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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Rechtekk aus km in mo gleich sey/ kan zwar auf vielerley Weise/ und/ meines Bedunkens/
kurz und einfältig genug/ folgender Gestalt erwiesen werden:

Dieweil (vermög der ersten Betrachtung und des 17den im VI. B.) wie ca ge-
gen mb, also mb gegen ab sich verhält/ so wird auch (Krafft des 15den im V.) ca gegen
2 mb oder 2 ge sich verhalten/ wie mb gegen 2 ab, das ist/ gegen bi, oder (wegen Aehn-
lichkeit beyder Dreyekke mbi und hgd) wie hg gegen gd, nach dem 29sten des I. und
4ten des VI. B. Weswegen dann (Krafft des 16den im VI.) das Rechtekk aus 2 ge
in hg, das ist/ zwey Rechtekk aus ge in hg, gleich sind dem Rechtekk aus ca in gd. Nun
aber sind (vermög der ersten Betrachtung) die zwey Vierungen von hg und bm oder
ge gleich denen beyden Rechtekken aus ca in ag und aus ca in ab oder ai; das ist/ dem
einigen Rechtekk aus ca in ig. Derowegen so man diesen beyden gleichen jene beyde gleiche
zugibt oder nimmt/ so müssen auch die Summen oder Reste einander gleich seyn; das ist/ wann
(in der I. F.) auf einer Seite denen beyden Vierungen hg und ge zwey Rechtekke aus hg in
ge zugegeben werden/ also daß die völlige Summ (vermög des 4ten im II. B.) wird die
Vierung eh; auf der andern Seiten aber zu dem Rechtekk aus ca in ig das Rechtekk aus
ca in gd gesetzet/ und also (nach dem 1sten des II. B.) das Rechtekk aus ca in id oder
mo gemachet wird; so muß auch die Vierung eh dem Rechtekk aus ca in id oder mo
gleich seyn. Gleicher Gestalt/ wann (in der II. und III. F.) auf einer Seite von denen bey-
den Vierungen hg und ge zwey Rechtekke aus hg in ge genommen werden/ also daß
(vermög des 7den im II. B.) der Rest ist die Vierung eh; auf der andern Seiten aber
von dem Rechtekk aus ca in ig wegkommet/ das Rechtekk aus ca in gd, und also das
Rechtekk ans ca in id übrig bleibet; so muß abermal die Vierung eh dem Rechtekk aus
ca in id oder mo gleich seyn.

Dieweil sich aber nun ferner verhält (wegen Aehnlichkeit derer Dreyekke mbi und
heo) wie die Vierung mb gegen der Vierung mi, oder (vermög der ersten Betrach-
tung/ und des obigen Satzes/ daß mk die dritte gleich verhaltende zu ai (oder ab)
und im seyn solle) wie das Rechtekk aus ca in ab gegen dem Rechtekk aus km in ab;
das ist/ (nach dem 1sten des VI.) wie ca gegen km, oder/ nach angenommener gemeiner
Höhe mo, wie das Rechtekk aus ca in mo gegen dem Rechtekk aus km in mo: also die
Vierung he gegen der Vierung ho, Krafft des 4ten und 22sten im VI. B. Und aber/
wie kurz vorher erwiesen worden/ das Rechtekk aus ca in mo der Vierung he gleich ist; so
muß auch das Rechtekk aus km in mo (Laut des 14den im V. B.) der Vierung ho
gleich seyn.

Also daß nunmehr (Krafft obiger Bedingung) gewiß ist/ daß der Punct h, er sey
gleich genommen in der gegebenen Parabel ham wo er immer wolle/ allezeit auch in der jeni-
gen Parabel sey/ welche vermittelst der Zwischenweite km und der Lini su beschrieben wird;
und daß folgends eine Parabel mit der andern ganz überein treffe/ oder vielmehr diese leztere mit
jener ersten einerley sey: Wie dann hat sollen bewiesen werden.

