Anmelden (DTAQ)

DWDS dlexDB CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

Bild:

<< vorherige Seite

nächste Seite >>

Kempe's Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.

"Law III". (a b · c) (a = b) (a = b = c),
oder (a a · b) (a = b)
"Law IV". (a = b) [Formel 1] (a c · b) (b c · a),
oder kürzer (a b · a) = 1,
-- wozu zu bemerken ist, dass in den beiden letzten Gesetzen das
Subsumtionszeichen als ein auch umgekehrt gültiges in ein Gleichheits-
zeichen verwandelt werden dürfte.

i) Das erste Gesetz versichert, dass bei gleichzeitigem Bestehen
der beiden linearen Triaden a p · b und c p · d es immer ein Element q
geben wird derart, dass auch a d · q und b c · q als lineare Triaden be-
stehen.

Der Beweis dieses Gesetzes könnte geleistet werden, indem wir
unter der Voraussetzung, welche ausführlich geschrieben lautet:
(a p b1 + a1 p1 b = 0) (c p d1 + c1 p1 d = 0)
oder wegen Th. 24+)
(a b1 + c d1) p + (a1 b + c1 d) p1 = 0,
ein Element q angäben, welches auch die Behauptung
(a d q1 + a1 d1 q = 0) (b c q1 + b1 c1 q = 0)
oder
(a1 d1 + b1 c1) q + (a d + b c) q1 = 0
nachweislich erfüllt.

Ein solches gibt Herr Kempe an in der Gestalt:
q = (a d + b c) u + (a + d) (b + c) u1,
worin u ein arbiträres Element vorstellt, und macht die Probe mittelst Ein-
setzung des Wertes von q in die Thesis unter Berücksichtigung der Relation
zwischen a, b, c, d, welche aus der Hypothesis durch Elimination von p fließt.
Dieses Element q ist aber nichts anderes, als die regelrechte Auflösung der
behaupteten Gleichung nach eben dieser Unbekannten, und erfüllt diese
Gleichung also sicher, wofern letztere nur überhaupt auflösbar ist. Wir
können darum Kempe's Rechnung hier sparen und brauchen blos das
Bestehen dieser Auflösbarkeit, unserer "Valenzbedingung" für q, auf Grund
der Prämisse nachzusehen.

Am besten beschränkt man sich darauf, zu zeigen, wie die Prä-
missengleichung die Existenz einer Wurzel q der behaupteten Gleichung
garantirt, das heisst: zu zeigen, dass die Resultante der Elimination von
p aus jener nachsichzieht die Resultante der Elimination von q aus
dieser. Da aber in der That Gleichheit der beiden Resultanten-Polynome:
(a b1 + c d1) (a1 b + c1 d) = (a1 d1 + b1 c1) (a d + b c)

Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.

„Law III“. (a b · c) (a = b) (a = b = c),
oder (a a · b) (a = b)
„Law IV“. (a = b) [Formel 1] (a c · b) (b c · a),
oder kürzer (a b · a) = 1̇,
— wozu zu bemerken ist, dass in den beiden letzten Gesetzen das
Subsumtionszeichen als ein auch umgekehrt gültiges in ein Gleichheits-
zeichen verwandelt werden dürfte.

ι) Das erste Gesetz versichert, dass bei gleichzeitigem Bestehen
der beiden linearen Triaden a p · b und c p · d es immer ein Element q
geben wird derart, dass auch a d · q und b c · q als lineare Triaden be-
stehen.

Ein solches gibt Herr Kempe an in der Gestalt:
q = (a d + b c) u + (a + d) (b + c) u1,
worin u ein arbiträres Element vorstellt, und macht die Probe mittelst Ein-
setzung des Wertes von q in die Thesis unter Berücksichtigung der Relation
zwischen a, b, c, d, welche aus der Hypothesis durch Elimination von p fließt.
Dieses Element q ist aber nichts anderes, als die regelrechte Auflösung der
behaupteten Gleichung nach eben dieser Unbekannten, und erfüllt diese
Gleichung also sicher, wofern letztere nur überhaupt auflösbar ist. Wir
können darum Kempe’s Rechnung hier sparen und brauchen blos das
Bestehen dieser Auflösbarkeit, unserer „Valenzbedingung“ für q, auf Grund
der Prämisse nachzusehen.

