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Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 1. Leipzig, 1896.

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[Gleich. 155] § 18. Gleichungen für den stationären Zustand.

Da hier in den beiden Ausdrücken links und rechts ganz
andere Variabeln vorkommen, so können diese Ausdrücke nur
gleich sein, wenn sie beide von allen Variabeln unabhängig,
also gleich einer von x, e, z, x1, e1, z1 unabhängigen Grösse sind.

Da die y- und z-Axe in den zu lösenden Gleichungen
ganz in derselben Weise vertreten sind, so hätte man ebenso
gut die Gleichung
[Formel 1] beweisen können oder auch, dass der letzte Ausdruck wieder
gleich
[Formel 2] sein muss. Es sind also alle diese zweiten Differentialquotienten
gleich einer und derselben von x, e, z, x1, e1 und z1 unab-
hängigen Grössen -- 2h. Man zieht aus allen diesen Gleichungen
leicht die Consequenz, dass ph = -- h m (x2 + e2 + z2) mehr
einer linearen Function von x, e, z sein muss. Die Coefficienten
der letzteren kann man ohne Beschränkung der Allgemeinheit
in einer solchen Form schreiben, dass man erhält:
ph = -- h m [(x -- u)2 + (e -- v)2 + (x -- w)2] + l f0,
wobei u, v, w und f0 die neuen Constanten sind, die aber
natürlich ebenso wie h noch Functionen von x, y, z, t sein
können. Daraus folgt also weiter:
154) [Formel 3]
und ebenso erhält man:
155) [Formel 4] .

Diese Form müssen die Functionen f und F jedenfalls
haben, wenn die drei Gleichungen 147 für alle Werthe der
Variabeln erfüllt sein sollen. Man sieht leicht, dass auch um-
gekehrt, sobald f und F diese Form haben, die Gleichungen 147
in der That erfüllt sind, sobald nur u1 = u, v1 = v, w1 = w ist.
Im Uebrigen können die Grössen f0, F0, u, v, w, h beliebige
Functionen von x, y, z und t sein.

Diese Functionen sind noch so zu bestimmen, dass die
beiden Gleichungen:

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[Gleich. 155] § 18. Gleichungen für den stationären Zustand.

Da hier in den beiden Ausdrücken links und rechts ganz
andere Variabeln vorkommen, so können diese Ausdrücke nur
gleich sein, wenn sie beide von allen Variabeln unabhängig,
also gleich einer von ξ, η, ζ, ξ1, η1, ζ1 unabhängigen Grösse sind.

Da die y- und z-Axe in den zu lösenden Gleichungen
ganz in derselben Weise vertreten sind, so hätte man ebenso
gut die Gleichung
[Formel 1] beweisen können oder auch, dass der letzte Ausdruck wieder
gleich
[Formel 2] sein muss. Es sind also alle diese zweiten Differentialquotienten
gleich einer und derselben von ξ, η, ζ, ξ1, η1 und ζ1 unab-
hängigen Grössen — 2h. Man zieht aus allen diesen Gleichungen
leicht die Consequenz, dass φ = — h m (ξ2 + η2 + ζ2) mehr
einer linearen Function von ξ, η, ζ sein muss. Die Coëfficienten
der letzteren kann man ohne Beschränkung der Allgemeinheit
in einer solchen Form schreiben, dass man erhält:
φ = — h m [(ξ — u)2 + (η — v)2 + (ξ — w)2] + l f0,
wobei u, v, w und f0 die neuen Constanten sind, die aber
natürlich ebenso wie h noch Functionen von x, y, z, t sein
können. Daraus folgt also weiter:
154) [Formel 3]
und ebenso erhält man:
155) [Formel 4] .

Diese Form müssen die Functionen f und F jedenfalls
haben, wenn die drei Gleichungen 147 für alle Werthe der
Variabeln erfüllt sein sollen. Man sieht leicht, dass auch um-
gekehrt, sobald f und F diese Form haben, die Gleichungen 147
in der That erfüllt sind, sobald nur u1 = u, v1 = v, w1 = w ist.
Im Uebrigen können die Grössen f0, F0, u, v, w, h beliebige
Functionen von x, y, z und t sein.

Diese Functionen sind noch so zu bestimmen, dass die
beiden Gleichungen:

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[131/0145] [Gleich. 155] § 18. Gleichungen für den stationären Zustand. Da hier in den beiden Ausdrücken links und rechts ganz andere Variabeln vorkommen, so können diese Ausdrücke nur gleich sein, wenn sie beide von allen Variabeln unabhängig, also gleich einer von ξ, η, ζ, ξ1, η1, ζ1 unabhängigen Grösse sind. Da die y- und z-Axe in den zu lösenden Gleichungen ganz in derselben Weise vertreten sind, so hätte man ebenso gut die Gleichung [FORMEL] beweisen können oder auch, dass der letzte Ausdruck wieder gleich [FORMEL] sein muss. Es sind also alle diese zweiten Differentialquotienten gleich einer und derselben von ξ, η, ζ, ξ1, η1 und ζ1 unab- hängigen Grössen — 2h. Man zieht aus allen diesen Gleichungen leicht die Consequenz, dass φ = — h m (ξ2 + η2 + ζ2) mehr einer linearen Function von ξ, η, ζ sein muss. Die Coëfficienten der letzteren kann man ohne Beschränkung der Allgemeinheit in einer solchen Form schreiben, dass man erhält: φ = — h m [(ξ — u)2 + (η — v)2 + (ξ — w)2] + l f0, wobei u, v, w und f0 die neuen Constanten sind, die aber natürlich ebenso wie h noch Functionen von x, y, z, t sein können. Daraus folgt also weiter: 154) [FORMEL] und ebenso erhält man: 155) [FORMEL]. Diese Form müssen die Functionen f und F jedenfalls haben, wenn die drei Gleichungen 147 für alle Werthe der Variabeln erfüllt sein sollen. Man sieht leicht, dass auch um- gekehrt, sobald f und F diese Form haben, die Gleichungen 147 in der That erfüllt sind, sobald nur u1 = u, v1 = v, w1 = w ist. Im Uebrigen können die Grössen f0, F0, u, v, w, h beliebige Functionen von x, y, z und t sein. Diese Functionen sind noch so zu bestimmen, dass die beiden Gleichungen: 9*

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Zitationshilfe: Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 1. Leipzig, 1896, S. 131. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie01_1896/145>, abgerufen am 26.11.2024.