Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.Archimedis Erstes Buch daß die Zahlen also stehen/ 1/ 5/ 25) wie kan die Verhältnis 1 gegen 25 zweymal so großseyn als die Verhältnis 1 gegen 5/ sintemal aus dem 8ten des V. Buchs erhellet/ daß vielmehr umbgekehret 1 gegen 5 eine grössere Verhältnis habe/ als gegen 25? Und dannoch wird die Verhältnis 1 gegen 25 gedoppelt oder zweyfach genennet in Ansehung der Verhältnis 1 gegen 5; nehmlich keines weges der Meinung/ als ob jene zweymal so groß wäre als diese/ son- dern weil diese zweymal innerhalb dieser begriffen ist/ wie oben erkläret worden: Also/ daß obi- ges aus diesem Grund nicht so leichtlich erhellet/ wie es anfänglich scheinet/ sondern (damit nichts zweifelhaftiges zu rukk bleibe) beweisens wol bedürftig ist. [Abbildung]
David Rivalt de Flurance beweiset es gar leicht Ob nun schon dieser Beweiß zu gegenwärtigem Fürhaben/ allwo eben von Lineen allein 2. Ferner ist in obigem Beweiß als gewiß gesetzet worden/ daß/ wann eine einfache Ver- Obangezogener David Rivalt de Flurance beruffet sich in diesem Fall mit zwey Worten er aus-
Archimedis Erſtes Buch daß die Zahlen alſo ſtehen/ 1/ 5/ 25) wie kan die Verhaͤltnis 1 gegen 25 zweymal ſo großſeyn als die Verhaͤltnis 1 gegen 5/ ſintemal aus dem 8ten des V. Buchs erhellet/ daß vielmehr umbgekehret 1 gegen 5 eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als gegen 25? Und dannoch wird die Verhaͤltnis 1 gegen 25 gedoppelt oder zweyfach genennet in Anſehung der Verhaͤltnis 1 gegen 5; nehmlich keines weges der Meinung/ als ob jene zweymal ſo groß waͤre als dieſe/ ſon- dern weil dieſe zweymal innerhalb dieſer begriffen iſt/ wie oben erklaͤret worden: Alſo/ daß obi- ges aus dieſem Grund nicht ſo leichtlich erhellet/ wie es anfaͤnglich ſcheinet/ ſondern (damit nichts zweifelhaftiges zu rukk bleibe) beweiſens wol beduͤrftig iſt. [Abbildung]
David Rivalt de Flurance beweiſet es gar leicht Ob nun ſchon dieſer Beweiß zu gegenwaͤrtigem Fuͤrhaben/ allwo eben von Lineen allein 2. Ferner iſt in obigem Beweiß als gewiß geſetzet worden/ daß/ wann eine einfache Ver- Obangezogener David Rivalt de Flurance beruffet ſich in dieſem Fall mit zwey Worten er aus-
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Archimedis Erſtes Buch
daß die Zahlen alſo ſtehen/ 1/ 5/ 25) wie kan die Verhaͤltnis 1 gegen 25 zweymal ſo groß
ſeyn als die Verhaͤltnis 1 gegen 5/ ſintemal aus dem 8ten des V. Buchs erhellet/ daß vielmehr
umbgekehret 1 gegen 5 eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als gegen 25? Und dannoch wird
die Verhaͤltnis 1 gegen 25 gedoppelt oder zweyfach genennet in Anſehung der Verhaͤltnis 1
gegen 5; nehmlich keines weges der Meinung/ als ob jene zweymal ſo groß waͤre als dieſe/ ſon-
dern weil dieſe zweymal innerhalb dieſer begriffen iſt/ wie oben erklaͤret worden: Alſo/ daß obi-
ges aus dieſem Grund nicht ſo leichtlich erhellet/ wie es anfaͤnglich ſcheinet/ ſondern (damit
nichts zweifelhaftiges zu rukk bleibe) beweiſens wol beduͤrftig iſt.
[Abbildung]
David Rivalt de Flurance beweiſet es gar leicht
mit Beyhuͤlf beygeſetzter/ von uns etwas weniges ge-
aͤnderter/ und naͤher auf unſer Fuͤrhaben gezogener/
Figur: Es ſeyen C und D die zwey ungleiche Lineen/
und G die mittlere gleichverhaltende darzwiſchen/ al-
ſo daß/ wie C gegen G, alſo G gegen D ſich verhalte/
aus dem 13den des VI. B. Soll nun bewieſen wer-
den/ daß die einfache Verhaͤltnis des C gegen G klei-
ner ſey als die gedoppelte eben deſſelben C gegen D.
