Weierstraß, Karl: Beitrag zur Theorie der Abel'schen Integrale. In: Jahresbericht über das Königl. Katholische Gymnasium zu Braunsberg 1848/49, S. 1-23.

Bild:

<< vorherige Seite

nächste Seite >>

mit der Bestimmung, dass x und sqrtR (x) bei jeder einzelnen Integration dieselben
Werthe durchlaufen wie in den Gleichungen (1). Auf diese Weise erklärt ist J(u1, u2, ...)a
eine für alle Werthe der Argumente u1, u2 .... völlig bestimmte, eindeutige Function.
Drückt man dx1, dx2... durch du1, du2 ... aus, so ergiebt sich (14) für J (u1, u2,..., un)a
der Ausdruck
[Formel 1] ,
wo für b der Werth a auszuschliessen ist. Durch diese Gleichung ist J (u1, u2, ...)a
vollständig bestimmt, wenn noch hinzugefügt wird, dass in der Entwickelung dieser
Function nach fallenden Potenzen von ua kein von u1, u2, ... un unabhängiges Glied
vorkommen darf. Für den Fall der elliptischen Functionen hat man
[Formel 2] ,
während man gewöhnlich die elliptischen Integrale zweiter Gattung auf die Function
[Formel 3] zurückführt, was keinen wesentlichen Unterschied macht. Für die Abel-
schen Integrale zweiter Gattung haben aber die hier gewählten Formen den Vorzug,
dass sich viele Formeln einfacher gestalten, als es der Fall sein würde, wenn man,
was ohne Schwierigkeit angeht, Functionen von u1, u2, einführte, welche dem ange-
führten elliptischen Integral conform sind.

Intervalls, der erste in der Nähe von a, der andere in der Nähe von b angenom-
men, so kann man, wenn unter den Exponenten m, n keiner = -- 1 ist (auf
welchen Fall ich mich hier beschränke), setzen
[Formel 4] ,
wo C einen von a, b unabhängigen Werth hat. Wenn die Exponenten m + 1,
n + 1 sämmtlich positiv sind, so ist
[Formel 5] Weil aber C auch dann noch einen bestimmten endlichen Werth hat, wenn ei-
nige der Exponenten m + 1, n + 1 negativ sind, so scheint es mir gestattet und
angemessen zu sein, die Formel [Formel 6] allgemein als das constante Glied in der
Entwickelung von [Formel 7] nach Potenzen von (a--a) und (b--b) zu definiren.
In diesem Sinne ist im Verlauf der Abhandlung die Bezeichnung [Formel 8] überall aufzufassen.

mit der Bestimmung, dass x und √R (x) bei jeder einzelnen Integration dieselben
Werthe durchlaufen wie in den Gleichungen (1). Auf diese Weise erklärt ist J(u1, u2, …)a
eine für alle Werthe der Argumente u1, u2 .... völlig bestimmte, eindeutige Function.
Drückt man dx1, dx2… durch du1, du2 … aus, so ergiebt sich (14) für J (u1, u2,…, un)a
der Ausdruck
[Formel 1] ,
wo für b der Werth a auszuschliessen ist. Durch diese Gleichung ist J (u1, u2, …)a
vollständig bestimmt, wenn noch hinzugefügt wird, dass in der Entwickelung dieser
Function nach fallenden Potenzen von ua kein von u1, u2, … un unabhängiges Glied
vorkommen darf. Für den Fall der elliptischen Functionen hat man
[Formel 2] ,
während man gewöhnlich die elliptischen Integrale zweiter Gattung auf die Function
[Formel 3] zurückführt, was keinen wesentlichen Unterschied macht. Für die Abel-
schen Integrale zweiter Gattung haben aber die hier gewählten Formen den Vorzug,
dass sich viele Formeln einfacher gestalten, als es der Fall sein würde, wenn man,
was ohne Schwierigkeit angeht, Functionen von u1, u2, einführte, welche dem ange-
führten elliptischen Integral conform sind.

