Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

Oberwähnter Themistius erkläret die Meinung Brysons in folgenden Worten: Eine
Scheibe/ sagt er/ ist grösser als alle innerhalb ihres Umbkreisses beschriebene Vielekke/
und kleiner als alle umbgeschriebene. Jngleichen das zwischen inne beschriebene Viel-
ekk ist grösser als die eingeschriebenen und kleiner als die umbgeschriebenen. Dero-
wegen müssen die Scheibe und solches mittlere Vielekk einander gleich seyn. Welchem
nach Bryson nicht nur von einer möglichen Gleichheit eines Vielekkes und einer Scheibe ge-
redet/ sondern zugleich einen Weg angezeiget hätte/ solche Vergleichung ins Werk zu setzen;
Welcher aber wiederumb auf zweyerley Weise verstanden wird. Dann weil er eines mittlern/
zwischen das/ welches grösser ist als die Scheibe/ und das/ welches kleiner ist/ fallenden/ Viel-
ekkes gedenket/ verstehen solches etliche von einem solchen/ welches recht in der Mitte zwischen
dem innern und äussern liget uud beschrieben wird; etliche aber von dem mittlern gleichverhal-
tenden zwischen dem eingeschriebenen und umbgeschriebenen. Jener Bedunken nach ist Bry-
sonis Meinung diese: Wann innerhalb der gegebenen Scheibe eine Vierung BD, und ein an-
dere/ HK, ausserhalb umb dieselbe beschrieben ist/ mitten aber zwischen diese beyde noch eine
Vierung EG verzeichnet wird/ also daß CF und FI wie auch BE und EH einander gleich
seyen; so ist solche gefundene Vierung EG gleich der gegebenen Scheibe. Sein Beweiß gienge
nach ihrem Urteihl dahin: Weil die gegebene Scheibe grösser ist als die Vierung BD, kleiner
aber als die Vierung HK; Gleicher Gestalt die Vierung EG grösser als die Vierung BD
und kleiner als die Vierung HK, so müssen nohtwendig die gegebene Scheibe und die Vie-
rung EG einander gleich seyn: Welches dann in Waarheit ein schlechter Beweiß wäre/ dieweil
zwischen der innern und äussern Vierung nicht nur die Vierung EG, sondern noch unzählig
viel andere sich befinden/ welche kleiner sind als die Vierung HK, grösser aber als die Vierung
BD, und dergestalt alle miteinander der gegebenen Scheibe gleich seyn müsten. Es scheinet
aber fast/ ob sey dieser albere Schluß dem guten Bryson aufgedrungen und mit Unrecht zuge-
schrieben worden/ wann er anderst den/ oben aus Campano angezogenen/ Grundsatz gehabt
hat; als in welchem er genugsam bezeuget/ daß er wol gewust und bedacht habe/ daß zwischen
der äussern und innern Vierung unzählig viel andere/ der gegebenen Scheiben ungleiche/ be-
findlich seyen. Wolte man denn sagen (wie etwan aus Chemistii Worten Gelegenheit könte
genommen werden) der Grund Brysons bestünde eigentlich nicht darinnen/ daß die gegebene
Scheibe grösser ist als die Vierung BD und kleiner als die Vierung HK, sondern in einem viel
allgemeinern Ausspruch/ daß nehmlich gedachte Scheibe grösser ist als alle andere eingeschrie-
bene Vielekke/ und kleiner als alle umbgeschriebene; so wäre nachmals (wann anderst der
Schluß gut seyn solte) noch übrig zu beweisen/ daß auch die Vierung EG grösser sey als alle und
jede innerhalb des Umbkreisses beschriebene/ und kleiner als alle umbgeschriebene/ Vielekke:
Welches ihm aber eben so schwer/ als sein erstes Fürnehmen/ fallen würde.

Der andern ihrem Urteihl nach bestünde Brysons Kreiß-Vierung darauf/ daß man zwi-
schen beyden Vierungen BD und HK, nicht eben die mittlere der Stellung oder der Lage nach/
sondern die mittlere gleichverhaltende Vierung fände/ also daß die eingeschriebene Vierung
BD gegen der gefundenen sich verhielte wie die gefundene gegen der äussern umbgeschriebenen.
