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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Von der Kugel und Rund-Seule.
der kleinesten eine kleinere Verhältniß habe/ als die grösseste derer
beyden gegebenen Grössen gegen der kleinern.

Die Auflösung der Aufgab.

Es seyen zum Exempel gegeben zwey ungleiche Grössen/ nehmlich AB die
grössere/ und D die kleinere. Die zwey begehrte Lineen nun zu finden/ verfahre
also: Von der grösseren AB schneide ab das Stück BC so groß als die kleinere D,
nach der 3ten Aufgab des Ersten Buchs Euclidis; darnach vervielfältige CA
so oft/ biß heraus komme AK, welches grösser sey als D oder BC, nach dem VII.
obigen Grundsatz. Endlich mache/ daß/ wie AK sich verhält gegen AC, also
eine andere (nach belieben genommene) Lini FG sich verhalte gegen GH, nach
dem 12ten Lehrsatz des sechsten
Buchs Euclidis; so werden alsdann
FG und FH die begehrte beyde Lineen
seyn/ und FH gegen FG eine kleinere
Verhältnis haben/ als die gebene
Grösse AB zu der kleinern D.

[Abbildung]
Beweiß.

Dann AC hat gegen D oder BC (so einander gleich sind) eine grössere
Verhältnis/ als gegen AK, welche grösser als D ist/ nach dem 8ten Lehrsatz
des V. Buchs Euclidis. Nun aber verhält sich FG gegen GH wie AK ge-
gen AC, vermög obiger Auflösung/ und also auch umbgekehrt/ GH gegen
FG, wie AC gegen AK, nach der Folge des 4ten Lehrsatzes im fünfften Buch
Euclidis. Derowegen muß nun auch AC gegen D oder BC, eine grössere
Verhältnis haben/ als GH gegen FG; oder (welches gleich viel ist) GH muß
gegen FG eine kleinere Verhältnis haben als AC gegen D oder BC. Und also
endlich (vermög des 28. Lehrsatzes Euclidis in seinem V. ten Buch) auch GH
samt FG (das ist die ganze Lini FH) muß gegen FG eine kleinere Verhältnis
haben/ als AC samt D (oder BC) das ist/ die ganze Lini AB gegen D. Wel-
ches solte bewiesen werden.

Anmerkung.

Archimedes hat sich in Auflösung dieser Aufgab/ als wir oben gesehen/ bedienet. Des
VII. den obigen Grundsatzes/ und begehrt/ daß CA so oft widerholet oder vervielfältiget wer-
de/ biß AK herauskomme/ welches grösser sey als D oder BC. Und dieses hat er darumb ge-
tahn/ damit AK gegen AC (und also auch FG gegen GH) eine leichte/ nehmlich eine viel-
fache (multiplicem rationem) Verhältnis bekomme/ das ist/ eines das andere gerad etliche
mal in sich halte/ daß nichts überbleibe und nichts mangele/ damit die Verhältnis der Lini FG
gegen GH, ohne ferner nöhtigen Beweiß leichtlich möge gefunden werden/ in dem man nehm-
lich eine nach belieben genommene Lini GH nur so oft widerholen und zu ihr selbsten setzen dür-
fen/ als oft AC in AK enthalten ist.

Weilen wir aber aus dem 12ten Lehrsatz des sechsten Buchs Euclidis (den wir also in
obigem Beweiß wol hätten auslassen können) leichtlich machen können/ daß GH gegen FG sich
verhalte/ wie AC gegen AK, oder gegen AB, oder gegen einer jeden andern Grösse; so kön-
ten wir der Vervielfältigung des CA/ und daher auch des daraus entspringenden AK, gar wol
entbehren/ und (AB für AK gebrauchend) den Beweiß kürzer also verfassen: Weil AC ge-
gen AB dem grössern eine kleinere Verhältnis hat/ als gegen D oder BC dem kleinern; GH
aber gegen FG ist gemachet worden wie AC gegen AB, so folget/ daß auch GH gegen FG eine
kleinere Verhältnis habe/ als AC gegen D oder BC; und gleichfalls GH und FG zusammen
(das ist FH) gegen FG eine kleinere Verhältnis als AC und D (oder BC) zusammen (das
ist AB) gegen D; welches zu beweisen war.

Der

Von der Kugel und Rund-Seule.
der kleineſten eine kleinere Verhaͤltniß habe/ als die groͤſſeſte derer
beyden gegebenen Groͤſſen gegen der kleinern.

Die Aufloͤſung der Aufgab.