Intervalls, der erste in der Nähe von a, der andere in der Nähe von b angenom-
men, so kann man, wenn unter den Exponenten m, n keiner = — 1 ist (auf
welchen Fall ich mich hier beschränke), setzen
[Formel 4] ,
wo C einen von α, β unabhängigen Werth hat. Wenn die Exponenten m + 1,
n + 1 sämmtlich positiv sind, so ist
[Formel 5] Weil aber C auch dann noch einen bestimmten endlichen Werth hat, wenn ei-
nige der Exponenten m + 1, n + 1 negativ sind, so scheint es mir gestattet und
angemessen zu sein, die Formel [Formel 6] allgemein als das constante Glied in der
Entwickelung von [Formel 7] nach Potenzen von (α—a) und (β—b) zu definiren.
In diesem Sinne ist im Verlauf der Abhandlung die Bezeichnung [Formel 8] überall aufzufassen.

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <p><pb facs="#f0019" n="14"/>
mit der Bestimmung, dass <hi rendition="#i">x</hi> und &#x221A;R (<hi rendition="#i">x</hi>) bei jeder einzelnen Integration dieselben<lb/>
Werthe durchlaufen wie in den Gleichungen (1). Auf diese Weise erklärt ist J(<hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">2</hi>, &#x2026;)<hi rendition="#sub"><hi rendition="#fr">a</hi></hi><lb/>
eine für alle Werthe der Argumente <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">2</hi> .... völlig bestimmte, eindeutige Function.<lb/>
Drückt man <hi rendition="#i">dx</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">dx</hi><hi rendition="#sub">2</hi>&#x2026; durch <hi rendition="#i">du</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">du</hi><hi rendition="#sub">2</hi> &#x2026; aus, so ergiebt sich (14) für J (<hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">2</hi>,&#x2026;, <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">n</hi>)<hi rendition="#sub"><hi rendition="#fr">a</hi></hi><lb/>
der Ausdruck<lb/><formula/>,<lb/>
wo für <hi rendition="#fr">b</hi> der Werth <hi rendition="#fr">a</hi> auszuschliessen ist. Durch diese Gleichung ist J (<hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">2</hi>, &#x2026;)<hi rendition="#sub"><hi rendition="#fr">a</hi></hi><lb/>
vollständig bestimmt, wenn noch hinzugefügt wird, dass in der Entwickelung dieser<lb/>
Function nach fallenden Potenzen von <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub"><hi rendition="#fr">a</hi></hi> kein von <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">2</hi>, &#x2026; u<hi rendition="#sub">n</hi> unabhängiges Glied<lb/>
vorkommen darf. Für den Fall der elliptischen Functionen hat man<lb/><hi rendition="#c"><formula/>,</hi><lb/>
während man gewöhnlich die elliptischen Integrale zweiter Gattung auf die Function<lb/><formula/> zurückführt, was keinen wesentlichen Unterschied macht. Für die Abel-<lb/>
schen Integrale zweiter Gattung haben aber die hier gewählten Formen den Vorzug,<lb/>
dass sich viele Formeln einfacher gestalten, als es der Fall sein würde, wenn man,<lb/>
was ohne Schwierigkeit angeht, Functionen von <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">2</hi>, einführte, welche dem ange-<lb/>
führten elliptischen Integral conform sind.</p><lb/>
          <note xml:id="note-0019" prev="#note-0018" place="foot" n="*)">Intervalls, der erste in der Nähe von <hi rendition="#i">a</hi>, der andere in der Nähe von <hi rendition="#i">b</hi> angenom-<lb/>
men, so kann man, wenn unter den Exponenten <hi rendition="#i">m, n</hi> keiner = &#x2014; 1 ist (auf<lb/>
welchen Fall ich mich hier beschränke), setzen<lb/><formula/>,<lb/>
wo C einen von <hi rendition="#i">&#x03B1;, &#x03B2;</hi> unabhängigen Werth hat. Wenn die Exponenten <hi rendition="#i">m</hi> + 1,<lb/><hi rendition="#i">n</hi> + 1 sämmtlich positiv sind, so ist<lb/><hi rendition="#c"><formula/></hi> Weil aber C auch dann noch einen bestimmten endlichen Werth hat, wenn ei-<lb/>
nige der Exponenten m + 1, n + 1 negativ sind, so scheint es mir gestattet und<lb/>
angemessen zu sein, die Formel <formula/> allgemein als das constante Glied in der<lb/>
Entwickelung von <formula/> nach Potenzen von (<hi rendition="#i">&#x03B1;</hi>&#x2014;<hi rendition="#i">a</hi>) und (<hi rendition="#i">&#x03B2;</hi>&#x2014;<hi rendition="#i">b</hi>) zu definiren.<lb/>
In diesem Sinne ist im Verlauf der Abhandlung die Bezeichnung <formula/> überall aufzufassen.</note><lb/>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>

