Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

LEHRSATZ. Anstatt einer beliebigen gegebenen Massen-
vertheilung D, welche entweder bloss auf den innern von einer
geschlossenen Fläche S begrenzten Raum beschränkt ist, oder
bloss auf den äussern Raum, lässt sich eine Massenvertheilung
E bloss auf der Fläche selbst substituiren, mit dem Erfolge,
dass die Wirkung von E der Wirkung von D gleich wird, in
allen Punkten des äussern Raumes für den ersten Fall, oder
in allen Punkten des innern Raumes für den zweiten.

Es wird dazu nur erfordert, dass, indem das Potential von
D in jedem Punkte von S mit U, das Potential von E hinge-
gen mit V bezeichnet wird, in der ganzen Fläche für den er-
sten Fall V -- U = 0, für den zweiten aber nur constant
werde. Es wird nemlich -- U das Potential einer Vertheilung
D' sein, die der D entgegengesetzt ist (so dass an die Stelle
jedes Massentheils ein entgegengesetztes tritt), also V -- U das
Potential der zugleich bestehenden Vertheilungen D' und E;
die Wirkungen daraus werden sich folglich im ersten Fall im
ganzen äussern Raume, im zweiten im ganzen innern destrui-
ren (Artt. 27 und 25), oder die Wirkungen von D und E wer-
den in den betreffenden Räumen gleich sein. Übrigens wird
die ganze Masse in E für den ersten Fall der Masse in D
gleich sein, im zweiten aber willkürlich bleiben.

Der Lehrsatz, welcher in der Intensitas vis magneticae S. 10
angekündigt, und auch in der Allgemeinen Theorie des Erd-
magnetismus an verschiedenen Stellen angeführt ist, erscheint
jetzt als ein specieller Fall des hier bewiesenen.

Obgleich, wie schon im 35 Artikel bemerkt ist, die wirk-
liche vollständige Ausmittelung der Vertheilung E in den mei-
sten Fällen unüberwindliche Schwierigkeiten darbietet, so gibt
es doch einen, wo sie mit grosser Leichtigkeit geschehen kann,
und der hier noch besonders angeführt zu werden verdient.
Dies ist nemlich der, wo U constant, also S eine Gleichge-
wichtsfläche für das gegebene Massensystem D ist. Man sieht
leicht, dass hier nur von dem Falle die Rede zu sein braucht,
wo D im innern Raume angenommen wird, und nicht die Ge-
sammtmasse = 0 ist, da sonst gar keine Wirkung da sein

LEHRSATZ. Anstatt einer beliebigen gegebenen Massen-
vertheilung D, welche entweder bloſs auf den innern von einer
geschlossenen Fläche S begrenzten Raum beschränkt ist, oder
bloſs auf den äuſsern Raum, lässt sich eine Massenvertheilung
E bloſs auf der Fläche selbst substituiren, mit dem Erfolge,
daſs die Wirkung von E der Wirkung von D gleich wird, in
allen Punkten des äuſsern Raumes für den ersten Fall, oder
in allen Punkten des innern Raumes für den zweiten.

Es wird dazu nur erfordert, daſs, indem das Potential von
D in jedem Punkte von S mit U, das Potential von E hinge-
gen mit V bezeichnet wird, in der ganzen Fläche für den er-
sten Fall V — U = 0, für den zweiten aber nur constant
werde. Es wird nemlich — U das Potential einer Vertheilung
D' sein, die der D entgegengesetzt ist (so daſs an die Stelle
jedes Massentheils ein entgegengesetztes tritt), also V — U das
Potential der zugleich bestehenden Vertheilungen D' und E;
die Wirkungen daraus werden sich folglich im ersten Fall im
ganzen äuſsern Raume, im zweiten im ganzen innern destrui-
ren (Artt. 27 und 25), oder die Wirkungen von D und E wer-
den in den betreffenden Räumen gleich sein. Übrigens wird
die ganze Masse in E für den ersten Fall der Masse in D
gleich sein, im zweiten aber willkürlich bleiben.

Der Lehrsatz, welcher in der Intensitas vis magneticae S. 10
angekündigt, und auch in der Allgemeinen Theorie des Erd-
magnetismus an verschiedenen Stellen angeführt ist, erscheint
jetzt als ein specieller Fall des hier bewiesenen.

Obgleich, wie schon im 35 Artikel bemerkt ist, die wirk-
liche vollständige Ausmittelung der Vertheilung E in den mei-
sten Fällen unüberwindliche Schwierigkeiten darbietet, so gibt
es doch einen, wo sie mit groſser Leichtigkeit geschehen kann,
und der hier noch besonders angeführt zu werden verdient.
Dies ist nemlich der, wo U constant, also S eine Gleichge-
wichtsfläche für das gegebene Massensystem D ist. Man sieht
leicht, daſs hier nur von dem Falle die Rede zu sein braucht,
wo D im innern Raume angenommen wird, und nicht die Ge-
sammtmasse = 0 ist, da sonst gar keine Wirkung da sein