Allein da hätte Bryson zuvor auch beweisen müssen/ daß auch die gegebene Scheibe die mitt-
lere gleichverhaltende sey zwischen der innern und der äussern Vierung; und müste sein obiger
Beweiß diesen Verstand haben: Weil die gegebene Scheibe grösser ist als die Vierung BD,
kleiner aber als die Vierung HK; Richt weniger die gefundene mittlere gleichverhaltende
Vierung EG, auf gleiche Weise und in gleicher Verhältnis grösser ist als die Vierung BD
und kleiner als die Vierung HK, so müssen nohtwendig die gegebene Scheibe und die Vie-
rung EG einander gleich seyn; da dann der Schluß zwar gut/ der Nachsatz aber noch zu be-
weisen/ und eigentlich eben das jenige wäre/ was anfänglich hat sollen bewiesen werden. Dem
sey aber wie ihm wolle/ so hat doch die Meinung Brysons/ nach dieser Erklärung/ noch den
allergrössesten Schein/ und ist wol der Mühe werth/ daß wir ein wenig durch Zahlen versu-
chen/ wie nahe Bryson zum Zwekk geschossen/ oder wie weit er desselben verfehlet habe.
Solches aber können wir folgender Weise ausfündig machen: Aus obigem III. Lehrsatz un-
sers Archimedis und unsern beygefügten Anmerkungen ist gewiß/ daß eine jede Scheibe ge-
gen der Vierung ihres Durchmessers (als da ist die umbgeschriebene Vierung HK) eine et-
was kleinere Verhältnis habe als 11 gegen 14, und eine etwas grössere als 223 gegen 284.
Wann wir nun zwischen dieser umbgeschriebenen Vierung HK und zwischen der eingeschrie-
benen BD die mittlere gleichverhaltende suchen/ und nachmals besehen was dieselbe gegen der
vorigen umbgeschriebenen Vierung HK, das ist/ gegen der Vierung des Durchmessers/ für
eine Verhältnis habe/ wird unser Verlangen sattsam vergnüget werden. Nun ist bekannt aus

Oberwaͤhnter Themiſtius erklaͤret die Meinung Bryſons in folgenden Worten: Eine
Scheibe/ ſagt er/ iſt groͤſſer als alle innerhalb ihres Umbkreiſſes beſchriebene Vielekke/
und kleiner als alle umbgeſchriebene. Jngleichen das zwiſchen inne beſchriebene Viel-
ekk iſt groͤſſer als die eingeſchriebenen und kleiner als die umbgeſchriebenen. Dero-
wegen muͤſſen die Scheibe und ſolches mittlere Vielekk einander gleich ſeyn. Welchem
nach Bryſon nicht nur von einer moͤglichen Gleichheit eines Vielekkes und einer Scheibe ge-
redet/ ſondern zugleich einen Weg angezeiget haͤtte/ ſolche Vergleichung ins Werk zu ſetzen;
Welcher aber wiederumb auf zweyerley Weiſe verſtanden wird. Dann weil er eines mittlern/
zwiſchen das/ welches groͤſſer iſt als die Scheibe/ und das/ welches kleiner iſt/ fallenden/ Viel-
ekkes gedenket/ verſtehen ſolches etliche von einem ſolchen/ welches recht in der Mitte zwiſchen
dem innern und aͤuſſern liget uud beſchrieben wird; etliche aber von dem mittlern gleichverhal-
tenden zwiſchen dem eingeſchriebenen und umbgeſchriebenen. Jener Bedunken nach iſt Bry-
ſonis Meinung dieſe: Wann innerhalb der gegebenen Scheibe eine Vierung BD, und ein an-
dere/ HK, auſſerhalb umb dieſelbe beſchrieben iſt/ mitten aber zwiſchen dieſe beyde noch eine
Vierung EG verzeichnet wird/ alſo daß CF und FI wie auch BE und EH einander gleich
ſeyen; ſo iſt ſolche gefundene Vierung EG gleich der gegebenen Scheibe. Sein Beweiß gienge
nach ihrem Urteihl dahin: Weil die gegebene Scheibe groͤſſer iſt als die Vierung BD, kleiner
aber als die Vierung HK; Gleicher Geſtalt die Vierung EG groͤſſer als die Vierung BD
und kleiner als die Vierung HK, ſo muͤſſen nohtwendig die gegebene Scheibe und die Vie-
rung EG einander gleich ſeyn: Welches dann in Waarheit ein ſchlechter Beweiß waͤre/ dieweil
