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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Dreiundzwanzigste Vorlesung.
gleichsam nur für ein niedrigeres n in Anspruch zu nehmen sein, wo-
bei aber eine solche Bezeichnungsweise der Terme vorliegt, dass die
Indices k der in Betracht kommenden nicht mehr eine reine Sequenz,
sondern eine solche nur mit Auslassungen bilden.

Wird der allgemeine Faktor von 270) in rk u 0) + (sk u1 0)
zerlegt, so zerfällt das Produkt durch Ausmultipliziren in die Alter-
native von Termen:
280) [Formel 1] (ra1 u 0) (ra2 u 0) ... (rah u 0) · (sb1 u1 0) ... (sbn -- h u1 0)
wo die Summe sich zu erstrecken hat über die sämtlichen Wertsysteme
a1, a2, .. ah welche als Kombinationen zur hten Klasse (für h = 0, 1 .. n)
aus der Sequenz 1, 2, 3, .. n hervorhebbar sind, und b1, b2, ... bn -- h
allemal die zugehörige Kombination n -- hter Klasse vorzustellen hat,
welche die n -- h übrigen Terme jener Sequenz vorstellen werden.

Es braucht hier nur das allgemeine Glied dieser Summe auf seine
Konsequenzen einschliesslich der zugehörigen Klausel untersucht zu
werden. Das heisst, wenn wir noch n -- h = k kürzer nennen, wo
dann h + k = n sein wird, so ist typisch für die allein noch zu er-
ledigende Klasse von Problemen: die Aufgabe, zu ermitteln, welche
Bedingung für die Parameter:
290) r1, r2, .. rn
s1, s2, .. sn
des Problems erforderlich und hinreichend ist, damit es ein Gebiet u
gebe, welches die Forderung erfüllt:
300) (r1 u 0) (r2 u 0) ... (rh u 0) · (sh + 1 u1 0) ... (sh + k u1 0).

Notwendig oder erforderlich, unerlässlich ist die Bedingung:
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da (rku 0) (rk 0) und (sl u1 0) (sl 0) --
welche Bedingung als die unter P mitzugelassene Möglichkeit anzu-
sehen ist, in welcher die aufzusuchende Klausel in Betracht kommen
wird. Diese Bedingung wird aber eventuell eben noch weiter zu ver-
klausuliren sein damit sie auch eine hinreichende werde.

Nichts weiter wird ihr hinzuzufügen sein, wenn von den in 280)
zusammengefassten Forderungen der zweierlei Arten rk u 0 und
sk u1 0, welche wir durch den Punkt getrennt haben, die eine Art
unvertreten ist, d. h. also für h = 0 (wo k = n), resp. für k = 0 (wo

Dreiundzwanzigste Vorlesung.
gleichsam nur für ein niedrigeres n in Anspruch zu nehmen sein, wo-
bei aber eine solche Bezeichnungsweise der Terme vorliegt, dass die
Indices ϰ der in Betracht kommenden nicht mehr eine reine Sequenz,
sondern eine solche nur mit Auslassungen bilden.

Wird der allgemeine Faktor von 270) in rϰ u ≠ 0) + (sϰ u1 ≠ 0)
zerlegt, so zerfällt das Produkt durch Ausmultipliziren in die Alter-
native von Termen:
280) [Formel 1] (rα1 u ≠ 0) (rα2 u ≠ 0) … (rαh u ≠ 0) · (sβ1 u1 ≠ 0) … (sβn — h u1 ≠ 0)
wo die Summe sich zu erstrecken hat über die sämtlichen Wertsysteme
α1, α2, ‥ αh welche als Kombinationen zur hten Klasse (für h = 0, 1 ‥ n)
aus der Sequenz 1, 2, 3, ‥ n hervorhebbar sind, und β1, β2, … βn — h
allemal die zugehörige Kombination n — hter Klasse vorzustellen hat,
welche die n — h übrigen Terme jener Sequenz vorstellen werden.

Es braucht hier nur das allgemeine Glied dieser Summe auf seine
Konsequenzen einschliesslich der zugehörigen Klausel untersucht zu
werden. Das heisst, wenn wir noch n — h = k kürzer nennen, wo
dann h + k = n sein wird, so ist typisch für die allein noch zu er-
ledigende Klasse von Problemen: die Aufgabe, zu ermitteln, welche
Bedingung für die Parameter:
290) r1, r2, ‥ rn
s1, s2, ‥ sn
des Problems erforderlich und hinreichend ist, damit es ein Gebiet u
gebe, welches die Forderung erfüllt:
300) (r1 u ≠ 0) (r2 u ≠ 0) … (rh u ≠ 0) · (sh + 1 u1 ≠ 0) … (sh + k u1 ≠ 0).

