Es sey ferner diese Gleichung vorgegeben x4 - 16x -- 12 = 0, in welcher ist a = 0, b = 0, c = - 16, d = - 12; dahero unsere Cubische Gleichung seyn wird 8p3 + 96p - 256 = 0, das ist p3 + 12p - 32 = 0, welche Gleichung noch einfacher wird, wann man setzt p = 2t; da wird nemlich 8 t3 + 24 t - 32 = 0 oder t3 + 3t - 4 = 0 Die Theiler des letzten Glieds sind 1, 2, 4, a[u]s welchen t = 1 eine Wurzel ist, daraus wird p = 2 und ferner q = sqrt4 = 2 und r = = 4. Dahero sind die beyden Quadrat-Gleichungen xx = 2x + 2 und xx = - 2x - 6, daher die Wurzeln seyn werden x = 1 +/- sqrt3, und x = - 1 +/- sqrt - 5.
211.
Um die bisherige Auflösung noch deutlicher zu machen, so wollen wir dieselbe bey dem folgenden Exempel gantz wiederhohlen:
Es sey demnach diese Gleichung gegeben x4 -- 6 x3 + 12 xx - 12 x + 4 = 0, welche in dieser Formel enthalten seyn soll (xx - 3 x + p)2 - (q x + r)2 = 0, wo im ersten Theil - 3 x gesetzt worden, weil - 3 die Hälfte ist der Zahl - 6 im zweyten Glied der Gleichung; Diese Form aber entwickelt giebt x4 - 6x3 + (2p + 9 -- qq) xx - (6 p + 2 q r) x + p p - r r = 0, mit
die-
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Von den Algebraiſchen Gleichungen.
210.
Es ſey ferner dieſe Gleichung vorgegeben x4 - 16x — 12 = 0, in welcher iſt a = 0, b = 0, c = - 16, d = - 12; dahero unſere Cubiſche Gleichung ſeyn wird 8p3 + 96p - 256 = 0, das iſt p3 + 12p - 32 = 0, welche Gleichung noch einfacher wird, wann man ſetzt p = 2t; da wird nemlich 8 t3 + 24 t - 32 = 0 oder t3 + 3t - 4 = 0 Die Theiler des letzten Glieds ſind 1, 2, 4, a[u]s welchen t = 1 eine Wurzel iſt, daraus wird p = 2 und ferner q = √4 = 2 und r = = 4. Dahero ſind die beyden Quadrat-Gleichungen xx = 2x + 2 und xx = - 2x - 6, daher die Wurzeln ſeyn werden x = 1 ± √3, und x = - 1 ± √ - 5.
211.
Um die bisherige Aufloͤſung noch deutlicher zu machen, ſo wollen wir dieſelbe bey dem folgenden Exempel gantz wiederhohlen:
Es ſey demnach dieſe Gleichung gegeben x4 — 6 x3 + 12 xx - 12 x + 4 = 0, welche in dieſer Formel enthalten ſeyn ſoll (xx - 3 x + p)2 - (q x + r)2 = 0, wo im erſten Theil - 3 x geſetzt worden, weil - 3 die Haͤlfte iſt der Zahl - 6 im zweyten Glied der Gleichung; Dieſe Form aber entwickelt giebt x4 - 6x3 + (2p + 9 — qq) xx - (6 p + 2 q r) x + p p - r r = 0, mit
die-
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Von den Algebraiſchen Gleichungen.
210.
Es ſey ferner dieſe Gleichung vorgegeben x4 - 16x
— 12 = 0, in welcher iſt a = 0, b = 0, c = - 16,
d = - 12; dahero unſere Cubiſche Gleichung ſeyn wird
8p3 + 96p - 256 = 0, das iſt p3 + 12p - 32 = 0,
welche Gleichung noch einfacher wird, wann man ſetzt
p = 2t; da wird nemlich 8 t3 + 24 t - 32 = 0 oder
t3 + 3t - 4 = 0 Die Theiler des letzten Glieds ſind 1, 2, 4,
aus welchen t = 1 eine Wurzel iſt, daraus wird p = 2
und ferner q = √4 = 2 und r = [FORMEL] = 4. Dahero ſind
die beyden Quadrat-Gleichungen xx = 2x + 2 und
xx = - 2x - 6, daher die Wurzeln ſeyn werden
x = 1 ± √3, und x = - 1 ± √ - 5.
211.
Um die bisherige Aufloͤſung noch deutlicher zu
machen, ſo wollen wir dieſelbe bey dem folgenden
Exempel gantz wiederhohlen:
Es ſey demnach dieſe Gleichung gegeben x4 —
6 x3 + 12 xx - 12 x + 4 = 0, welche in dieſer Formel
enthalten ſeyn ſoll (xx - 3 x + p)2 - (q x + r)2 = 0,
wo im erſten Theil - 3 x geſetzt worden, weil - 3 die
Haͤlfte iſt der Zahl - 6 im zweyten Glied der Gleichung;
Dieſe Form aber entwickelt giebt x4 - 6x3 + (2p + 9
— qq) xx - (6 p + 2 q r) x + p p - r r = 0, mit
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Euler, Leonhard: Vollständige Anleitung zur Algebra. Bd. 2. St. Petersburg, 1770, S. 181. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/euler_algebra02_1770/183>, abgerufen am 21.11.2024.
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