt e4aa. Daß nun jenes gegen dieſem eine groͤſſere Verhaͤltnis
habe/ als eea gegen a, wird offenbar aus dem jenigen/ was oben in der 3. Anmerkung bewie-
ſen worden/ wann man nehmlich das erſte durch das lezte/ und dann die beyde mittlere durch-
einander fuͤhret; da dann das kommende aus dem erſten in das lezte (nehmlich e6a3+
2e3 aax+axx) augenſcheinlich groͤſſer iſt/ als das gemachte aus beyden mittlern (nehmlich
als e6a3.) Soll nun bewieſen werden/ daß bey ſo beſchaffenen Dingen/ das erſte e3a+x
gegen dem dritten a eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als die anderthalbige Verhaͤltnis des eea
gegen a. Dann wann ich zwiſchen eea und a ſetze die mittlere gleichverhaltende ea, und
dann zu dieſen dreyen finde die erſte gleichverhaltende/ e3a, ſo iſt die Verhaͤltnis e3a gegen a
eben die anderthalbige des eea gegen a, nach Anleitung der 10den Worterklaͤrung im
V. B. Daß nun e3a+x gegen a eine groͤſſere Verhaͤltnis habe als e3a allein gegen
eben demſelben a, ligt fuͤr Augen/ und bedarf alſo die Waarheit des beſagten keines fernern
Beweiſens/ ſondern nur Beſchauens.

6. Endlich muß auch dieſes noch erinnert werden/ daß Archimedes gegenwertigen ſei-
nen VIII. Lehrſatz noch mit einem andern Beweiß bekraͤfftiget/ welchen zu vollziehen wir aus
Eutokio folgenden Lehenſatz voran ſchikken muͤſſen:

Wann vier Dinge (A, B, C und D) nach Belieben geſetzet ſind/ ſo iſt
die zuſammgeſetzte Verhaͤltnis/ welche beſtehet aus der jenigen/ welche da
hat das gemachte aus dem erſten in das andere (aus A in B) gegen dem
Vermoͤgen des dritten (C) und dann der Verhaͤltnis des andern gegen
dem vierdten/ eben die jenige/ welche da hat das gemachte aus dem er-
ſten in das andere zweymal (das iſt/ aus A in B, und dann was kommt
wieder in B) gegen dem/ was kommt aus dem Vermoͤgen des dritten (C)
in das vierdte (D.)

Dieſes erlaͤutert Eutokius durch beygeſetzte Figur/ in welcher ſind A, B, C, D vier
Lineen; K iſt das/ was wird aus A in B, und L das Vermoͤgen oder die Vierung von C;
und iſt gemacht L gegen M, wie B ge-
gen D; alſo daß die Verhaͤltnis des K
gegen M zuſammgeſetzet iſt/ aus de-
nen beyden Verhaͤltniſſen/ des K ge-
gen L und des L gegen M, das iſt/
des B gegen D, (Beſihe die 3. An-
merkung obigen IV. Lehrſatzes.)
Ferner macht er aus K (das iſt/ dem
Rechtekk aus A in B) in B, die Coͤr-
perliche Figur N; aus L (das iſt/ dem
Vermoͤgen oder der Vierung C) in
D, die Coͤrperliche Figur O; und
dann aus L in B die Coͤrperliche Figur
X. Letzlich beweiſet er/ daß K gegen
[Abbildung] M ſich verhalte/ wie N gegen O, welches eben das jenige iſt/ was oben geſagt worden.

Sein Beweiß aber iſt dieſer: Weil aus K in B kommt N, und aus L in B kommt X, ſo
verhaͤlt ſich/ wie K gegen L, alſo N gegen X, vermoͤg des 18den im VII. B. Wiederumb