1. Folge.

Aus bißher-besagtem erhellet zu förderst/ daß/ wann in der Parabel zwey gleichlauffende
Lineen nach Belieben gezogen werden/ die jenige Lini/ welche solche beyde halbteihlet/ derosel-
ben Durchmesser sey: sintemal/ nach dem Schluß der obigen 6. Folge der ersten Betrach-
tung/ der jenige Durchmesser/ welcher mitten durch eine solche gleichlauffende Lini gezogen
wird/ auch nohtwendig mitten durch die andere streichen muß. Und also erscheinet/ wie man
gar leicht einer jeden gegebenen Parabel ihren Durchmesser und zugleich die auf denselben or-
dentlich-gezogene Lineen finden könne.

2. Folge.

Weiter ist offenbar/ daß jederzeit die/ eine Parabel berührende/ und dann die/ aus solchem
Anrührungspunct auf den Durchmesser ordentlich-gezogene/ Lineen von dem Durchmesser/ zu
beyden Seiten des Scheitelpuncts gleiche Stükke abschneiden: und umbgekehret/ daß die aus
denen Endpuncten derer ordentlich-gezogenen auf den Durchmesser hinaus gezogene Lineen/

wann
C c

Rechtekk aus km in mo gleich ſey/ kan zwar auf vielerley Weiſe/ und/ meines Bedunkens/
kurz und einfaͤltig genug/ folgender Geſtalt erwieſen werden:

Dieweil (vermoͤg der erſten Betrachtung und des 17den im VI. B.) wie ca ge-
gen mb, alſo mb gegen ab ſich verhaͤlt/ ſo wird auch (Krafft des 15den im V.) ca gegen
2 mb oder 2 ge ſich verhalten/ wie mb gegen 2 ab, das iſt/ gegen bi, oder (wegen Aehn-
lichkeit beyder Dreyekke mbi und hgd) wie hg gegen gd, nach dem 29ſten des I. und
4ten des VI. B. Weswegen dann (Krafft des 16den im VI.) das Rechtekk aus 2 ge
in hg, das iſt/ zwey Rechtekk aus ge in hg, gleich ſind dem Rechtekk aus ca in gd. Nun
aber ſind (vermoͤg der erſten Betrachtung) die zwey Vierungen von hg und bm oder
ge gleich denen beyden Rechtekken aus ca in ag und aus ca in ab oder ai; das iſt/ dem
einigen Rechtekk aus ca in ig. Derowegen ſo man dieſen beyden gleichen jene beyde gleiche
zugibt oder nimmt/ ſo muͤſſen auch die Summen oder Reſte einander gleich ſeyn; das iſt/ wann
(in der I. F.) auf einer Seite denen beyden Vierungen hg und ge zwey Rechtekke aus hg in
ge zugegeben werden/ alſo daß die voͤllige Summ (vermoͤg des 4ten im II. B.) wird die
Vierung eh; auf der andern Seiten aber zu dem Rechtekk aus ca in ig das Rechtekk aus
ca in gd geſetzet/ und alſo (nach dem 1ſten des II. B.) das Rechtekk aus ca in id oder
mo gemachet wird; ſo muß auch die Vierung eh dem Rechtekk aus ca in id oder mo
gleich ſeyn. Gleicher Geſtalt/ wann (in der II. und III. F.) auf einer Seite von denen bey-
den Vierungen hg und ge zwey Rechtekke aus hg in ge genommen werden/ alſo daß
(vermoͤg des 7den im II. B.) der Reſt iſt die Vierung eh; auf der andern Seiten aber
von dem Rechtekk aus ca in ig wegkommet/ das Rechtekk aus ca in gd, und alſo das
Rechtekk ans ca in id uͤbrig bleibet; ſo muß abermal die Vierung eh dem Rechtekk aus
ca in id oder mo gleich ſeyn.

