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Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

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[Formel 1] durch den ganzen Raum t ausgedehnt.

Endlich ist, für ein unendlich kleines [Formel 2]
oder [Formel 3] , nichts anderes, als der Werth des partiellen Differen-
tialquotienten [Formel 4] oder [Formel 5] . Wir haben folglich das einfache
Resultat
[Formel 6] wo die erste Integration über den ganzen Raum t, die zweite
über die ganze Oberfläche desselben auszudehnen ist.

Dieses Resultat ist gültig, wie nahe auch O der Oberfläche
auf der innern oder äussern Seite liegen mag, nur nicht in der
Oberfläche selbst, wo vielmehr [Formel 7] zwei verschiedene Werthe
haben wird. Das erste Integral ändert sich zwar beim Durch-
gange durch die Oberfläche nach der Stetigkeit, hingegen än-
dert sich [Formel 8] nach einem weiter unten zu
beweisenden Theorem beim Übergange von einem innern der
Oberfläche unendlich nahen Punkte nach einem äussern um
die endliche Grösse 4pk cos a, wo k und a sich auf die Durch-
gangsstelle beziehen, und eben so gross wird der Unterschied
der beiden daselbst Statt findenden Werthe von [Formel 9] sein.

10.

Auf ähnliche Weise wird, wenn b und g in Beziehung
auf die zweite und dritte Coordinatenaxe dieselbe Bedeutung
haben, wie a in Beziehung auf die erste, und für die Lage
von O dieselbe Beschränkung gilt, wie vorhin,

[Formel 1] durch den ganzen Raum t ausgedehnt.

Endlich ist, für ein unendlich kleines [Formel 2]
oder [Formel 3] , nichts anderes, als der Werth des partiellen Differen-
tialquotienten [Formel 4] oder [Formel 5] . Wir haben folglich das einfache
Resultat
[Formel 6] wo die erste Integration über den ganzen Raum t, die zweite
über die ganze Oberfläche desselben auszudehnen ist.

Dieses Resultat ist gültig, wie nahe auch O der Oberfläche
auf der innern oder äuſsern Seite liegen mag, nur nicht in der
Oberfläche selbst, wo vielmehr [Formel 7] zwei verschiedene Werthe
haben wird. Das erste Integral ändert sich zwar beim Durch-
gange durch die Oberfläche nach der Stetigkeit, hingegen än-
dert sich [Formel 8] nach einem weiter unten zu
beweisenden Theorem beim Übergange von einem innern der
Oberfläche unendlich nahen Punkte nach einem äuſsern um
die endliche Grösse 4πk cos α, wo k und α sich auf die Durch-
gangsstelle beziehen, und eben so groſs wird der Unterschied
der beiden daselbst Statt findenden Werthe von [Formel 9] sein.

10.

Auf ähnliche Weise wird, wenn ϐ und γ in Beziehung
auf die zweite und dritte Coordinatenaxe dieselbe Bedeutung
haben, wie α in Beziehung auf die erste, und für die Lage
von O dieselbe Beschränkung gilt, wie vorhin,

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[13/0018] [FORMEL] durch den ganzen Raum t ausgedehnt. Endlich ist, für ein unendlich kleines [FORMEL] oder [FORMEL], nichts anderes, als der Werth des partiellen Differen- tialquotienten [FORMEL] oder [FORMEL]. Wir haben folglich das einfache Resultat [FORMEL] wo die erste Integration über den ganzen Raum t, die zweite über die ganze Oberfläche desselben auszudehnen ist. Dieses Resultat ist gültig, wie nahe auch O der Oberfläche auf der innern oder äuſsern Seite liegen mag, nur nicht in der Oberfläche selbst, wo vielmehr [FORMEL] zwei verschiedene Werthe haben wird. Das erste Integral ändert sich zwar beim Durch- gange durch die Oberfläche nach der Stetigkeit, hingegen än- dert sich [FORMEL] nach einem weiter unten zu beweisenden Theorem beim Übergange von einem innern der Oberfläche unendlich nahen Punkte nach einem äuſsern um die endliche Grösse 4πk cos α, wo k und α sich auf die Durch- gangsstelle beziehen, und eben so groſs wird der Unterschied der beiden daselbst Statt findenden Werthe von [FORMEL] sein. 10. Auf ähnliche Weise wird, wenn ϐ und γ in Beziehung auf die zweite und dritte Coordinatenaxe dieselbe Bedeutung haben, wie α in Beziehung auf die erste, und für die Lage von O dieselbe Beschränkung gilt, wie vorhin,

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Zitationshilfe: Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 13. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/18>, abgerufen am 04.12.2024.