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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Archimedis Erstes Buch

Jezt wollen wir unserm obigen Versprechen auch ein Genügen thun/ und den 16den (zu-
gleich aber auch den 17den) Lehrsatz des VI. Buchs Euclidis auch allgemein machen; aus
demselben nachmals ferner den grössesten Teihl seines V. sonst schwähren Buchs überaus kurz/
und leicht/ und gleichsam spielend/ auf gleiche allgemeine Art beweisen. Sagen demnach:

16. und 17.
des VI. J-
tem 19. und
20. des VII.
34. des XI.
9. und 15.
des XII.
B. etc.

1. Wann vier (oder auch drey) Dinge gleichverhaltend sind/ so ist das
kommende aus dem ersten in das lezte eben so groß/ als das gemachte aus beyden
mittlern/ oder (so nur dreye sind) als das Vermögen (quadrat) des mittlern.

Es seyen a, ea, b, eb, vier gleichverhaltende Dinge (dann durch diese vier Gemerke kön-
nen jede vier bedeutet werden) so ist das/ was da kommt aus dem ersten/ a, in das lezte/ eb,
(nehmlich aeb) gleich dem gemachten aus beyden mittlern/ ea, und b (nehmlich dem eab)
weil zwischen aeb und eab kein anderer Unterschied ist/ als einige Versetzung der Buchstaben/
wordurch (wie bekant) der Gleichheit nichts benommen wird. Eben also seynd a, ea, eea,
drey unzertrennnet-gleichverhaltende (continue proportionalia) Dinge; und ist das ge-
machte aus beyden äussersten/ a und eea (nehmlich eeaa) gleich dem Vormögen des mittlern/
ea, (nehmlich dem eaea) also daß die Waarheit obigen Lehrsatzes/ ohne vieles Nachdenken/
klärlich vor Augen liget/ und dieser einige/ gleichsam greiffliche Beweiß/ an statt 4. anderer
(nehmlich des 16. und 17den im VI. und des 19. und 20sten im VII. Buch Euclidis) viel
schwährerer dienen und genug seyn kan; und zum Uberfluß noch den 34sten des XI. den 9ten
und 15den des XII. u. a. m. würklich in sich begreiffet.

Es folget aber auch umbgekehrt: Daß

2. Wann das gemachte aus beyden äussersten gleich ist dem kommen-
den aus beyden mittlern (oder dem Vermögen des einigen mittleren) solche
drey oder vier Dinge gleichverhaltend seyen.

Dann/ weil aeb und eab einander gleich sind/ so sey eines davon/ welches man will/
zum Exempel aeb, das Gemächte derer beyden äussersten/ und eab derer beyden mittlern.
So man nun a nimmt für das erste/ und eb für das lezte/ so werden die beyde mittlern seyn ent-
weder b und ea oder a und eb, oder umbgekehret. Es mögen aber diese äusserste und mittlere
genommen werden/ wie sie immer wollen/ so wird man allezeit finden/ daß/ wann man das an-
dere teihlet durch das erste/ und das vierdte durch das dritte/ beyderseits einerley heraus
komme: welches dann ein unfehlbares und für sich selbst-bekantes Kennzeichen einrr gleichen
Verhältnis ist. Hieraus können nun leichtlich bewiesen werden diese folgende Lehrsätze:

I.

Wann vier Dinge gleichverhaltend sind (wie a gegen ea, also b gegen eb) so sind
sie auch gleichverhaltend

1. Umbgekehrt/ wie ea gegen a, also eb gegen b.

Dann eab (das Gemächte der äussersten) ist gleich
aeb (dem Gemächte der beyden mittlern.)

15. und 16.
des V. J-
tem 9. 10.
und 13. des
VII. B.

2. Wechselweiß/ wie a gegen b, also ea gegen eb.

[Formel 1]

3. Zusammgesetzet/ wie a+ea gegen ea, also b+eb gegen eb.

18. des
V. B.

[Formel 2]

4. Zerteihlet/ wie a-ea gegen ea, also b-eb gegen eb.

17. des
V. B.

