Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.
Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. Es muss also die Grösse h für die einzelnen Punkte der Oeffnung so bestimmtwerden, dass ihre Potentialfunction innerhalb der Oeffnung constant wird. Die Bedingung endlich, dass der Mündung, wird durch die Gleichung (29c.) erfüllt, wenn die Wand, in der die Oeffnung sich befindet, so weit merklich eben ist, als das Potential von h nicht gegen C verschwindet. Endlich wird für diesen Fall die Gleichung (28c.) Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. Es muſs also die Gröſse h für die einzelnen Punkte der Oeffnung so bestimmtwerden, daſs ihre Potentialfunction innerhalb der Oeffnung constant wird. Die Bedingung endlich, daſs der Mündung, wird durch die Gleichung (29c.) erfüllt, wenn die Wand, in der die Oeffnung sich befindet, so weit merklich eben ist, als das Potential von h nicht gegen C verschwindet. Endlich wird für diesen Fall die Gleichung (28c.) <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0078" n="68"/><fw place="top" type="header"><hi rendition="#i"><hi rendition="#g">Helmholtz</hi>, über Luftschwingungen in offenen Röhren</hi>.</fw><lb/> Es muſs also die Gröſse <hi rendition="#i">h</hi> für die einzelnen Punkte der Oeffnung so bestimmt<lb/> werden, daſs ihre Potentialfunction innerhalb der Oeffnung constant wird. Die<lb/> Bedingung endlich, daſs <formula notation="TeX">\frac{d\Psi}{dn} = 0</formula> ist längs der Oberfläche von <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">S</hi></hi> mit Ausnahme<lb/> der Mündung, wird durch die Gleichung (29<hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">c</hi></hi>.) erfüllt, wenn die Wand, in der<lb/> die Oeffnung sich befindet, so weit merklich eben ist, als das Potential von <hi rendition="#i">h</hi><lb/> nicht gegen <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">C</hi></hi> verschwindet.</p><lb/> <p>Endlich wird für diesen Fall die Gleichung (28<hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">c</hi></hi>.)<lb/> (29<hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">h</hi></hi>.) <formula notation="TeX">2\pi\int hd\omega = k^2CS</formula>.<lb/> Aus (29<hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">f</hi></hi>.) und (29<hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">h</hi></hi>.) folgt<lb/> (29<hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">i</hi></hi>.) <formula notation="TeX">J = -\frac{k^3CS}{2\pi}</formula><lb/> Nennen wir nun <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">M</hi></hi> die Masse, welche nöthig ist, um, auf der Fläche der<lb/> Oeffnung passend vertheilt, in dieser die Potentialfunction constant gleich 1<lb/> zu machen, so ist<lb/> (29<hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">k</hi></hi>.) <formula notation="TeX">\int hd\omega = \tfrac{1}{2}(C-H)M</formula>,<lb/> da die Dichtigkeit <hi rendition="#i">h</hi> nach (29<hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">g</hi></hi>.) den Potentialwerth ½ (<hi rendition="#b"><hi rendition="#i">C — H</hi></hi>) hervorbringt.<lb/> Wir haben also nach (29<hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">f</hi></hi>.)<lb/> (29<hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">l</hi></hi>.) <formula notation="TeX">J + \tfrac{1}{2}k(C-H)M = 0</formula>.<lb/> Das Maximum des Potentials der stehenden Wellen im freien Raume ist <formula notation="TeX">\sqrt{H^2+J^2}</formula>,<lb/> das Maximum in dem Hohlkörper <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">S</hi></hi> ist <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">C</hi></hi>. Aus (29<hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">i</hi></hi>.) und (29<hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">l</hi></hi>.) folgt<lb/><formula notation="TeX">\frac{H^2+J^2}{C^2} = \left(1-\frac{k^2S}{\pi M}\right)^2+\left(\frac{k^3S}{2\pi}\right)^2</formula>.<lb/> Dieses Verhältniſs erreicht seinen Minimalwerth, die Resonanz wird also am<lb/> stärksten, wenn das erste der beiden Quadrate, gegen welches im Allgemeinen<lb/> das zweite verschwindend klein ist, gleich Null wird. Die Bedingung für das<lb/> Maximum der Resonanz ist also:<lb/> (30.) <formula notation="TeX">\pi M = k^2S</formula>,<lb/> oder wenn wir statt <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">k</hi></hi> seinen Werth setzen durch die Schwingungszahl <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">n</hi></hi> und<lb/> die Schallgeschwindigkeit <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">a</hi></hi> ausgedrückt<lb/> (3<hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">a</hi></hi>.) <formula notation="TeX">k = \frac{2\pi n}{a}</formula>,<lb/></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [68/0078]
Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
Es muſs also die Gröſse h für die einzelnen Punkte der Oeffnung so bestimmt
werden, daſs ihre Potentialfunction innerhalb der Oeffnung constant wird. Die
Bedingung endlich, daſs [FORMEL] ist längs der Oberfläche von S mit Ausnahme
der Mündung, wird durch die Gleichung (29c.) erfüllt, wenn die Wand, in der
die Oeffnung sich befindet, so weit merklich eben ist, als das Potential von h
nicht gegen C verschwindet.
Endlich wird für diesen Fall die Gleichung (28c.)
(29h.) [FORMEL].
Aus (29f.) und (29h.) folgt
(29i.) [FORMEL]
Nennen wir nun M die Masse, welche nöthig ist, um, auf der Fläche der
Oeffnung passend vertheilt, in dieser die Potentialfunction constant gleich 1
zu machen, so ist
(29k.) [FORMEL],
da die Dichtigkeit h nach (29g.) den Potentialwerth ½ (C — H) hervorbringt.
Wir haben also nach (29f.)
(29l.) [FORMEL].
Das Maximum des Potentials der stehenden Wellen im freien Raume ist [FORMEL],
das Maximum in dem Hohlkörper S ist C. Aus (29i.) und (29l.) folgt
[FORMEL].
Dieses Verhältniſs erreicht seinen Minimalwerth, die Resonanz wird also am
stärksten, wenn das erste der beiden Quadrate, gegen welches im Allgemeinen
das zweite verschwindend klein ist, gleich Null wird. Die Bedingung für das
Maximum der Resonanz ist also:
(30.) [FORMEL],
oder wenn wir statt k seinen Werth setzen durch die Schwingungszahl n und
die Schallgeschwindigkeit a ausgedrückt
(3a.) [FORMEL],
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| Zitationshilfe: | Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72, hier S. 68. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/78>, abgerufen am 22.12.2024. |
