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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832.

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Bahn schief geworfener Körper.
§. 349.

Wenn der Körper mit einer kleinern Geschwindigkeit c, als mit derjenigen V, die
er bei dem Herabfallen im widerstehenden Mittel höchstens erlangen kann, in die Höhe
geworfen wird, sonach [Formel 1] ein Bruch ist, dessen höhere Potenzen schnell abnehmen, so
ist nat. log [Formel 2] = nat. log [Formel 3] ··· · · ·, folglich ist die
Höhe, auf welche der Körper steigen kann S = [Formel 4] .
Auf gleiche Art ist Arc. tang [Formel 5] · · · · ·, folglich die Zeit, in
welcher er die grösste Höhe erreicht T = [Formel 6] .

Diese beiden Gleichungen stimmen mit jenen überein, die wir für den freien Fall
im leeren Raume gefunden haben. Im leeren Raume ist nämlich w = 0 und die grösste
Geschwindigkeit, die der Körper durch seine fortwährende Beschleunigung erlangen
kann, unendlich gross; demnach verschwinden die erste und alle höhern Potenzen von
[Formel 7] und wir erhalten den Raum, auf welchen der Körper steigen kann, S = [Formel 8] und
die hierzu nöthige Zeit T = [Formel 9] , welches genau dieselben Formeln sind, welche im
I. Bande dieses Werkes §. 492 aufgestellt wurden.

Auf gleiche Art erhalten wir die Geschwindigkeit, mit welcher der Körper wieder
unten auffällt v = [Formel 10] = c und die Zeit, in welcher er von der grössten Höhe
herabfällt t = [Formel 11] · nat. log [Formel 12] =
= [Formel 13] · nat. log [Formel 14] , welches mit den Formeln im I. Bande
ebenfalls übereinstimmt.

§. 350.

Mit Hilfe der vorgetragenen Grundsätze lässt sich auch die Bahn schiefgewor-
fener Körper mit Rücksicht auf den Widerstand der Luft berechnen. Die
Wichtigkeit dieser Aufgabe, vorzüglich für die Artillerie leuchtet von selbst ein, inzwi-
schen hat man bisher eine genaue Auflösung derselben noch nicht erhalten, und in die-
ser Hinsicht nur Annäherungen versucht, die aber weder allgemein giltig und selbst für
die angenommenen Fälle nicht ganz entsprechend befunden worden sind. Man hofft
daher, dass die nachstehende allgemeine Auflösung dieses schwierigen Gegenstandes
dem wissenschaftlichen Publikum nicht unwillkommen seyn werde.

Wird eine Kugel nach der Richtung A U mit der Geschwindigkeit c geworfen undFig.
25.
Tab.
65.
setzt man den Winkel, welchen A U mit der Horizontalen A H bildet = a, so ist im
Punkte A die horizontale Geschwindigkeit = c · Cos a und die vertikale = c . Sin a.
Es sey der Körper nach der Zeit t im Punkte M, und seine Geschwindigkeit nach der

Bahn schief geworfener Körper.
§. 349.

Wenn der Körper mit einer kleinern Geschwindigkeit c, als mit derjenigen V, die
er bei dem Herabfallen im widerstehenden Mittel höchstens erlangen kann, in die Höhe
geworfen wird, sonach [Formel 1] ein Bruch ist, dessen höhere Potenzen schnell abnehmen, so
ist nat. log [Formel 2] = nat. log [Formel 3] ··· · · ·, folglich ist die
Höhe, auf welche der Körper steigen kann S = [Formel 4] .
Auf gleiche Art ist Arc. tang [Formel 5] · · · · ·, folglich die Zeit, in
welcher er die grösste Höhe erreicht T = [Formel 6] .

Diese beiden Gleichungen stimmen mit jenen überein, die wir für den freien Fall
im leeren Raume gefunden haben. Im leeren Raume ist nämlich w = 0 und die grösste
Geschwindigkeit, die der Körper durch seine fortwährende Beschleunigung erlangen
kann, unendlich gross; demnach verschwinden die erste und alle höhern Potenzen von
[Formel 7] und wir erhalten den Raum, auf welchen der Körper steigen kann, S = [Formel 8] und
die hierzu nöthige Zeit T = [Formel 9] , welches genau dieselben Formeln sind, welche im
I. Bande dieses Werkes §. 492 aufgestellt wurden.