Notwendig oder erforderlich, unerlässlich ist die Bedingung:
310) (r1 ≠ 0) (r2 ≠ 0) ‥ (rh ≠ 0) · (sh + 1 ≠ 0) ‥ (sn ≠ 0),
da (rϰu ≠ 0) ⊆ (rϰ ≠ 0) und (sλ u1 ≠ 0) ⊆ (sλ ≠ 0) —
welche Bedingung als die unter P mitzugelassene Möglichkeit anzu-
sehen ist, in welcher die aufzusuchende Klausel in Betracht kommen
wird. Diese Bedingung wird aber eventuell eben noch weiter zu ver-
klausuliren sein damit sie auch eine hinreichende werde.

Nichts weiter wird ihr hinzuzufügen sein, wenn von den in 280)
zusammengefassten Forderungen der zweierlei Arten rϰ u ≠ 0 und
sϰ u1 ≠ 0, welche wir durch den Punkt getrennt haben, die eine Art
unvertreten ist, d. h. also für h = 0 (wo k = n), resp. für k = 0 (wo

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[390/0414] Dreiundzwanzigste Vorlesung. gleichsam nur für ein niedrigeres n in Anspruch zu nehmen sein, wo- bei aber eine solche Bezeichnungsweise der Terme vorliegt, dass die Indices ϰ der in Betracht kommenden nicht mehr eine reine Sequenz, sondern eine solche nur mit Auslassungen bilden. Wird der allgemeine Faktor von 270) in rϰ u ≠ 0) + (sϰ u1 ≠ 0) zerlegt, so zerfällt das Produkt durch Ausmultipliziren in die Alter- native von Termen: 280) [FORMEL] (rα1 u ≠ 0) (rα2 u ≠ 0) … (rαh u ≠ 0) · (sβ1 u1 ≠ 0) … (sβn — h u1 ≠ 0) wo die Summe sich zu erstrecken hat über die sämtlichen Wertsysteme α1, α2, ‥ αh welche als Kombinationen zur hten Klasse (für h = 0, 1 ‥ n) aus der Sequenz 1, 2, 3, ‥ n hervorhebbar sind, und β1, β2, … βn — h allemal die zugehörige Kombination n — hter Klasse vorzustellen hat, welche die n — h übrigen Terme jener Sequenz vorstellen werden. Es braucht hier nur das allgemeine Glied dieser Summe auf seine Konsequenzen einschliesslich der zugehörigen Klausel untersucht zu werden. Das heisst, wenn wir noch n — h = k kürzer nennen, wo dann h + k = n sein wird, so ist typisch für die allein noch zu er- ledigende Klasse von Problemen: die Aufgabe, zu ermitteln, welche Bedingung für die Parameter: 290) r1, r2, ‥ rn s1, s2, ‥ sn des Problems erforderlich und hinreichend ist, damit es ein Gebiet u gebe, welches die Forderung erfüllt: 300) (r1 u ≠ 0) (r2 u ≠ 0) … (rh u ≠ 0) · (sh + 1 u1 ≠ 0) … (sh + k u1 ≠ 0). Notwendig oder erforderlich, unerlässlich ist die Bedingung: 310) (r1 ≠ 0) (r2 ≠ 0) ‥ (rh ≠ 0) · (sh + 1 ≠ 0) ‥ (sn ≠ 0), da (rϰu ≠ 0)  (rϰ ≠ 0) und (sλ u1 ≠ 0)  (sλ ≠ 0) — welche Bedingung als die unter P mitzugelassene Möglichkeit anzu- sehen ist, in welcher die aufzusuchende Klausel in Betracht kommen wird. Diese Bedingung wird aber eventuell eben noch weiter zu ver- klausuliren sein damit sie auch eine hinreichende werde. Nichts weiter wird ihr hinzuzufügen sein, wenn von den in 280) zusammengefassten Forderungen der zweierlei Arten rϰ u ≠ 0 und sϰ u1 ≠ 0, welche wir durch den Punkt getrennt haben, die eine Art unvertreten ist, d. h. also für h = 0 (wo k = n), resp. für k = 0 (wo

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 390. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/414>, abgerufen am 23.11.2024.