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Müller-Breslau, Heinrich: Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen. Leipzig, 1886.

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Berechnung der D thm. Wir beschränken uns in diesem Buche
auf die Behandlung des Falles, in welchem das

[Abbildung] Fig. 17.

Fachwerk durch Aneinanderfügung von Dreiecken
entstanden gedacht werden kann. Es setzt sich
dann jeder Winkel th aus einzelnen Dreieckswinkeln
zusammen, und es genügt, die Berechnung der
Aenderung eines solchen zu zeigen.

Sind a1, a2, a3 die Seiten eines Dreiecks und
a1, a2, a3 die ihnen gegenüberliegenden Winkel,
und bedeutet h das Loth von A auf a1, so folgt:
a1 = a2 cos a3 + a3 cos a2
und hieraus durch Differentiiren:
D a1 = D a2 cos a3 -- a2 sin a3 D a3 + D a3 cos a2 -- a3 sin a2 D a2
[Formel 1] .

Nun ist aber a1 + a2 + a3 = 180° also D a1 + D a2 + D a3 = 0
und D a2 + D a3 = -- D a1, ferner ist a2 cos a3 = h cotg a3 und
a3 cos a2 = h cotg a2, weshalb sich ergiebt:
[Formel 2] .
Bezeichnet man mit s1, s2, s3 die Spannungen in den Stä ben a1, a2
a3 und setzt die Temperaturänderung

[Abbildung] Fig. 18.

t = 0 voraus, so ist
[Formel 3] .
Beachtet man noch
[Formel 4] ,
so findet man, wenn E konstant ist, zur Berechnung der durch die
Spannungen s hervorgebrachten Winkeländerung die Gleichung
(14) E D a1 = (s1 -- s2) cotg a3 + (s1 -- s3) cotg a2.
Für die Aenderung des Winkels th in Fig. 18 ergiebt sich z. B. mit
den an die einzelnen Stäbe geschriebenen Spannungen s die Gleichung:
(15) E D th = (s2 -- s1) cotg a1 + (s2 -- s3) cotg a2 + (s4 -- s3) cotg a3
+ (s4 -- s5) cotg a4 + (s6 -- s5) cotg a5 + (s6 -- s7) cotg a6.

Sollen Temperaturänderungen berücksichtigt werden, so ergiebt
sich die Aenderung D s einer Stablänge s aus
[Formel 5] ;

Berechnung der Δ ϑm. Wir beschränken uns in diesem Buche
auf die Behandlung des Falles, in welchem das

[Abbildung] Fig. 17.

Fachwerk durch Aneinanderfügung von Dreiecken
entstanden gedacht werden kann. Es setzt sich
dann jeder Winkel ϑ aus einzelnen Dreieckswinkeln
zusammen, und es genügt, die Berechnung der
Aenderung eines solchen zu zeigen.

Sind a1, a2, a3 die Seiten eines Dreiecks und
α1, α2, α3 die ihnen gegenüberliegenden Winkel,
und bedeutet h das Loth von A auf a1, so folgt:
a1 = a2 cos α3 + a3 cos α2
und hieraus durch Differentiiren:
Δ a1 = Δ a2 cos α3 — a2 sin α3 Δ α3 + Δ a3 cos α2 — a3 sin α2 Δ α2
[Formel 1] .

Nun ist aber α1 + α2 + α3 = 180° also Δ α1 + Δ α2 + Δ α3 = 0
und Δ α2 + Δ α3 = — Δ α1, ferner ist a2 cos α3 = h cotg α3 und
a3 cos α2 = h cotg α2, weshalb sich ergiebt:
[Formel 2] .
Bezeichnet man mit σ1, σ2, σ3 die Spannungen in den Stä ben a1, a2
a3 und setzt die Temperaturänderung

[Abbildung] Fig. 18.

t = 0 voraus, so ist
[Formel 3] .
Beachtet man noch
[Formel 4] ,
so findet man, wenn E konstant ist, zur Berechnung der durch die
Spannungen σ hervorgebrachten Winkeländerung die Gleichung
(14) E Δ α1 = (σ1 — σ2) cotg α3 + (σ1 — σ3) cotg α2.
Für die Aenderung des Winkels ϑ in Fig. 18 ergiebt sich z. B. mit
den an die einzelnen Stäbe geschriebenen Spannungen σ die Gleichung:
(15) E Δ ϑ = (σ2 — σ1) cotg α1 + (σ2 — σ3) cotg α2 + (σ4 — σ3) cotg α3
+ (σ4 — σ5) cotg α4 + (σ6 — σ5) cotg α5 + (σ6 — σ7) cotg α6.

Sollen Temperaturänderungen berücksichtigt werden, so ergiebt
sich die Aenderung Δ s einer Stablänge s aus
[Formel 5] ;

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[23/0035] Berechnung der Δ ϑm. Wir beschränken uns in diesem Buche auf die Behandlung des Falles, in welchem das [Abbildung Fig. 17.] Fachwerk durch Aneinanderfügung von Dreiecken entstanden gedacht werden kann. Es setzt sich dann jeder Winkel ϑ aus einzelnen Dreieckswinkeln zusammen, und es genügt, die Berechnung der Aenderung eines solchen zu zeigen. Sind a1, a2, a3 die Seiten eines Dreiecks und α1, α2, α3 die ihnen gegenüberliegenden Winkel, und bedeutet h das Loth von A auf a1, so folgt: a1 = a2 cos α3 + a3 cos α2 und hieraus durch Differentiiren: Δ a1 = Δ a2 cos α3 — a2 sin α3 Δ α3 + Δ a3 cos α2 — a3 sin α2 Δ α2 [FORMEL]. Nun ist aber α1 + α2 + α3 = 180° also Δ α1 + Δ α2 + Δ α3 = 0 und Δ α2 + Δ α3 = — Δ α1, ferner ist a2 cos α3 = h cotg α3 und a3 cos α2 = h cotg α2, weshalb sich ergiebt: [FORMEL]. Bezeichnet man mit σ1, σ2, σ3 die Spannungen in den Stä ben a1, a2 a3 und setzt die Temperaturänderung [Abbildung Fig. 18.] t = 0 voraus, so ist [FORMEL]. Beachtet man noch [FORMEL], so findet man, wenn E konstant ist, zur Berechnung der durch die Spannungen σ hervorgebrachten Winkeländerung die Gleichung (14) E Δ α1 = (σ1 — σ2) cotg α3 + (σ1 — σ3) cotg α2. Für die Aenderung des Winkels ϑ in Fig. 18 ergiebt sich z. B. mit den an die einzelnen Stäbe geschriebenen Spannungen σ die Gleichung: (15) E Δ ϑ = (σ2 — σ1) cotg α1 + (σ2 — σ3) cotg α2 + (σ4 — σ3) cotg α3 + (σ4 — σ5) cotg α4 + (σ6 — σ5) cotg α5 + (σ6 — σ7) cotg α6. Sollen Temperaturänderungen berücksichtigt werden, so ergiebt sich die Aenderung Δ s einer Stablänge s aus [FORMEL];

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Zitationshilfe:	Müller-Breslau, Heinrich: Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen. Leipzig, 1886, S. 23. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/mueller_festigkeitslehre_1886/35>, abgerufen am 21.11.2024.

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