[14/0019] mit der Bestimmung, dass x und √R (x) bei jeder einzelnen Integration dieselben Werthe durchlaufen wie in den Gleichungen (1). Auf diese Weise erklärt ist J(u1, u2, …)a eine für alle Werthe der Argumente u1, u2 .... völlig bestimmte, eindeutige Function. Drückt man dx1, dx2… durch du1, du2 … aus, so ergiebt sich (14) für J (u1, u2,…, un)a der Ausdruck [FORMEL], wo für b der Werth a auszuschliessen ist. Durch diese Gleichung ist J (u1, u2, …)a vollständig bestimmt, wenn noch hinzugefügt wird, dass in der Entwickelung dieser Function nach fallenden Potenzen von ua kein von u1, u2, … un unabhängiges Glied vorkommen darf. Für den Fall der elliptischen Functionen hat man [FORMEL], während man gewöhnlich die elliptischen Integrale zweiter Gattung auf die Function [FORMEL] zurückführt, was keinen wesentlichen Unterschied macht. Für die Abel- schen Integrale zweiter Gattung haben aber die hier gewählten Formen den Vorzug, dass sich viele Formeln einfacher gestalten, als es der Fall sein würde, wenn man, was ohne Schwierigkeit angeht, Functionen von u1, u2, einführte, welche dem ange- führten elliptischen Integral conform sind. *) *) Intervalls, der erste in der Nähe von a, der andere in der Nähe von b angenom- men, so kann man, wenn unter den Exponenten m, n keiner = — 1 ist (auf welchen Fall ich mich hier beschränke), setzen [FORMEL], wo C einen von α, β unabhängigen Werth hat. Wenn die Exponenten m + 1, n + 1 sämmtlich positiv sind, so ist [FORMEL] Weil aber C auch dann noch einen bestimmten endlichen Werth hat, wenn ei- nige der Exponenten m + 1, n + 1 negativ sind, so scheint es mir gestattet und angemessen zu sein, die Formel [FORMEL] allgemein als das constante Glied in der Entwickelung von [FORMEL] nach Potenzen von (α—a) und (β—b) zu definiren. In diesem Sinne ist im Verlauf der Abhandlung die Bezeichnung [FORMEL] überall aufzufassen.

Suche im Werk

Informationen zum Werk

Titeldaten
Verfügbarkeit Text (TEI-XML-, HTML-, TCF-, E-Book-Fassung): CC BY-SA 4.0.
Nutzungsbedingungen

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ^?

Language Resource Switchboard^?

Resource/URL übermitteln

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.

Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk:	https://www.deutschestextarchiv.de/weierstrass_integrale_1849
URL zu dieser Seite:	https://www.deutschestextarchiv.de/weierstrass_integrale_1849/19
Zitationshilfe:	Weierstraß, Karl: Beitrag zur Theorie der Abel'schen Integrale. In: Jahresbericht über das Königl. Katholische Gymnasium zu Braunsberg 1848/49, S. 1-23, hier S. 14. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/weierstrass_integrale_1849/19>, abgerufen am 23.11.2024.

Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer Creative-Commons-Lizenz. Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken. Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.

Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden. Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des § 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.

2007–2024 Deutsches Textarchiv, Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften. Kontakt: redaktion(at)deutschestextarchiv.de.

Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.