Dieweil ſich aber nun ferner verhaͤlt (wegen Aehnlichkeit derer Dreyekke mbi und
heo) wie die Vierung mb gegen der Vierung mi, oder (vermoͤg der erſten Betrach-
tung/ und des obigen Satzes/ daß mk die dritte gleich verhaltende zu ai (oder ab)
und im ſeyn ſolle) wie das Rechtekk aus ca in ab gegen dem Rechtekk aus km in ab;
das iſt/ (nach dem 1ſten des VI.) wie ca gegen km, oder/ nach angenommener gemeiner
Hoͤhe mo, wie das Rechtekk aus ca in mo gegen dem Rechtekk aus km in mo: alſo die
Vierung he gegen der Vierung ho, Krafft des 4ten und 22ſten im VI. B. Und aber/
wie kurz vorher erwieſen worden/ das Rechtekk aus ca in mo der Vierung he gleich iſt; ſo
muß auch das Rechtekk aus km in mo (Laut des 14den im V. B.) der Vierung ho
gleich ſeyn.

Alſo daß nunmehr (Krafft obiger Bedingung) gewiß iſt/ daß der Punct h, er ſey
gleich genommen in der gegebenen Parabel ham wo er immer wolle/ allezeit auch in der jeni-
gen Parabel ſey/ welche vermittelſt der Zwiſchenweite km und der Lini su beſchrieben wird;
und daß folgends eine Parabel mit der andern ganz uͤberein treffe/ oder vielmehr dieſe leztere mit
jener erſten einerley ſey: Wie dann hat ſollen bewieſen werden.

1. Folge.

Aus bißher-beſagtem erhellet zu foͤrderſt/ daß/ wann in der Parabel zwey gleichlauffende
Lineen nach Belieben gezogen werden/ die jenige Lini/ welche ſolche beyde halbteihlet/ deroſel-
ben Durchmeſſer ſey: ſintemal/ nach dem Schluß der obigen 6. Folge der erſten Betrach-
tung/ der jenige Durchmeſſer/ welcher mitten durch eine ſolche gleichlauffende Lini gezogen
wird/ auch nohtwendig mitten durch die andere ſtreichen muß. Und alſo erſcheinet/ wie man
gar leicht einer jeden gegebenen Parabel ihren Durchmeſſer und zugleich die auf denſelben or-
dentlich-gezogene Lineen finden koͤnne.

2. Folge.

Weiter iſt offenbar/ daß jederzeit die/ eine Parabel beruͤhrende/ und dann die/ aus ſolchem
Anruͤhrungspunct auf den Durchmeſſer ordentlich-gezogene/ Lineen von dem Durchmeſſer/ zu
beyden Seiten des Scheitelpuncts gleiche Stuͤkke abſchneiden: und umbgekehret/ daß die aus
denen Endpuncten derer ordentlich-gezogenen auf den Durchmeſſer hinaus gezogene Lineen/