zwiſchen der innern und aͤuſſern Vierung nicht nur die Vierung EG, ſondern noch unzaͤhlig
viel andere ſich befinden/ welche kleiner ſind als die Vierung HK, groͤſſer aber als die Vierung
BD, und dergeſtalt alle miteinander der gegebenen Scheibe gleich ſeyn muͤſten. Es ſcheinet
aber faſt/ ob ſey dieſer albere Schluß dem guten Bryſon aufgedrungen und mit Unrecht zuge-
ſchrieben worden/ wann er anderſt den/ oben aus Campano angezogenen/ Grundſatz gehabt
hat; als in welchem er genugſam bezeuget/ daß er wol gewuſt und bedacht habe/ daß zwiſchen
der äuſſern und innern Vierung unzaͤhlig viel andere/ der gegebenen Scheiben ungleiche/ be-
findlich ſeyen. Wolte man denn ſagen (wie etwan aus Chemiſtii Worten Gelegenheit koͤnte
genommen werden) der Grund Bryſons beſtuͤnde eigentlich nicht darinnen/ daß die gegebene
Scheibe groͤſſer iſt als die Vierung BD und kleiner als die Vierung HK, ſondern in einem viel
allgemeinern Ausſpruch/ daß nehmlich gedachte Scheibe groͤſſer iſt als alle andere eingeſchrie-
bene Vielekke/ und kleiner als alle umbgeſchriebene; ſo waͤre nachmals (wann anderſt der
Schluß gut ſeyn ſolte) noch uͤbrig zu beweiſen/ daß auch die Vierung EG groͤſſer ſey als alle und
jede innerhalb des Umbkreiſſes beſchriebene/ und kleiner als alle umbgeſchriebene/ Vielekke:
Welches ihm aber eben ſo ſchwer/ als ſein erſtes Fuͤrnehmen/ fallen wuͤrde.

Der andern ihrem Urteihl nach beſtuͤnde Bryſons Kreiß-Vierung darauf/ daß man zwi-
ſchen beyden Vierungen BD und HK, nicht eben die mittlere der Stellung oder der Lage nach/
ſondern die mittlere gleichverhaltende Vierung faͤnde/ alſo daß die eingeſchriebene Vierung
BD gegen der gefundenen ſich verhielte wie die gefundene gegen der aͤuſſern umbgeſchriebenen.
Allein da haͤtte Bryſon zuvor auch beweiſen muͤſſen/ daß auch die gegebene Scheibe die mitt-
lere gleichverhaltende ſey zwiſchen der innern und der aͤuſſern Vierung; und muͤſte ſein obiger
Beweiß dieſen Verſtand haben: Weil die gegebene Scheibe groͤſſer iſt als die Vierung BD,
kleiner aber als die Vierung HK; Richt weniger die gefundene mittlere gleichverhaltende
Vierung EG, auf gleiche Weiſe und in gleicher Verhaͤltnis groͤſſer iſt als die Vierung BD
und kleiner als die Vierung HK, ſo muͤſſen nohtwendig die gegebene Scheibe und die Vie-
rung EG einander gleich ſeyn; da dann der Schluß zwar gut/ der Nachſatz aber noch zu be-
weiſen/ und eigentlich eben das jenige waͤre/ was anfaͤnglich hat ſollen bewieſen werden. Dem
ſey aber wie ihm wolle/ ſo hat doch die Meinung Bryſons/ nach dieſer Erklaͤrung/ noch den
allergroͤſſeſten Schein/ und iſt wol der Muͤhe werth/ daß wir ein wenig durch Zahlen verſu-
chen/ wie nahe Bryſon zum Zwekk geſchoſſen/ oder wie weit er deſſelben verfehlet habe.
Solches aber koͤnnen wir folgender Weiſe ausfuͤndig machen: Aus obigem III. Lehrſatz un-
ſers Archimedis und unſern beygefuͤgten Anmerkungen iſt gewiß/ daß eine jede Scheibe ge-
gen der Vierung ihres Durchmeſſers (als da iſt die umbgeſchriebene Vierung HK) eine et-
was kleinere Verhaͤltnis habe als 11 gegen 14, und eine etwas groͤſſere als 223 gegen 284.
Wann wir nun zwiſchen dieſer umbgeſchriebenen Vierung HK und zwiſchen der eingeſchrie-
benen BD die mittlere gleichverhaltende ſuchen/ und nachmals beſehen was dieſelbe gegen der
vorigen umbgeſchriebenen Vierung HK, das iſt/ gegen der Vierung des Durchmeſſers/ fuͤr
eine Verhaͤltnis habe/ wird unſer Verlangen ſattſam vergnuͤget werden. Nun iſt bekannt aus