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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Dreiundzwanzigste Vorlesung.
S jedenfalls durch ein u erfüllbar sein; auch musste, wenn S gilt, K
gelten, d. h. K ist die gesuchte Klausel.

Den Zusatz des Faktors Kl oder (Sl Kl) zum Gliede Sl im
Ausdruck dieses K wird man natürlich sparen in allen den Fällen, wo
sich Kl als = i, das ist als ohnehin erfüllt herausstellt, wo nämlich
im Falle Sl keine weitere Anforderung, als etwa die: 0 = 0, an die
Parameter von S zu stellen ist und resultirt.

Es kommt demnach nur mehr auf die Ermittelung jener "Partial-
klauseln" Kl an.

Diese werden wirklich = i in wenigstens 1 + n von den 2n Fällen.

Gilt nämlich S1, als das Anfangsglied besagter Entwickelung, oder:
C1 C2 ... Cn
selbst, so werden, wie oben ausgeführt, sämtliche Faktoren S in 180)
schon gleich i sein, und fällt jegliche Anforderung an u ohnehin fort.

Gilt ferner (für a = 1, 2, .. n):
Sa + 1 oder C1 C2 ... Ca -- 1 C1a Ca + 1 ... Cn
d. h. ist nur einer der Faktoren Ck mit Negationsstrich versehen er-
füllt, die übrigen ohne solchen, so wird im Ausdrucke von S nur durch
den einen Faktor Ca + Da, welcher sich auf 0 + Da, = Da reduzirt,
eine Anforderung an u gestellt, die nämlich, dass ra u + sa u1 0
werde, und diese ist ohne weiteres erfüllbar, sintemal laut P ja
ra + sa 0 war, sonach von den beiden Termen ra und sa höchstens
einer verschwinden konnte. Und braucht man, um dies einzusehen
nur von dem (von einem) nicht verschwindenden dieser beiden Terme
in Gedanken ein Individuum zu dem als Faktor zu ihm hinzutretenden
Gebiete u resp. u1 zu schlagen; so wird das Produkt denn in der
That auch mindestens dieses Individuum enthalten, und 0 sein.
Auch rechnerisch zeigt die Annahme:
u = r s1 v1 + (r + s1) v
dass wirklich stets
r u + s u1 = r + s somit 0
hier gemacht werden kann (für die obern Indices a oder -- genauer --
a1, von r und s).

Die eben erledigten Fälle entsprachen den Kombinationen zur
h = 0ten und zur h = 1ten Klasse (der negirten Symbole Ck).

Für h = 2, wo also zwei Faktoren Ck in 190) mit Negations-
strich versehen auftreten, wird ein Fall vorliegen, welcher sich seinem
Schema nach mit der, unsrer allgemeinen Betrachtung als einfachstes

Dreiundzwanzigste Vorlesung.
S jedenfalls durch ein u erfüllbar sein; auch musste, wenn S gilt, K
gelten, d. h. K ist die gesuchte Klausel.

Den Zusatz des Faktors Kλ oder (Sλ ⊆ Kλ) zum Gliede Sλ im
Ausdruck dieses K wird man natürlich sparen in allen den Fällen, wo
sich Kλ als = i, das ist als ohnehin erfüllt herausstellt, wo nämlich
im Falle Sλ keine weitere Anforderung, als etwa die: 0 = 0, an die
Parameter von S zu stellen ist und resultirt.

Es kommt demnach nur mehr auf die Ermittelung jener „Partial-
klauseln“ Kλ an.

Diese werden wirklich = i in wenigstens 1 + n von den 2n Fällen.

Gilt nämlich S1, als das Anfangsglied besagter Entwickelung, oder:
C1 C2 … Cn
selbst, so werden, wie oben ausgeführt, sämtliche Faktoren S in 180)
schon gleich i sein, und fällt jegliche Anforderung an u ohnehin fort.