Auf gleiche Art erhalten wir die Geschwindigkeit, mit welcher der Körper wieder
unten auffällt v = [Formel 10] = c und die Zeit, in welcher er von der grössten Höhe
herabfällt t = [Formel 11] · nat. log [Formel 12] =
= [Formel 13] · nat. log [Formel 14] , welches mit den Formeln im I. Bande
ebenfalls übereinstimmt.

§. 350.

Mit Hilfe der vorgetragenen Grundsätze lässt sich auch die Bahn schiefgewor-
fener Körper mit Rücksicht auf den Widerstand der Luft berechnen. Die
Wichtigkeit dieser Aufgabe, vorzüglich für die Artillerie leuchtet von selbst ein, inzwi-
schen hat man bisher eine genaue Auflösung derselben noch nicht erhalten, und in die-
ser Hinsicht nur Annäherungen versucht, die aber weder allgemein giltig und selbst für
die angenommenen Fälle nicht ganz entsprechend befunden worden sind. Man hofft
daher, dass die nachstehende allgemeine Auflösung dieses schwierigen Gegenstandes
dem wissenschaftlichen Publikum nicht unwillkommen seyn werde.

Wird eine Kugel nach der Richtung A U mit der Geschwindigkeit c geworfen undFig.
25.
Tab.
65.
setzt man den Winkel, welchen A U mit der Horizontalen A H bildet = α, so ist im
Punkte A die horizontale Geschwindigkeit = c · Cos α und die vertikale = c . Sin α.
Es sey der Körper nach der Zeit t im Punkte M, und seine Geschwindigkeit nach der

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[487/0505] Bahn schief geworfener Körper. §. 349. Wenn der Körper mit einer kleinern Geschwindigkeit c, als mit derjenigen V, die er bei dem Herabfallen im widerstehenden Mittel höchstens erlangen kann, in die Höhe geworfen wird, sonach [FORMEL] ein Bruch ist, dessen höhere Potenzen schnell abnehmen, so ist nat. log [FORMEL] = nat. log [FORMEL] ··· · · ·, folglich ist die Höhe, auf welche der Körper steigen kann S = [FORMEL]. Auf gleiche Art ist Arc. tang [FORMEL] · · · · ·, folglich die Zeit, in welcher er die grösste Höhe erreicht T = [FORMEL]. Diese beiden Gleichungen stimmen mit jenen überein, die wir für den freien Fall im leeren Raume gefunden haben. Im leeren Raume ist nämlich w = 0 und die grösste Geschwindigkeit, die der Körper durch seine fortwährende Beschleunigung erlangen kann, unendlich gross; demnach verschwinden die erste und alle höhern Potenzen von [FORMEL] und wir erhalten den Raum, auf welchen der Körper steigen kann, S = [FORMEL] und die hierzu nöthige Zeit T = [FORMEL], welches genau dieselben Formeln sind, welche im I. Bande dieses Werkes §. 492 aufgestellt wurden. Auf gleiche Art erhalten wir die Geschwindigkeit, mit welcher der Körper wieder unten auffällt v = [FORMEL] = c und die Zeit, in welcher er von der grössten Höhe herabfällt t = [FORMEL] · nat. log [FORMEL] = = [FORMEL] · nat. log [FORMEL], welches mit den Formeln im I. Bande ebenfalls übereinstimmt. §. 350. Mit Hilfe der vorgetragenen Grundsätze lässt sich auch die Bahn schiefgewor- fener Körper mit Rücksicht auf den Widerstand der Luft berechnen. Die Wichtigkeit dieser Aufgabe, vorzüglich für die Artillerie leuchtet von selbst ein, inzwi- schen hat man bisher eine genaue Auflösung derselben noch nicht erhalten, und in die- ser Hinsicht nur Annäherungen versucht, die aber weder allgemein giltig und selbst für die angenommenen Fälle nicht ganz entsprechend befunden worden sind. Man hofft daher, dass die nachstehende allgemeine Auflösung dieses schwierigen Gegenstandes dem wissenschaftlichen Publikum nicht unwillkommen seyn werde. Wird eine Kugel nach der Richtung A U mit der Geschwindigkeit c geworfen und setzt man den Winkel, welchen A U mit der Horizontalen A H bildet = α, so ist im Punkte A die horizontale Geschwindigkeit = c · Cos α und die vertikale = c . Sin α. Es sey der Körper nach der Zeit t im Punkte M, und seine Geschwindigkeit nach der Fig. 25. Tab. 65.

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832, S. 487. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik02_1832/505>, abgerufen am 04.12.2024.