Es ſeyen zum Exempel gegeben zwey ungleiche Groͤſſen/ nehmlich AB die
groͤſſere/ und D die kleinere. Die zwey begehrte Lineen nun zu finden/ verfahre
alſo: Von der groͤſſeren AB ſchneide ab das Stuͤck BC ſo groß als die kleinere D,
nach der 3ten Aufgab des Erſten Buchs Euclidis; darnach vervielfaͤltige CA
ſo oft/ biß heraus komme AK, welches groͤſſer ſey als D oder BC, nach dem VII.
obigen Grundſatz. Endlich mache/ daß/ wie AK ſich verhaͤlt gegen AC, alſo
eine andere (nach belieben genommene) Lini FG ſich verhalte gegen GH, nach
dem 12ten Lehrſatz des ſechſten
Buchs Euclidis; ſo werden alsdann
FG und FH die begehrte beyde Lineen
ſeyn/ und FH gegen FG eine kleinere
Verhaͤltnis haben/ als die gebene
Groͤſſe AB zu der kleinern D.

[Abbildung]
Beweiß.

Dann AC hat gegen D oder BC (ſo einander gleich ſind) eine groͤſſere
Verhaͤltnis/ als gegen AK, welche groͤſſer als D iſt/ nach dem 8ten Lehrſatz
des V. Buchs Euclidis. Nun aber verhaͤlt ſich FG gegen GH wie AK ge-
gen AC, vermoͤg obiger Aufloͤſung/ und alſo auch umbgekehrt/ GH gegen
FG, wie AC gegen AK, nach der Folge des 4ten Lehrſatzes im fuͤnfften Buch
Euclidis. Derowegen muß nun auch AC gegen D oder BC, eine groͤſſere
Verhaͤltnis haben/ als GH gegen FG; oder (welches gleich viel iſt) GH muß
gegen FG eine kleinere Verhaͤltnis haben als AC gegen D oder BC. Und alſo
endlich (vermoͤg des 28. Lehrſatzes Euclidis in ſeinem V. ten Buch) auch GH
ſamt FG (das iſt die ganze Lini FH) muß gegen FG eine kleinere Verhaͤltnis
haben/ als AC ſamt D (oder BC) das iſt/ die ganze Lini AB gegen D. Wel-
ches ſolte bewieſen werden.

Anmerkung.

Archimedes hat ſich in Aufloͤſung dieſer Aufgab/ als wir oben geſehen/ bedienet. Des
VII. den obigen Grundſatzes/ und begehrt/ daß CA ſo oft widerholet oder vervielfaͤltiget wer-
de/ biß AK herauskomme/ welches groͤſſer ſey als D oder BC. Und dieſes hat er darumb ge-
tahn/ damit AK gegen AC (und alſo auch FG gegen GH) eine leichte/ nehmlich eine viel-
fache (multiplicem rationem) Verhaͤltnis bekomme/ das iſt/ eines das andere gerad etliche
mal in ſich halte/ daß nichts uͤberbleibe und nichts mangele/ damit die Verhaͤltnis der Lini FG
gegen GH, ohne ferner noͤhtigen Beweiß leichtlich moͤge gefunden werden/ in dem man nehm-
lich eine nach belieben genommene Lini GH nur ſo oft widerholen und zu ihr ſelbſten ſetzen duͤr-
fen/ als oft AC in AK enthalten iſt.

Weilen wir aber aus dem 12ten Lehrſatz des ſechſten Buchs Euclidis (den wir alſo in
obigem Beweiß wol haͤtten auslaſſen koͤnnen) leichtlich machen koͤnnen/ daß GH gegen FG ſich
verhalte/ wie AC gegen AK, oder gegen AB, oder gegen einer jeden andern Groͤſſe; ſo koͤn-
ten wir der Vervielfaͤltigung des CA/ und daher auch des daraus entſpringenden AK, gar wol
entbehren/ und (AB fuͤr AK gebrauchend) den Beweiß kuͤrzer alſo verfaſſen: Weil AC ge-
gen AB dem groͤſſern eine kleinere Verhaͤltnis hat/ als gegen D oder BC dem kleinern; GH
aber gegen FG iſt gemachet worden wie AC gegen AB, ſo folget/ daß auch GH gegen FG eine
kleinere Verhaͤltnis habe/ als AC gegen D oder BC; und gleichfalls GH und FG zuſammen
(das iſt FH) gegen FG eine kleinere Verhaͤltnis als AC und D (oder BC) zuſammen (das
iſt AB) gegen D; welches zu beweiſen war.

