Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832.
Bahn schief geworfener Körper. Fig.25. Tab. 65.Richtung der Bahn sey = v, der Winkel N M O den die Bahn an demselben Orte mit der Horizontallinie macht = l, die Abscisse A L = x und die Ordinate L M = y. Nach der unten beigefügten Rechnung der höhern Analysis *) ergeben sich Gleichungen *) Wir haben M O = d x und N O = d y, und wenn die Länge des Bogens A M = s gesetzt wird,
M N = d s. Demnach ist im Punkte M die Geschwindigkeit nach der Richtung der Bahn [Formel 1] = v, die horizontale Geschwindigkeit [Formel 2] = v . Cos l und die vertikale [Formel 3] = v . Sin l. Das Gewicht der Kugel im leeren Raume sey = Q und im widerstehenden Mittel = [Formel 4] Q. Der Wider- stand des Mittels ist nach unserer frühern Bezeichnung = m . w . p . r2 · [Formel 5] . Wir haben bereits §. 347 gesehen, dass für den Fall, wenn der Körper durch sein Gewicht senkrecht herabfällt, derselbe nur höchstens die Geschwindigkeit V erlangen könne, und dass V durch die Glei- chung [Formel 6] = 0 bestimmt werde. Daraus folgt m. w . p . r2 = [Formel 7] . Setzen wir diesen Werth in den Ausdruck für den Widerstand des Mittels, so ist dieser Widerstand nach der Richtung der Bahn = [Formel 8] . Wir wollen nun zuerst die Bewegung des Körpers nach der horizontalen Richtung untersuchen. Da die Richtung der Schwere auf die horizontale Bewegung des Körpers senkrecht ist, so haben wir bei der Bewegung im luftleeren Raume (I. Band, VI. Kapitel) geschlossen, dass die Geschwindigkeit des Körpers in horizontaler Richtung in jedem Punkte der Bahn dieselbe bleiben müsse. Bei der Bewegung im widerstehenden Mittel wird aber die horizontale Bewegung von dem Widerstande des Mittels gehindert, da jedoch dieser Widerstand nur nach der Richtung der Bahn entgegen wirkt, so müssen wir denselben noch mit Cos l multipliziren. Dadurch erhalten wir den Widerstand nach der horizontalen Richtung = Q [Formel 9] · Cos l. Nach dem allgemeinen Gesetze der beschleunigenden Kräfte haben wir Q : 2 g . d t = Q [Formel 10] · Cos l : -- d (v . Cos l). Daraus folgt die Gleichung -- d (v . Cos l) = 2 g . d t [Formel 11] · Cos l, weil aber v . d t = d s, so haben wir -- d (v . Cos l) = 2 g [Formel 12] (I). Wird zu beiden Seiten mit v . Cos l dividirt, und die Gleichung integrirt, so ist nat . log [Formel 13] = 2 g [Formel 14] , oder wenn wir zur Abkürzung die Geschwindigkeitshöhe [Formel 15] = H setzen, so ist nat . log [Formel 16] . Der Umstand, dass der Widerstand des Mittels dem Körper nur nach der Richtung seiner Bewe- gung entgegenwirkt, demnach auf die Richtung desselben in der Bahn keinen Einfluss haben kann, dient uns zur Aufstellung einer zweiten Gleichung, in welcher der Widerstand des Mittels nicht vor- kommt. Wir haben bereits au mehreren Stellen dieses Werkes gezeigt, dass zur Bewegung eines Körpers nach einer krummen Linie eine Kraft P erfordert werde, welche auf die Richtung der Bahn winkelrecht wirkt und deren Grösse nach der Gleichung P = [Formel 17] bestimmt wird. In dieser Gleichung ist Q das Gewicht des Körpers, v die Geschwindigkeit und R der Krümmungshalbmesser an jedem Orte der Bahn. In unserm Falle, wo das Gewicht des Körpers im widerstehenden Mittel Bahn schief geworfener Körper. Fig.25. Tab. 65.Richtung der Bahn sey = v, der Winkel N M O den die Bahn an demselben Orte mit der Horizontallinie macht = λ, die Abscisse A L = x und die Ordinate L M = y. Nach der unten beigefügten Rechnung der höhern Analysis *) ergeben sich Gleichungen *) Wir haben M O = d x und N O = d y, und wenn die Länge des Bogens A M = s gesetzt wird,