wann
C c
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[201/0229] Rechtekk aus km in mo gleich ſey/ kan zwar auf vielerley Weiſe/ und/ meines Bedunkens/ kurz und einfaͤltig genug/ folgender Geſtalt erwieſen werden: Dieweil (vermoͤg der erſten Betrachtung und des 17den im VI. B.) wie ca ge- gen mb, alſo mb gegen ab ſich verhaͤlt/ ſo wird auch (Krafft des 15den im V.) ca gegen 2 mb oder 2 ge ſich verhalten/ wie mb gegen 2 ab, das iſt/ gegen bi, oder (wegen Aehn- lichkeit beyder Dreyekke mbi und hgd) wie hg gegen gd, nach dem 29ſten des I. und 4ten des VI. B. Weswegen dann (Krafft des 16den im VI.) das Rechtekk aus 2 ge in hg, das iſt/ zwey Rechtekk aus ge in hg, gleich ſind dem Rechtekk aus ca in gd. Nun aber ſind (vermoͤg der erſten Betrachtung) die zwey Vierungen von hg und bm oder ge gleich denen beyden Rechtekken aus ca in ag und aus ca in ab oder ai; das iſt/ dem einigen Rechtekk aus ca in ig. Derowegen ſo man dieſen beyden gleichen jene beyde gleiche zugibt oder nimmt/ ſo muͤſſen auch die Summen oder Reſte einander gleich ſeyn; das iſt/ wann (in der I. F.) auf einer Seite denen beyden Vierungen hg und ge zwey Rechtekke aus hg in ge zugegeben werden/ alſo daß die voͤllige Summ (vermoͤg des 4ten im II. B.) wird die Vierung eh; auf der andern Seiten aber zu dem Rechtekk aus ca in ig das Rechtekk aus ca in gd geſetzet/ und alſo (nach dem 1ſten des II. B.) das Rechtekk aus ca in id oder mo gemachet wird; ſo muß auch die Vierung eh dem Rechtekk aus ca in id oder mo gleich ſeyn. Gleicher Geſtalt/ wann (in der II. und III. F.) auf einer Seite von denen bey- den Vierungen hg und ge zwey Rechtekke aus hg in ge genommen werden/ alſo daß (vermoͤg des 7den im II. B.) der Reſt iſt die Vierung eh; auf der andern Seiten aber von dem Rechtekk aus ca in ig wegkommet/ das Rechtekk aus ca in gd, und alſo das Rechtekk ans ca in id uͤbrig bleibet; ſo muß abermal die Vierung eh dem Rechtekk aus ca in id oder mo gleich ſeyn. Dieweil ſich aber nun ferner verhaͤlt (wegen Aehnlichkeit derer Dreyekke mbi und heo) wie die Vierung mb gegen der Vierung mi, oder (vermoͤg der erſten Betrach- tung/ und des obigen Satzes/ daß mk die dritte gleich verhaltende zu ai (oder ab) und im ſeyn ſolle) wie das Rechtekk aus ca in ab gegen dem Rechtekk aus km in ab; das iſt/ (nach dem 1ſten des VI.) wie ca gegen km, oder/ nach angenommener gemeiner Hoͤhe mo, wie das Rechtekk aus ca in mo gegen dem Rechtekk aus km in mo: alſo die Vierung he gegen der Vierung ho, Krafft des 4ten und 22ſten im VI. B. Und aber/ wie kurz vorher erwieſen worden/ das Rechtekk aus ca in mo der Vierung he gleich iſt; ſo muß auch das Rechtekk aus km in mo (Laut des 14den im V. B.) der Vierung ho gleich ſeyn. Alſo daß nunmehr (Krafft obiger Bedingung) gewiß iſt/ daß der Punct h, er ſey gleich genommen in der gegebenen Parabel ham wo er immer wolle/ allezeit auch in der jeni- gen Parabel ſey/ welche vermittelſt der Zwiſchenweite km und der Lini su beſchrieben wird; und daß folgends eine Parabel mit der andern ganz uͤberein treffe/ oder vielmehr dieſe leztere mit jener erſten einerley ſey: Wie dann hat ſollen bewieſen werden. 1. Folge. Aus bißher-beſagtem erhellet zu foͤrderſt/ daß/ wann in der Parabel zwey gleichlauffende Lineen nach Belieben gezogen werden/ die jenige Lini/ welche ſolche beyde halbteihlet/ deroſel- ben Durchmeſſer ſey: ſintemal/ nach dem Schluß der obigen 6. Folge der erſten Betrach- tung/ der jenige Durchmeſſer/ welcher mitten durch eine ſolche gleichlauffende Lini gezogen wird/ auch nohtwendig mitten durch die andere ſtreichen muß. Und alſo erſcheinet/ wie man gar leicht einer jeden gegebenen Parabel ihren Durchmeſſer und zugleich die auf denſelben or- dentlich-gezogene Lineen finden koͤnne. 2. Folge. Weiter iſt offenbar/ daß jederzeit die/ eine Parabel beruͤhrende/ und dann die/ aus ſolchem Anruͤhrungspunct auf den Durchmeſſer ordentlich-gezogene/ Lineen von dem Durchmeſſer/ zu beyden Seiten des Scheitelpuncts gleiche Stuͤkke abſchneiden: und umbgekehret/ daß die aus denen Endpuncten derer ordentlich-gezogenen auf den Durchmeſſer hinaus gezogene Lineen/ wann C c

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 201. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/229>, abgerufen am 29.11.2024.