Solches geſchihet alſo: Weil C groͤſſer iſt als D, vermoͤg obiger Aufloͤſung/ ſo kan der
Punct/ in welchem die drey Lineen zuſamm kommen/ nicht der Mittelpunct ſeyn/ ſondern die-
ſer muß weiter hinein auf die Lini C fallen; und deswegen iſt C die groͤſſeſte Lini/ D die kleineſte/
G aber alſo groͤſſer als D, nach der 7den des III. Buchs. Derowegen muß nohtwendig C
gegen der groͤſſern G eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als gegen D der kleinern/ vermoͤg des
8ten im V. Buch. Welches zu beweiſen war.
Ob nun ſchon dieſer Beweiß zu gegenwaͤrtigem Fuͤrhaben/ allwo eben von Lineen allein
geredet wird/ ganz genugſam iſt/ ſo wollen wir dannoch Luſts und Ubung halben (weil nicht
allein dieſer/ ſondern auch alle andere Lehrſaͤtze von denen gleichverhaltenden Dingen [de pro-
portionalibus] es ſeyen hernach gleich Lineen/ oder Zahlen/ oder Zeiten/ oder Gewichte/ ꝛc.
allgemein ſind/ und deßwegen auch einen allgemeinen Beweiß erfordern) denſelben allgemein
machen/ und von Lineen/ Zahlen/ Gewichten/ und was ſonſten Meſſens faͤhig iſt/ auf einmal
beweiſen/ daß/ wann drey gleichverhaltende Dinge/ C, G, D, ſind/ und das erſte groͤſſer iſt als
das lezt/ allezeit das erſte C gegen dem mittlern gleichverhaltenden G eine kleinere Verhaͤltnis
habe/ als gegen dem lezten D. Der ganze Schluß ruhet/ wie oben geſehen/ darauf/ daß in
ſolchem Fall G allezeit groͤſſer ſey als D, welches alſo bewieſen wird: Wann G nicht groͤſſer iſt
als D, ſo muß es entweder demſelben gleich oder kleiner ſeyn. Jſt es ihm gleich/ und G ver-
haͤlt ſich gegen D, wie C gegen G, nach obigem Satz/ ſo muͤſſen C und G, und folgends C
und D (als die beyde dem dritten/ D, gleich ſind) auch einander gleich ſeyn/ welches die Ver-
nunft lehret/ aber zugleich wider den erſten Satz (hypotheſin) iſt. Jſt dann G kleiner als D,
ſo muß auch nohtwendig (weil C gegen G ſich eben ſo verhaͤlt/ wie G gegen D) auch C kleiner
ſeyn als G, und umb ſo viel mehr auch kleiner als D; welches abermals wider den erſten Satz lauf-
fet und ungereimt iſt. Folget derowegen/ daß G groͤſſer ſey als D, und alſo C gegen G eine klei-
nere Verhaͤltnis habe/ als gegen D.
2. Ferner iſt in obigem Beweiß als gewiß geſetzet worden/ daß/ wann eine einfache Ver-
haͤltnis kleiner iſt als eine andere einfache/ auch jener gedoppelte kleiner ſey/ als dieſe gedoppelte.
Zum Exempel/ 1/ 5/ 25/ ſind gleichverhaltende Zahlen/ wie nicht weniger dieſe/ 1/ 2/ 4; Wie
nun dorten die Verhaͤltnis 1 gegen 25 gedoppelt genennet wird in Anſehung der Verhaͤltnis 1
gegen 5; alſo wird auch hier die Verhaͤltnis 1 gegen 4 gedoppelt genennet in Anſehung der ein-
fachen Verhaͤltnis 1 gegen 2. Nun wird als gewiß geſetzet/ daß/ wann die einfache Verhaͤltnis
1 gegen 5 kleiner iſt als die andere einfache 1 gegen 2/ alsdann auch die gedoppelte/ 1 gegen 25
kleiner ſey als die andere gedoppelte/ 1 gegen 4. Nun iſt zwar in dieſen Zahlen die Sach offenbar
und fuͤr Augen. Damit aber klar werde/ daß es allezeit und in allen meſſens-faͤhigen Dingen
angehe/ muß ein allgemeiner Beweiß gegeben werden.
Obangezogener David Rivalt de Flurance beruffet ſich in dieſem Fall mit zwey Worten
auf den 15 den Lehrſatz des V. Buchs Euclidis; aus welchem aber dieſes keines weges folget/ es
ſey dann/ daß er/ nicht ohne ſonderbaren Jrꝛthumb/ durch die gedoppelte Verhaͤltnis (duplica-
tam) eben eine zweymal - ſo groſſe (duplam) verſtehe/ wie er dann ohne Zweiffel verſtehet/ weil
er aus-
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Zitationshilfe: | Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 18. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/46>, abgerufen am 14.08.2024. |