[Formel 3]

5. Ver-
Archimedis Erſtes Buch

Jezt wollen wir unſerm obigen Verſprechen auch ein Genuͤgen thun/ und den 16den (zu-
gleich aber auch den 17den) Lehrſatz des VI. Buchs Euclidis auch allgemein machen; aus
demſelben nachmals ferner den groͤſſeſten Teihl ſeines V. ſonſt ſchwaͤhren Buchs uͤberaus kurz/
und leicht/ und gleichſam ſpielend/ auf gleiche allgemeine Art beweiſen. Sagen demnach:

16. und 17.
des VI. J-
tem 19. uñ
20. des VII.
34. des XI.
9. und 15.
des XII.
B. ꝛc.

1. Wann vier (oder auch drey) Dinge gleichverhaltend ſind/ ſo iſt das
kom̃ende aus dem eꝛſten in das lezte eben ſo gꝛoß/ als das gemachte aus beyden
mittlern/ oder (ſo nur dreye ſind) als das Vermoͤgen (quadrat) des mittlern.

Es ſeyen a, ea, b, eb, vier gleichverhaltende Dinge (dann durch dieſe vier Gemerke koͤn-
nen jede vier bedeutet werden) ſo iſt das/ was da kommt aus dem erſten/ a, in das lezte/ eb,
(nehmlich aeb) gleich dem gemachten aus beyden mittlern/ ea, und b (nehmlich dem eab)
weil zwiſchen aeb und eab kein anderer Unterſchied iſt/ als einige Verſetzung der Buchſtaben/
wordurch (wie bekant) der Gleichheit nichts benommen wird. Eben alſo ſeynd a, ea, eea,
drey unzertrennnet-gleichverhaltende (continuè proportionalia) Dinge; und iſt das ge-
machte aus beyden aͤuſſerſten/ a und eea (nehmlich eeaa) gleich dem Vormoͤgen des mittlern/
ea, (nehmlich dem eaea) alſo daß die Waarheit obigen Lehrſatzes/ ohne vieles Nachdenken/
klaͤrlich vor Augen liget/ und dieſer einige/ gleichſam greiffliche Beweiß/ an ſtatt 4. anderer
(nehmlich des 16. und 17den im VI. und des 19. und 20ſten im VII. Buch Euclidis) viel
ſchwaͤhrerer dienen und genug ſeyn kan; und zum Uberfluß noch den 34ſten des XI. den 9ten
und 15den des XII. u. a. m. wuͤrklich in ſich begreiffet.

Es folget aber auch umbgekehrt: Daß

2. Wann das gemachte aus beyden aͤuſſerſten gleich iſt dem kommen-
den aus beyden mittlern (oder dem Vermoͤgen des einigen mittleren) ſolche
drey oder vier Dinge gleichverhaltend ſeyen.

Dann/ weil aeb und eab einander gleich ſind/ ſo ſey eines davon/ welches man will/
zum Exempel aeb, das Gemaͤchte derer beyden aͤuſſerſten/ und eab derer beyden mittlern.
So man nun a nimmt fuͤr das erſte/ und eb fuͤr das lezte/ ſo werden die beyde mittlern ſeyn ent-
weder b und ea oder a und eb, oder umbgekehret. Es moͤgen aber dieſe aͤuſſerſte und mittlere
genommen werden/ wie ſie immer wollen/ ſo wird man allezeit finden/ daß/ wann man das an-
dere teihlet durch das erſte/ und das vierdte durch das dritte/ beyderſeits einerley heraus
komme: welches dann ein unfehlbares und fuͤr ſich ſelbſt-bekantes Kennzeichen einrr gleichen
Verhaͤltnis iſt. Hieraus koͤnnen nun leichtlich bewieſen werden dieſe folgende Lehrſaͤtze:

I.

Wann vier Dinge gleichverhaltend ſind (wie a gegen ea, alſo b gegen eb) ſo ſind
ſie auch gleichverhaltend

1. Umbgekehrt/ wie ea gegen a, alſo eb gegen b.

Dann eab (das Gemaͤchte der aͤuſſerſten) iſt gleich
aeb (dem Gemaͤchte der beyden mittlern.)

15. und 16.
des V. J-
tem 9. 10.
und 13. des
VII. B.

2. Wechſelweiß/ wie a gegen b, alſo ea gegen eb.

[Formel 1]

3. Zuſammgeſetzet/ wie a+ea gegen ea, alſo b+eb gegen eb.

18. des
V. B.

[Formel 2]

4. Zerteihlet/ wie a-ea gegen ea, alſo b-eb gegen eb.

17. des
V. B.

