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Müller-Breslau, Heinrich: Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen. Leipzig, 1886.

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es leisten dann die Auflagerkräfte (wenn Punkt B und die Wagerechte durch
B festliegen) die virtuelle Arbeit
(I) = -- AD c -- H1D l -- M1D ph0 + M2D ph1.

Bedeutet R die Mittelkraft aus sämmtlichen Lasten, a den Neigungs-
winkel von R gegen die Wagerechte, r das Loth von B auf R, so bestehen
die Gleichgewichtsbedingungen:
(II) H1 + R cos a -- H2 = 0
(III) A -- R sin a + B = 0
(IV) Al -- H1c -- Rr + M1 -- M2 = 0.

Da sich weitere statische Beziehungen zwischen den 6 Unbekannten A,
B, H1, H2, M1 und M2 nicht aufstellen lassen, so ist der Träger ein dreifach
statisch unbestimmter. Werden A, H1 und M1 als statisch nicht bestimmbare
Grössen aufgefasst, so muss der aus (IV) sich ergebende Werth: M2 = Al -- H1c
-- Rr + M1 in (I) eingeführt werden, worauf die Arbeit als Funktion der
statisch nicht bestimmbaren Grössen in der Form
= A (lD ph1 -- D c) -- H1 (cD ph1 + D l) + M1 (D ph1 -- D ph0) -- RrD ph1
erhalten wird, und es folgt schliesslich

für den Zustand X' = A = 1 der Werth L' = lD ph1 -- D c

" " " X'' = H1 = 1 " " L'' = -- (cD ph1 + D l)

" " " X''' = M1 = 1 " " L''' = D ph1 -- D ph0.

5) Belastung durch Kräftepaare. Drehung von Tangenten
an die Stabachse. Die in irgend einem Punkte m an die Stabachse
gelegte Tangente T T (Fig. 47) können wir als materielle Linie auffassen,
welche mit dem Stabe fest verbunden ist. Wirkt auf diese Linie ein

[Abbildung] Fig. 47.

Kräftepaar, dessen Moment
= m ist, so werden an den
Auflagern gewisse Gegen-
drücke und im Stabe gewisse
Spannungen hervorgerufen.
Es möge m der Angriffs-
punkt des Kräftepaares
heissen.

Denken wir uns nun in
gleicher Weise (ausser den
bislang vorausgesetzten
Lasten P) in beliebigen
Punkten 1, 2, .... n der Stabachse Kräftepaare mit den Momenten 1,
2, .... n angreifend und bezeichnen mit t1, t2, ... tn die Winkel,
um welche sich die in den Punkten 1, 2, .... n an die Stabachse ge-
legten Tangenten in Folge der Umgestaltung des elastischen Stabes drehen,
so leisten die Kräftepaare die virtuelle Arbeit 1t1 + 2t2 + ....
+ ntn, und es ergiebt sich die Arbeitsgleichung:
[Formel 1] .

es leisten dann die Auflagerkräfte (wenn Punkt B und die Wagerechte durch
B festliegen) die virtuelle Arbeit
(I) 𝔄 = — AΔ c — H1Δ l — M1Δ φ0 + M2Δ φ1.

Bedeutet R die Mittelkraft aus sämmtlichen Lasten, α den Neigungs-
winkel von R gegen die Wagerechte, r das Loth von B auf R, so bestehen
die Gleichgewichtsbedingungen:
(II) H1 + R cos α — H2 = 0
(III) A — R sin α + B = 0
(IV) Al — H1c — Rr + M1 — M2 = 0.

Da sich weitere statische Beziehungen zwischen den 6 Unbekannten A,
B, H1, H2, M1 und M2 nicht aufstellen lassen, so ist der Träger ein dreifach
statisch unbestimmter. Werden A, H1 und M1 als statisch nicht bestimmbare
Grössen aufgefasst, so muss der aus (IV) sich ergebende Werth: M2 = Al — H1c
— Rr + M1 in (I) eingeführt werden, worauf die Arbeit 𝔄 als Funktion der
statisch nicht bestimmbaren Grössen in der Form
𝔄 = A (lΔ φ1 — Δ c) — H1 (cΔ φ1 + Δ l) + M1 (Δ φ1 — Δ φ0) — RrΔ φ1
erhalten wird, und es folgt schliesslich

für den Zustand X' = A = 1 der Werth L' = lΔ φ1 — Δ c

„ „ „ X'' = H1 = 1 „ „ L'' = — (cΔ φ1 + Δ l)

„ „ „ X''' = M1 = 1 „ „ L''' = Δ φ1 — Δ φ0.