M N = d s. Demnach ist im Punkte M die Geschwindigkeit nach der Richtung der Bahn [Formel 1] = v, die horizontale Geschwindigkeit [Formel 2] = v . Cos λ und die vertikale [Formel 3] = v . Sin λ. Das Gewicht der Kugel im leeren Raume sey = Q und im widerstehenden Mittel = [Formel 4] Q. Der Wider- stand des Mittels ist nach unserer frühern Bezeichnung = μ . w . π . r2 · [Formel 5] . Wir haben bereits §. 347 gesehen, dass für den Fall, wenn der Körper durch sein Gewicht senkrecht herabfällt, derselbe nur höchstens die Geschwindigkeit V erlangen könne, und dass V durch die Glei- chung [Formel 6] = 0 bestimmt werde. Daraus folgt μ. w . π . r2 = [Formel 7] . Setzen wir diesen Werth in den Ausdruck für den Widerstand des Mittels, so ist dieser Widerstand nach der Richtung der Bahn = [Formel 8] . Wir wollen nun zuerst die Bewegung des Körpers nach der horizontalen Richtung untersuchen. Da die Richtung der Schwere auf die horizontale Bewegung des Körpers senkrecht ist, so haben wir bei der Bewegung im luftleeren Raume (I. Band, VI. Kapitel) geschlossen, dass die Geschwindigkeit des Körpers in horizontaler Richtung in jedem Punkte der Bahn dieselbe bleiben müsse. Bei der Bewegung im widerstehenden Mittel wird aber die horizontale Bewegung von dem Widerstande des Mittels gehindert, da jedoch dieser Widerstand nur nach der Richtung der Bahn entgegen wirkt, so müssen wir denselben noch mit Cos λ multipliziren. Dadurch erhalten wir den Widerstand nach der horizontalen Richtung = Q [Formel 9] · Cos λ. Nach dem allgemeinen Gesetze der beschleunigenden Kräfte haben wir Q : 2 g . d t = Q [Formel 10] · Cos λ : — d (v . Cos λ). Daraus folgt die Gleichung — d (v . Cos λ) = 2 g . d t [Formel 11] · Cos λ, weil aber v . d t = d s, so haben wir — d (v . Cos λ) = 2 g [Formel 12] (I). Wird zu beiden Seiten mit v . Cos λ dividirt, und die Gleichung integrirt, so ist nat . log [Formel 13] = 2 g [Formel 14] , oder wenn wir zur Abkürzung die Geschwindigkeitshöhe [Formel 15] = H setzen, so ist nat . log [Formel 16] . Der Umstand, dass der Widerstand des Mittels dem Körper nur nach der Richtung seiner Bewe- gung entgegenwirkt, demnach auf die Richtung desselben in der Bahn keinen Einfluss haben kann, dient uns zur Aufstellung einer zweiten Gleichung, in welcher der Widerstand des Mittels nicht vor- kommt. Wir haben bereits au mehreren Stellen dieses Werkes gezeigt, dass zur Bewegung eines Körpers nach einer krummen Linie eine Kraft P erfordert werde, welche auf die Richtung der Bahn winkelrecht wirkt und deren Grösse nach der Gleichung P = [Formel 17] bestimmt wird. In dieser Gleichung ist Q das Gewicht des Körpers, v die Geschwindigkeit und R der Krümmungshalbmesser an jedem Orte der Bahn. 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Bahn schief geworfener Körper.
