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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Dreizehnte Vorlesung.

Des weiteren muss nun b aus der Gleichung z) eliminirt werden.
Da die Koeffizienten a c1 d1 und a1 c1 d1 von b und b1 daselbst disjunkt
sind, Null zum Produkte haben, so besteht die Resultante dieser Eli-
mination einfach in der gleich 0 gesetzten Summe der von b und b1
freien Glieder in z), d. h. sie lautet:
i) a c d + a1 c d1 + a1 c1 d = 0
-- eine Gleichung, aus welcher die Antwort auf die vierte Frage nach-
her zu entnehmen sein wird.

Mit Rücksicht auf diese Relation i) vereinfacht nun die Gleichung z)
sich zu:
k) a c1 d1 b + a1 c1 d1 b1 = 0
und gibt dieselbe dem Th. 50+) gemäss regelrecht nach der Unbe-
kannten b aufgelöst:
b = a1 c1 d1 + v (a c1 d1)1 = a1 c1 d1 + v (a1 + c + d),
wobei v eine unbestimmte Klasse vorstellt. Hier lässt aber nach
Th. 33+) Zusatz der in v zu multiplizirende Term a1 sich mit dem Faktor
(c + d)1 = c1 d1 ausstatten und geht hernach das betreffende Glied
v a1 c1 d1 im ersten Term der rechten Seite nach dem Absorptionsgesetze
auf, sodass:
l) b = a1 c1 d1 + v (c + d)
als ein einfacherer Ausdruck für die gesuchte Auflösung nach b erscheint.

Behufs bequemster Deutung mittelst Worten werden wir dieses
Ergebniss -- dasselbe für v = 0 und v = 1 in Anspruch nehmend --
umschreiben in die Doppelsubsumtion:
m) a1 c1 d1 b a1 + c + d,
die auch gemäss Th. 49+) direkt aus k) herausgelesen werden konnte.
Damit ist in Beantwortung der dritten Frage gefunden: Wenn die
Merkmale A, C und D gleichzeitig fehlen, so findet sich das Merkmal B,
und wo das Merkmal B sich findet, da muss das Merkmal C oder auch
das D vorliegen, wonicht A fehlt.

Behufs Beantwortung der vierten Frage könnte man die Gleichung i)
direkt in Worte fassen wie folgt: Die Merkmale A, C und D kommen
nicht alle drei zusammen vor und wo das Merkmal A fehlt kann von
den Merkmalen C und D das eine nicht ohne das andere auftreten.

Etwas übersichtlicher vielleicht wird man die Gleichung i) in ihre
Auflösung nach a umschreiben mit der sie (weil Elimination von a blos
auf 0 = 0 führt) äquivalent sein muss. Diese Auflösung lautet:
n) a = c d1 + c1 d + w (c1 + d1) = c d1 + c1 d + w c1 d1,

Dreizehnte Vorlesung.

Des weiteren muss nun b aus der Gleichung ζ) eliminirt werden.
Da die Koeffizienten a c1 d1 und a1 c1 d1 von b und b1 daselbst disjunkt
sind, Null zum Produkte haben, so besteht die Resultante dieser Eli-
mination einfach in der gleich 0 gesetzten Summe der von b und b1
freien Glieder in ζ), d. h. sie lautet:
ι) a c d + a1 c d1 + a1 c1 d = 0
— eine Gleichung, aus welcher die Antwort auf die vierte Frage nach-
her zu entnehmen sein wird.

Mit Rücksicht auf diese Relation ι) vereinfacht nun die Gleichung ζ)
sich zu:
ϰ) a c1 d1 b + a1 c1 d1 b1 = 0
und gibt dieselbe dem Th. 50+) gemäss regelrecht nach der Unbe-
kannten b aufgelöst:
b = a1 c1 d1 + v (a c1 d1)1 = a1 c1 d1 + v (a1 + c + d),
wobei v eine unbestimmte Klasse vorstellt. Hier lässt aber nach
Th. 33+) Zusatz der in v zu multiplizirende Term a1 sich mit dem Faktor
(c + d)1 = c1 d1 ausstatten und geht hernach das betreffende Glied
v a1 c1 d1 im ersten Term der rechten Seite nach dem Absorptionsgesetze
auf, sodass:
λ) b = a1 c1 d1 + v (c + d)
als ein einfacherer Ausdruck für die gesuchte Auflösung nach b erscheint.