[Abbildung] Fig. 47.

Kräftepaar, dessen Moment
= 𝔐m ist, so werden an den
Auflagern gewisse Gegen-
drücke und im Stabe gewisse
Spannungen hervorgerufen.
Es möge m der Angriffs-
punkt des Kräftepaares
heissen.

Denken wir uns nun in
gleicher Weise (ausser den
bislang vorausgesetzten
Lasten P) in beliebigen
Punkten 1, 2, .... n der Stabachse Kräftepaare mit den Momenten 𝔐1,
𝔐2, .... 𝔐n angreifend und bezeichnen mit τ1, τ2, ... τn die Winkel,
um welche sich die in den Punkten 1, 2, .... n an die Stabachse ge-
legten Tangenten in Folge der Umgestaltung des elastischen Stabes drehen,
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[Formel 1] .

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[64/0076] es leisten dann die Auflagerkräfte (wenn Punkt B und die Wagerechte durch B festliegen) die virtuelle Arbeit (I) 𝔄 = — AΔ c — H1Δ l — M1Δ φ0 + M2Δ φ1. Bedeutet R die Mittelkraft aus sämmtlichen Lasten, α den Neigungs- winkel von R gegen die Wagerechte, r das Loth von B auf R, so bestehen die Gleichgewichtsbedingungen: (II) H1 + R cos α — H2 = 0 (III) A — R sin α + B = 0 (IV) Al — H1c — Rr + M1 — M2 = 0. Da sich weitere statische Beziehungen zwischen den 6 Unbekannten A, B, H1, H2, M1 und M2 nicht aufstellen lassen, so ist der Träger ein dreifach statisch unbestimmter. Werden A, H1 und M1 als statisch nicht bestimmbare Grössen aufgefasst, so muss der aus (IV) sich ergebende Werth: M2 = Al — H1c — Rr + M1 in (I) eingeführt werden, worauf die Arbeit 𝔄 als Funktion der statisch nicht bestimmbaren Grössen in der Form 𝔄 = A (lΔ φ1 — Δ c) — H1 (cΔ φ1 + Δ l) + M1 (Δ φ1 — Δ φ0) — RrΔ φ1 erhalten wird, und es folgt schliesslich für den Zustand X' = A = 1 der Werth L' = lΔ φ1 — Δ c „ „ „ X'' = H1 = 1 „ „ L'' = — (cΔ φ1 + Δ l) „ „ „ X''' = M1 = 1 „ „ L''' = Δ φ1 — Δ φ0. 5) Belastung durch Kräftepaare. Drehung von Tangenten an die Stabachse. Die in irgend einem Punkte m an die Stabachse gelegte Tangente T T (Fig. 47) können wir als materielle Linie auffassen, welche mit dem Stabe fest verbunden ist. Wirkt auf diese Linie ein [Abbildung Fig. 47.] Kräftepaar, dessen Moment = 𝔐m ist, so werden an den Auflagern gewisse Gegen- drücke und im Stabe gewisse Spannungen hervorgerufen. Es möge m der Angriffs- punkt des Kräftepaares heissen. Denken wir uns nun in gleicher Weise (ausser den bislang vorausgesetzten Lasten P) in beliebigen Punkten 1, 2, .... n der Stabachse Kräftepaare mit den Momenten 𝔐1, 𝔐2, .... 𝔐n angreifend und bezeichnen mit τ1, τ2, ... τn die Winkel, um welche sich die in den Punkten 1, 2, .... n an die Stabachse ge- legten Tangenten in Folge der Umgestaltung des elastischen Stabes drehen, so leisten die Kräftepaare die virtuelle Arbeit 𝔐1τ1 + 𝔐2τ2 + .... + 𝔐nτn, und es ergiebt sich die Arbeitsgleichung: [FORMEL].

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Zitationshilfe:	Müller-Breslau, Heinrich: Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen. Leipzig, 1886, S. 64. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/mueller_festigkeitslehre_1886/76>, abgerufen am 24.11.2024.

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