Der
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[11/0039] Von der Kugel und Rund-Seule. der kleineſten eine kleinere Verhaͤltniß habe/ als die groͤſſeſte derer beyden gegebenen Groͤſſen gegen der kleinern. Die Aufloͤſung der Aufgab. Es ſeyen zum Exempel gegeben zwey ungleiche Groͤſſen/ nehmlich AB die groͤſſere/ und D die kleinere. Die zwey begehrte Lineen nun zu finden/ verfahre alſo: Von der groͤſſeren AB ſchneide ab das Stuͤck BC ſo groß als die kleinere D, nach der 3ten Aufgab des Erſten Buchs Euclidis; darnach vervielfaͤltige CA ſo oft/ biß heraus komme AK, welches groͤſſer ſey als D oder BC, nach dem VII. obigen Grundſatz. Endlich mache/ daß/ wie AK ſich verhaͤlt gegen AC, alſo eine andere (nach belieben genommene) Lini FG ſich verhalte gegen GH, nach dem 12ten Lehrſatz des ſechſten Buchs Euclidis; ſo werden alsdann FG und FH die begehrte beyde Lineen ſeyn/ und FH gegen FG eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als die gebene Groͤſſe AB zu der kleinern D. [Abbildung] Beweiß. Dann AC hat gegen D oder BC (ſo einander gleich ſind) eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als gegen AK, welche groͤſſer als D iſt/ nach dem 8ten Lehrſatz des V. Buchs Euclidis. Nun aber verhaͤlt ſich FG gegen GH wie AK ge- gen AC, vermoͤg obiger Aufloͤſung/ und alſo auch umbgekehrt/ GH gegen FG, wie AC gegen AK, nach der Folge des 4ten Lehrſatzes im fuͤnfften Buch Euclidis. Derowegen muß nun auch AC gegen D oder BC, eine groͤſſere Verhaͤltnis haben/ als GH gegen FG; oder (welches gleich viel iſt) GH muß gegen FG eine kleinere Verhaͤltnis haben als AC gegen D oder BC. Und alſo endlich (vermoͤg des 28. Lehrſatzes Euclidis in ſeinem V. ten Buch) auch GH ſamt FG (das iſt die ganze Lini FH) muß gegen FG eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als AC ſamt D (oder BC) das iſt/ die ganze Lini AB gegen D. Wel- ches ſolte bewieſen werden. Anmerkung. Archimedes hat ſich in Aufloͤſung dieſer Aufgab/ als wir oben geſehen/ bedienet. Des VII. den obigen Grundſatzes/ und begehrt/ daß CA ſo oft widerholet oder vervielfaͤltiget wer- de/ biß AK herauskomme/ welches groͤſſer ſey als D oder BC. Und dieſes hat er darumb ge- tahn/ damit AK gegen AC (und alſo auch FG gegen GH) eine leichte/ nehmlich eine viel- fache (multiplicem rationem) Verhaͤltnis bekomme/ das iſt/ eines das andere gerad etliche mal in ſich halte/ daß nichts uͤberbleibe und nichts mangele/ damit die Verhaͤltnis der Lini FG gegen GH, ohne ferner noͤhtigen Beweiß leichtlich moͤge gefunden werden/ in dem man nehm- lich eine nach belieben genommene Lini GH nur ſo oft widerholen und zu ihr ſelbſten ſetzen duͤr- fen/ als oft AC in AK enthalten iſt. Weilen wir aber aus dem 12ten Lehrſatz des ſechſten Buchs Euclidis (den wir alſo in obigem Beweiß wol haͤtten auslaſſen koͤnnen) leichtlich machen koͤnnen/ daß GH gegen FG ſich verhalte/ wie AC gegen AK, oder gegen AB, oder gegen einer jeden andern Groͤſſe; ſo koͤn- ten wir der Vervielfaͤltigung des CA/ und daher auch des daraus entſpringenden AK, gar wol entbehren/ und (AB fuͤr AK gebrauchend) den Beweiß kuͤrzer alſo verfaſſen: Weil AC ge- gen AB dem groͤſſern eine kleinere Verhaͤltnis hat/ als gegen D oder BC dem kleinern; GH aber gegen FG iſt gemachet worden wie AC gegen AB, ſo folget/ daß auch GH gegen FG eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als AC gegen D oder BC; und gleichfalls GH und FG zuſammen (das iſt FH) gegen FG eine kleinere Verhaͤltnis als AC und D (oder BC) zuſammen (das iſt AB) gegen D; welches zu beweiſen war. Der

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 11. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/39>, abgerufen am 23.11.2024.