Gilt ferner (für α = 1, 2, ‥ n):
Sα + 1 oder C1 C2 … Cα — 1 C1α Cα + 1 … Cn
d. h. ist nur einer der Faktoren Cϰ mit Negationsstrich versehen er-
füllt, die übrigen ohne solchen, so wird im Ausdrucke von S nur durch
den einen Faktor Cα + Dα, welcher sich auf 0 + Dα, = Dα reduzirt,
eine Anforderung an u gestellt, die nämlich, dass rα u + sα u1 ≠ 0
werde, und diese ist ohne weiteres erfüllbar, sintemal laut P ja
rα + sα ≠ 0 war, sonach von den beiden Termen rα und sα höchstens
einer verschwinden konnte. Und braucht man, um dies einzusehen
nur von dem (von einem) nicht verschwindenden dieser beiden Terme
in Gedanken ein Individuum zu dem als Faktor zu ihm hinzutretenden
Gebiete u resp. u1 zu schlagen; so wird das Produkt denn in der
That auch mindestens dieses Individuum enthalten, und ≠ 0 sein.
Auch rechnerisch zeigt die Annahme:
u = r s1 v1 + (r + s1) v
dass wirklich stets
r u + s u1 = r + s somit ≠ 0
hier gemacht werden kann (für die obern Indices α oder — genauer —
α1, von r und s).

Die eben erledigten Fälle entsprachen den Kombinationen zur
h = 0ten und zur h = 1ten Klasse (der negirten Symbole Cϰ).

Für h = 2, wo also zwei Faktoren Cϰ in 190) mit Negations-
strich versehen auftreten, wird ein Fall vorliegen, welcher sich seinem
Schema nach mit der, unsrer allgemeinen Betrachtung als einfachstes

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[388/0412] Dreiundzwanzigste Vorlesung. S jedenfalls durch ein u erfüllbar sein; auch musste, wenn S gilt, K gelten, d. h. K ist die gesuchte Klausel. Den Zusatz des Faktors Kλ oder (Sλ  Kλ) zum Gliede Sλ im Ausdruck dieses K wird man natürlich sparen in allen den Fällen, wo sich Kλ als = i, das ist als ohnehin erfüllt herausstellt, wo nämlich im Falle Sλ keine weitere Anforderung, als etwa die: 0 = 0, an die Parameter von S zu stellen ist und resultirt. Es kommt demnach nur mehr auf die Ermittelung jener „Partial- klauseln“ Kλ an. Diese werden wirklich = i in wenigstens 1 + n von den 2n Fällen. Gilt nämlich S1, als das Anfangsglied besagter Entwickelung, oder: C1 C2 … Cn selbst, so werden, wie oben ausgeführt, sämtliche Faktoren S in 180) schon gleich i sein, und fällt jegliche Anforderung an u ohnehin fort. Gilt ferner (für α = 1, 2, ‥ n): Sα + 1 oder C1 C2 … Cα — 1 C1α Cα + 1 … Cn d. h. ist nur einer der Faktoren Cϰ mit Negationsstrich versehen er- füllt, die übrigen ohne solchen, so wird im Ausdrucke von S nur durch den einen Faktor Cα + Dα, welcher sich auf 0 + Dα, = Dα reduzirt, eine Anforderung an u gestellt, die nämlich, dass rα u + sα u1 ≠ 0 werde, und diese ist ohne weiteres erfüllbar, sintemal laut P ja rα + sα ≠ 0 war, sonach von den beiden Termen rα und sα höchstens einer verschwinden konnte. Und braucht man, um dies einzusehen nur von dem (von einem) nicht verschwindenden dieser beiden Terme in Gedanken ein Individuum zu dem als Faktor zu ihm hinzutretenden Gebiete u resp. u1 zu schlagen; so wird das Produkt denn in der That auch mindestens dieses Individuum enthalten, und ≠ 0 sein. Auch rechnerisch zeigt die Annahme: u = r s1 v1 + (r + s1) v dass wirklich stets r u + s u1 = r + s somit ≠ 0 hier gemacht werden kann (für die obern Indices α oder — genauer — α1, von r und s). Die eben erledigten Fälle entsprachen den Kombinationen zur h = 0ten und zur h = 1ten Klasse (der negirten Symbole Cϰ). Für h = 2, wo also zwei Faktoren Cϰ in 190) mit Negations- strich versehen auftreten, wird ein Fall vorliegen, welcher sich seinem Schema nach mit der, unsrer allgemeinen Betrachtung als einfachstes

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 388. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/412>, abgerufen am 23.11.2024.