Richtung der Bahn sey = v, der Winkel N M O den die Bahn an demselben Orte mit
der Horizontallinie macht = λ, die Abscisse A L = x und die Ordinate L M = y.
Nach der unten beigefügten Rechnung der höhern Analysis *) ergeben sich Gleichungen
Fig.
25.
Tab.
65.
*) Wir haben M O = d x und N O = d y, und wenn die Länge des Bogens A M = s gesetzt wird,
M N = d s. Demnach ist im Punkte M die Geschwindigkeit nach der Richtung der Bahn [FORMEL] = v,
die horizontale Geschwindigkeit [FORMEL] = v . Cos λ und die vertikale [FORMEL] = v . Sin λ. Das Gewicht
der Kugel im leeren Raume sey = Q und im widerstehenden Mittel = [FORMEL] Q. Der Wider-
stand des Mittels ist nach unserer frühern Bezeichnung = μ . w . π . r2 · [FORMEL].
Wir haben bereits §. 347 gesehen, dass für den Fall, wenn der Körper durch sein Gewicht senkrecht
herabfällt, derselbe nur höchstens die Geschwindigkeit V erlangen könne, und dass V durch die Glei-
chung [FORMEL] = 0 bestimmt werde. Daraus folgt
μ. w . π . r2 = [FORMEL]. Setzen wir diesen Werth in den Ausdruck
für den Widerstand des Mittels, so ist dieser Widerstand nach der Richtung der Bahn
= [FORMEL].
Wir wollen nun zuerst die Bewegung des Körpers nach der horizontalen Richtung untersuchen.
Da die Richtung der Schwere auf die horizontale Bewegung des Körpers senkrecht ist, so haben wir
bei der Bewegung im luftleeren Raume (I. Band, VI. Kapitel) geschlossen, dass die Geschwindigkeit
des Körpers in horizontaler Richtung in jedem Punkte der Bahn dieselbe bleiben müsse. Bei der
Bewegung im widerstehenden Mittel wird aber die horizontale Bewegung von dem Widerstande des
Mittels gehindert, da jedoch dieser Widerstand nur nach der Richtung der Bahn entgegen wirkt, so
müssen wir denselben noch mit Cos λ multipliziren. Dadurch erhalten wir den Widerstand nach der
horizontalen Richtung = Q [FORMEL] · Cos λ.
Nach dem allgemeinen Gesetze der beschleunigenden Kräfte haben wir
Q : 2 g . d t = Q [FORMEL] · Cos λ : — d (v . Cos λ). Daraus folgt die Gleichung
— d (v . Cos λ) = 2 g . d t [FORMEL] · Cos λ, weil aber v . d t = d s, so haben wir
— d (v . Cos λ) = 2 g [FORMEL] (I).
Wird zu beiden Seiten mit v . Cos λ dividirt, und die Gleichung integrirt, so ist
nat . log [FORMEL] = 2 g [FORMEL], oder wenn wir zur Abkürzung die Geschwindigkeitshöhe
[FORMEL] = H setzen, so ist nat . log [FORMEL].
Der Umstand, dass der Widerstand des Mittels dem Körper nur nach der Richtung seiner Bewe-
gung entgegenwirkt, demnach auf die Richtung desselben in der Bahn keinen Einfluss haben kann,
dient uns zur Aufstellung einer zweiten Gleichung, in welcher der Widerstand des Mittels nicht vor-
kommt. Wir haben bereits au mehreren Stellen dieses Werkes gezeigt, dass zur Bewegung eines
Körpers nach einer krummen Linie eine Kraft P erfordert werde, welche auf die Richtung der
Bahn winkelrecht wirkt und deren Grösse nach der Gleichung P = [FORMEL] bestimmt wird. In dieser
Gleichung ist Q das Gewicht des Körpers, v die Geschwindigkeit und R der Krümmungshalbmesser
an jedem Orte der Bahn. In unserm Falle, wo das Gewicht des Körpers im widerstehenden Mittel
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