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[147/0175] Von der Kugel und Rund-Saͤule. tung der 10den Worterklaͤrung des V. B. Erhellet demnach/ daß die Verhaͤltnis AB gegen D groͤſſer ſey als die anderthalbige der jenigen/ welche da hat C gegen D; Welches zu beweiſen war. Durch unſere bißher oftgebrauchte Buchſtaben Rechnung kan dieſer Lehenſatz allgemein gemachet/ und folgender Geſtalt augenſcheinlich bewieſen werden: Fuͤr jede drey ungleiche Dinge/ welche ſolcher Geſtalt beſchaffen ſeyn/ daß das Vermoͤgen des erſten gegen dem Ver- moͤgen des andern eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als das andere gegen dem dritten/ kan ich ſetzen e3a+x, eea und a. Dann das Vermoͤgen des erſten iſt e6aa+2e3ax+xx; des andern Vermoͤgen aber iſt e4aa. Daß nun jenes gegen dieſem eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als eea gegen a, wird offenbar aus dem jenigen/ was oben in der 3. Anmerkung bewie- ſen worden/ wann man nehmlich das erſte durch das lezte/ und dann die beyde mittlere durch- einander fuͤhret; da dann das kommende aus dem erſten in das lezte (nehmlich e6a3+ 2e3 aax+axx) augenſcheinlich groͤſſer iſt/ als das gemachte aus beyden mittlern (nehmlich als e6a3.) Soll nun bewieſen werden/ daß bey ſo beſchaffenen Dingen/ das erſte e3a+x gegen dem dritten a eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als die anderthalbige Verhaͤltnis des eea gegen a. Dann wann ich zwiſchen eea und a ſetze die mittlere gleichverhaltende ea, und dann zu dieſen dreyen finde die erſte gleichverhaltende/ e3a, ſo iſt die Verhaͤltnis e3a gegen a eben die anderthalbige des eea gegen a, nach Anleitung der 10den Worterklaͤrung im V. B. Daß nun e3a+x gegen a eine groͤſſere Verhaͤltnis habe als e3a allein gegen eben demſelben a, ligt fuͤr Augen/ und bedarf alſo die Waarheit des beſagten keines fernern Beweiſens/ ſondern nur Beſchauens. 6. Endlich muß auch dieſes noch erinnert werden/ daß Archimedes gegenwertigen ſei- nen VIII. Lehrſatz noch mit einem andern Beweiß bekraͤfftiget/ welchen zu vollziehen wir aus Eutokio folgenden Lehenſatz voran ſchikken muͤſſen: Wann vier Dinge (A, B, C und D) nach Belieben geſetzet ſind/ ſo iſt die zuſammgeſetzte Verhaͤltnis/ welche beſtehet aus der jenigen/ welche da hat das gemachte aus dem erſten in das andere (aus A in B) gegen dem Vermoͤgen des dritten (C) und dann der Verhaͤltnis des andern gegen dem vierdten/ eben die jenige/ welche da hat das gemachte aus dem er- ſten in das andere zweymal (das iſt/ aus A in B, und dann was kommt wieder in B) gegen dem/ was kommt aus dem Vermoͤgen des dritten (C) in das vierdte (D.) Dieſes erlaͤutert Eutokius durch beygeſetzte Figur/ in welcher ſind A, B, C, D vier Lineen; K iſt das/ was wird aus A in B, und L das Vermoͤgen oder die Vierung von C; und iſt gemacht L gegen M, wie B ge- gen D; alſo daß die Verhaͤltnis des K gegen M zuſammgeſetzet iſt/ aus de- nen beyden Verhaͤltniſſen/ des K ge- gen L und des L gegen M, das iſt/ des B gegen D, (Beſihe die 3. An- merkung obigen IV. Lehrſatzes.) Ferner macht er aus K (das iſt/ dem Rechtekk aus A in B) in B, die Coͤr- perliche Figur N; aus L (das iſt/ dem Vermoͤgen oder der Vierung C) in D, die Coͤrperliche Figur O; und dann aus L in B die Coͤrperliche Figur X. Letzlich beweiſet er/ daß K gegen [Abbildung] M ſich verhalte/ wie N gegen O, welches eben das jenige iſt/ was oben geſagt worden. Sein Beweiß aber iſt dieſer: Weil aus K in B kommt N, und aus L in B kommt X, ſo verhaͤlt ſich/ wie K gegen L, alſo N gegen X, vermoͤg des 18den im VII. B. Wiederumb weil T ij

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 147. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/175>, abgerufen am 27.11.2024.