Behufs bequemster Deutung mittelst Worten werden wir dieses
Ergebniss — dasselbe für v = 0 und v = 1 in Anspruch nehmend —
umschreiben in die Doppelsubsumtion:
μ) a1 c1 d1 ⋹ b ⋹ a1 + c + d,
die auch gemäss Th. 49+) direkt aus ϰ) herausgelesen werden konnte.
Damit ist in Beantwortung der dritten Frage gefunden: Wenn die
Merkmale A, C und D gleichzeitig fehlen, so findet sich das Merkmal B,
und wo das Merkmal B sich findet, da muss das Merkmal C oder auch
das D vorliegen, wonicht A fehlt.

Behufs Beantwortung der vierten Frage könnte man die Gleichung ι)
direkt in Worte fassen wie folgt: Die Merkmale A, C und D kommen
nicht alle drei zusammen vor und wo das Merkmal A fehlt kann von
den Merkmalen C und D das eine nicht ohne das andere auftreten.

Etwas übersichtlicher vielleicht wird man die Gleichung ι) in ihre
Auflösung nach a umschreiben mit der sie (weil Elimination von a blos
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[526/0546] Dreizehnte Vorlesung. Des weiteren muss nun b aus der Gleichung ζ) eliminirt werden. Da die Koeffizienten a c1 d1 und a1 c1 d1 von b und b1 daselbst disjunkt sind, Null zum Produkte haben, so besteht die Resultante dieser Eli- mination einfach in der gleich 0 gesetzten Summe der von b und b1 freien Glieder in ζ), d. h. sie lautet: ι) a c d + a1 c d1 + a1 c1 d = 0 — eine Gleichung, aus welcher die Antwort auf die vierte Frage nach- her zu entnehmen sein wird. Mit Rücksicht auf diese Relation ι) vereinfacht nun die Gleichung ζ) sich zu: ϰ) a c1 d1 b + a1 c1 d1 b1 = 0 und gibt dieselbe dem Th. 50+) gemäss regelrecht nach der Unbe- kannten b aufgelöst: b = a1 c1 d1 + v (a c1 d1)1 = a1 c1 d1 + v (a1 + c + d), wobei v eine unbestimmte Klasse vorstellt. Hier lässt aber nach Th. 33+) Zusatz der in v zu multiplizirende Term a1 sich mit dem Faktor (c + d)1 = c1 d1 ausstatten und geht hernach das betreffende Glied v a1 c1 d1 im ersten Term der rechten Seite nach dem Absorptionsgesetze auf, sodass: λ) b = a1 c1 d1 + v (c + d) als ein einfacherer Ausdruck für die gesuchte Auflösung nach b erscheint. Behufs bequemster Deutung mittelst Worten werden wir dieses Ergebniss — dasselbe für v = 0 und v = 1 in Anspruch nehmend — umschreiben in die Doppelsubsumtion: μ) a1 c1 d1 ⋹ b ⋹ a1 + c + d, die auch gemäss Th. 49+) direkt aus ϰ) herausgelesen werden konnte. Damit ist in Beantwortung der dritten Frage gefunden: Wenn die Merkmale A, C und D gleichzeitig fehlen, so findet sich das Merkmal B, und wo das Merkmal B sich findet, da muss das Merkmal C oder auch das D vorliegen, wonicht A fehlt. Behufs Beantwortung der vierten Frage könnte man die Gleichung ι) direkt in Worte fassen wie folgt: Die Merkmale A, C und D kommen nicht alle drei zusammen vor und wo das Merkmal A fehlt kann von den Merkmalen C und D das eine nicht ohne das andere auftreten. Etwas übersichtlicher vielleicht wird man die Gleichung ι) in ihre Auflösung nach a umschreiben mit der sie (weil Elimination von a blos auf 0 = 0 führt) äquivalent sein muss. Diese Auflösung lautet: ν) a = c d1 + c1 d + w (c1 + d1) = c d1 + c1 d + w c1 d1,

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 526. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/546>, abgerufen am 22.11.2024.