[Formel 3]

5. Ver-
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[50/0078] Archimedis Erſtes Buch Jezt wollen wir unſerm obigen Verſprechen auch ein Genuͤgen thun/ und den 16den (zu- gleich aber auch den 17den) Lehrſatz des VI. Buchs Euclidis auch allgemein machen; aus demſelben nachmals ferner den groͤſſeſten Teihl ſeines V. ſonſt ſchwaͤhren Buchs uͤberaus kurz/ und leicht/ und gleichſam ſpielend/ auf gleiche allgemeine Art beweiſen. Sagen demnach: 1. Wann vier (oder auch drey) Dinge gleichverhaltend ſind/ ſo iſt das kom̃ende aus dem eꝛſten in das lezte eben ſo gꝛoß/ als das gemachte aus beyden mittlern/ oder (ſo nur dreye ſind) als das Vermoͤgen (quadrat) des mittlern. Es ſeyen a, ea, b, eb, vier gleichverhaltende Dinge (dann durch dieſe vier Gemerke koͤn- nen jede vier bedeutet werden) ſo iſt das/ was da kommt aus dem erſten/ a, in das lezte/ eb, (nehmlich aeb) gleich dem gemachten aus beyden mittlern/ ea, und b (nehmlich dem eab) weil zwiſchen aeb und eab kein anderer Unterſchied iſt/ als einige Verſetzung der Buchſtaben/ wordurch (wie bekant) der Gleichheit nichts benommen wird. Eben alſo ſeynd a, ea, eea, drey unzertrennnet-gleichverhaltende (continuè proportionalia) Dinge; und iſt das ge- machte aus beyden aͤuſſerſten/ a und eea (nehmlich eeaa) gleich dem Vormoͤgen des mittlern/ ea, (nehmlich dem eaea) alſo daß die Waarheit obigen Lehrſatzes/ ohne vieles Nachdenken/ klaͤrlich vor Augen liget/ und dieſer einige/ gleichſam greiffliche Beweiß/ an ſtatt 4. anderer (nehmlich des 16. und 17den im VI. und des 19. und 20ſten im VII. Buch Euclidis) viel ſchwaͤhrerer dienen und genug ſeyn kan; und zum Uberfluß noch den 34ſten des XI. den 9ten und 15den des XII. u. a. m. wuͤrklich in ſich begreiffet. Es folget aber auch umbgekehrt: Daß 2. Wann das gemachte aus beyden aͤuſſerſten gleich iſt dem kommen- den aus beyden mittlern (oder dem Vermoͤgen des einigen mittleren) ſolche drey oder vier Dinge gleichverhaltend ſeyen. Dann/ weil aeb und eab einander gleich ſind/ ſo ſey eines davon/ welches man will/ zum Exempel aeb, das Gemaͤchte derer beyden aͤuſſerſten/ und eab derer beyden mittlern. So man nun a nimmt fuͤr das erſte/ und eb fuͤr das lezte/ ſo werden die beyde mittlern ſeyn ent- weder b und ea oder a und eb, oder umbgekehret. Es moͤgen aber dieſe aͤuſſerſte und mittlere genommen werden/ wie ſie immer wollen/ ſo wird man allezeit finden/ daß/ wann man das an- dere teihlet durch das erſte/ und das vierdte durch das dritte/ beyderſeits einerley heraus komme: welches dann ein unfehlbares und fuͤr ſich ſelbſt-bekantes Kennzeichen einrr gleichen Verhaͤltnis iſt. Hieraus koͤnnen nun leichtlich bewieſen werden dieſe folgende Lehrſaͤtze: I. Wann vier Dinge gleichverhaltend ſind (wie a gegen ea, alſo b gegen eb) ſo ſind ſie auch gleichverhaltend 1. Umbgekehrt/ wie ea gegen a, alſo eb gegen b. Dann eab (das Gemaͤchte der aͤuſſerſten) iſt gleich aeb (dem Gemaͤchte der beyden mittlern.) 2. Wechſelweiß/ wie a gegen b, alſo ea gegen eb. [FORMEL] 3. Zuſammgeſetzet/ wie a+ea gegen ea, alſo b+eb gegen eb. [FORMEL] 4. Zerteihlet/ wie a-ea gegen ea, alſo b-eb gegen eb. [FORMEL] 5. Ver-

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 50. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/78>, abgerufen am 27.11.2024.