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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 35. Analytischer Zusammenhang zwischen Umfangsbeziehungen.

Was die Begründung der Formeln im übrigen betrifft, so wurde
die erste links schon unter 160) aus dieser Hauptgleichung entnommen;
(die erste rechts ist eine analytische Identität); ebenso ergibt aus der
siebenten Gleichung links g = a, die als Definition galt, sich auch die
siebente rechts aus 160). -- Ferner haben wir:
f = f h + f h1 = h k1 + g nach 70) und [80],
e = e k + e k1 = h1 k + b nach 70)' " ",
womit die sechste und fünfte Gleichung links gewonnen. -- Nach Th. 34+)
ist endlich:
d = d · i = d (h k + h k1 + h1 k + h1 k1) = d h k + d h1 k1 = h k + d
wegen 30) und 30)', sodann 30)''' und [80], womit auch die vierte
Formel links gewonnen. Mit dieser folgt dann sofort auch die dritte
und zweite links gemäss 60), indem sich bei der Addition dieses d mit
f resp. e das einemal
h k + h k1 = h, das andremal h k + h1 k = k
zusammenzieht. -- Um auch noch die Gleichungen rechterhand oder
die Ausdrücke für die Negationen unsrer Beziehungen zu gewinnen,
sucht man am besten nur die Ergänzung des unter a fallenden Terms
(innerhalb der Mannigfaltigkeit der Fälle a selbst) direkt auf, und ent-
nimmt die übrigen Terme aus der Hauptgleichung 160); um die For-
meln, so wie sie angegeben, zu beweisen, genügt es schon, die Probe
zu machen nach den Schemata des Th. 30). [Anstatt des Obigen hätte
man auch (h + k1) a resp. (h1 + k) a als ersten Term von e1 resp. f1
schreiben können.] --

Als eine Anwendung wollen wir jetzt hervorheben und beleuchten
den Unterschied der beiden in § 15 besprochenen Redensarten [dort
einfach b) und g) genannt]:
b) A (ist nicht) B -- und g) A ist (nicht B)
oder auch:
Alle A (sind nicht) B resp. Alle A sind (nicht-B)
-- unter den A die Elemente oder Punkte des Gebietes A verstanden,
desgl. unter den B oder den Nicht-B Punkte ebendieser Gebiete.

Letztere Redensart, g), d. i. auch ohne Klammer geschrieben die:
"A ist Nicht-B" repräsentirt den Fall:

8*
§ 35. Analytischer Zusammenhang zwischen Umfangsbeziehungen.

Was die Begründung der Formeln im übrigen betrifft, so wurde
die erste links schon unter 160) aus dieser Hauptgleichung entnommen;
(die erste rechts ist eine analytische Identität); ebenso ergibt aus der
siebenten Gleichung links g = α, die als Definition galt, sich auch die
siebente rechts aus 160). — Ferner haben wir:
f = f h + f h1 = h k1 + γ nach 70) und [80],
e = e k + e k1 = h1 k + β nach 70)' „ „,
womit die sechste und fünfte Gleichung links gewonnen. — Nach Th. 34+)
ist endlich:
d = d · i = d (h k + h k1 + h1 k + h1 k1) = d h k + d h1 k1 = h k + δ
wegen 30) und 30)', sodann 30)''' und [80], womit auch die vierte
Formel links gewonnen. Mit dieser folgt dann sofort auch die dritte
und zweite links gemäss 60), indem sich bei der Addition dieses d mit
f resp. e das einemal
h k + h k1 = h, das andremal h k + h1 k = k
zusammenzieht. — Um auch noch die Gleichungen rechterhand oder
die Ausdrücke für die Negationen unsrer Beziehungen zu gewinnen,
sucht man am besten nur die Ergänzung des unter a fallenden Terms
(innerhalb der Mannigfaltigkeit der Fälle a selbst) direkt auf, und ent-
nimmt die übrigen Terme aus der Hauptgleichung 160); um die For-
meln, so wie sie angegeben, zu beweisen, genügt es schon, die Probe
zu machen nach den Schemata des Th. 30). [Anstatt des Obigen hätte
man auch (h + k1) a resp. (h1 + k) a als ersten Term von e1 resp. f1
schreiben können.] —

Als eine Anwendung wollen wir jetzt hervorheben und beleuchten
den Unterschied der beiden in § 15 besprochenen Redensarten [dort
einfach β) und γ) genannt]:
β̂) A (ist nicht) B — und γ̂) A ist (nicht B)
oder auch:
Alle A (sind nicht) B resp. Alle A sind (nicht-B)
— unter den A die Elemente oder Punkte des Gebietes A verstanden,
desgl. unter den B oder den Nicht-B Punkte ebendieser Gebiete.

Letztere Redensart, γ̂), d. i. auch ohne Klammer geschrieben die:
„A ist Nicht-B“ repräsentirt den Fall:

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[115/0139] § 35. Analytischer Zusammenhang zwischen Umfangsbeziehungen. Was die Begründung der Formeln im übrigen betrifft, so wurde die erste links schon unter 160) aus dieser Hauptgleichung entnommen; (die erste rechts ist eine analytische Identität); ebenso ergibt aus der siebenten Gleichung links g = α, die als Definition galt, sich auch die siebente rechts aus 160). — Ferner haben wir: f = f h + f h1 = h k1 + γ nach 70) und [80], e = e k + e k1 = h1 k + β nach 70)' „ „, womit die sechste und fünfte Gleichung links gewonnen. — Nach Th. 34+) ist endlich: d = d · i = d (h k + h k1 + h1 k + h1 k1) = d h k + d h1 k1 = h k + δ wegen 30) und 30)', sodann 30)''' und [80], womit auch die vierte Formel links gewonnen. Mit dieser folgt dann sofort auch die dritte und zweite links gemäss 60), indem sich bei der Addition dieses d mit f resp. e das einemal h k + h k1 = h, das andremal h k + h1 k = k zusammenzieht. — Um auch noch die Gleichungen rechterhand oder die Ausdrücke für die Negationen unsrer Beziehungen zu gewinnen, sucht man am besten nur die Ergänzung des unter a fallenden Terms (innerhalb der Mannigfaltigkeit der Fälle a selbst) direkt auf, und ent- nimmt die übrigen Terme aus der Hauptgleichung 160); um die For- meln, so wie sie angegeben, zu beweisen, genügt es schon, die Probe zu machen nach den Schemata des Th. 30). [Anstatt des Obigen hätte man auch (h + k1) a resp. (h1 + k) a als ersten Term von e1 resp. f1 schreiben können.] — Als eine Anwendung wollen wir jetzt hervorheben und beleuchten den Unterschied der beiden in § 15 besprochenen Redensarten [dort einfach β) und γ) genannt]: β̂) A (ist nicht) B — und γ̂) A ist (nicht B) oder auch: Alle A (sind nicht) B resp. Alle A sind (nicht-B) — unter den A die Elemente oder Punkte des Gebietes A verstanden, desgl. unter den B oder den Nicht-B Punkte ebendieser Gebiete. Letztere Redensart, γ̂), d. i. auch ohne Klammer geschrieben die: „A ist Nicht-B“ repräsentirt den Fall: 8*

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 115. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/139>, abgerufen am 23.11.2024.