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <p><pb facs="#f0213" n="569"/><fw place="top" type="header">Kempe&#x2019;s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.</fw><lb/>
&#x201E;Law III&#x201C;. <hi rendition="#et">(<hi rendition="#i">a b</hi> · <hi rendition="#i">c</hi>) (<hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">b</hi>) <g ref="subeq"/> (<hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">b</hi> = <hi rendition="#i">c</hi>),<lb/>
oder (<hi rendition="#i">a a</hi> · <hi rendition="#i">b</hi>) <g ref="subeq"/> (<hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">b</hi>)</hi><lb/>
&#x201E;Law IV&#x201C;. <hi rendition="#et">(<hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">b</hi>) <g ref="subeq"/> <formula/> (<hi rendition="#i">a c</hi> · <hi rendition="#i">b</hi>) (<hi rendition="#i">b c</hi> · <hi rendition="#i">a</hi>),<lb/>
oder kürzer (<hi rendition="#i">a b</hi> · <hi rendition="#i">a</hi>) = 1&#x0307;,</hi><lb/>
&#x2014; wozu zu bemerken ist, dass in den beiden letzten Gesetzen das<lb/>
Subsumtionszeichen als ein auch umgekehrt gültiges in ein Gleichheits-<lb/>
zeichen verwandelt werden dürfte.</p><lb/>
          <p><hi rendition="#i">&#x03B9;</hi>) Das erste Gesetz versichert, dass bei gleichzeitigem Bestehen<lb/>
der beiden linearen Triaden <hi rendition="#i">a p</hi> · <hi rendition="#i">b</hi> und <hi rendition="#i">c p</hi> · <hi rendition="#i">d</hi> es immer ein Element <hi rendition="#i">q</hi><lb/>
geben wird derart, dass auch <hi rendition="#i">a d</hi> · <hi rendition="#i">q und b c</hi> · <hi rendition="#i">q</hi> als lineare Triaden be-<lb/>
stehen.</p><lb/>
          <p>Der <hi rendition="#g">Beweis</hi> dieses Gesetzes könnte geleistet werden, indem wir<lb/>
unter der Voraussetzung, welche ausführlich geschrieben lautet:<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">a p b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi> = 0) (<hi rendition="#i">c p d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">d</hi> = 0)</hi><lb/>
oder wegen Th. 24<hi rendition="#sub">+</hi>)<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c d</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">p</hi> + (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">d</hi>) <hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0,</hi><lb/>
ein Element <hi rendition="#i">q</hi> angäben, welches auch die Behauptung<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">a d q</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">q</hi> = 0) (<hi rendition="#i">b c q</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">q</hi> = 0)</hi><lb/>
oder<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">q</hi> + (<hi rendition="#i">a d</hi> + <hi rendition="#i">b c</hi>) <hi rendition="#i">q</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0</hi><lb/>
nachweislich erfüllt.</p><lb/>
          <p>Ein solches gibt Herr <hi rendition="#g">Kempe</hi> an in der Gestalt:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">q</hi> = (<hi rendition="#i">a d</hi> + <hi rendition="#i">b c</hi>) <hi rendition="#i">u</hi> + (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">d</hi>) (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi>) <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi>,</hi><lb/>
worin <hi rendition="#i">u</hi> ein arbiträres Element vorstellt, und macht die Probe mittelst Ein-<lb/>
setzung des Wertes von <hi rendition="#i">q</hi> in die Thesis unter Berücksichtigung der Relation<lb/>
zwischen <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">c</hi>, <hi rendition="#i">d</hi>, welche aus der Hypothesis durch Elimination von <hi rendition="#i">p</hi> fließt.<lb/>
Dieses Element <hi rendition="#i">q</hi> ist aber nichts anderes, als die regelrechte Auflösung der<lb/>
behaupteten Gleichung nach eben dieser Unbekannten, und erfüllt diese<lb/>
Gleichung also sicher, wofern letztere nur überhaupt auflösbar ist. Wir<lb/>
können darum <hi rendition="#g">Kempe&#x2019;</hi>s Rechnung hier sparen und brauchen blos das<lb/>
Bestehen dieser Auflösbarkeit, unserer &#x201E;Valenzbedingung&#x201C; für <hi rendition="#i">q</hi>, auf Grund<lb/>
der Prämisse nachzusehen.</p><lb/>
          <p>Am besten beschränkt man sich darauf, zu zeigen, wie die Prä-<lb/>
missengleichung die Existenz einer Wurzel <hi rendition="#i">q</hi> der behaupteten Gleichung<lb/>
garantirt, das heisst: zu zeigen, dass die Resultante der Elimination von<lb/><hi rendition="#i">p</hi> aus jener nachsichzieht die Resultante der Elimination von <hi rendition="#i">q</hi> aus<lb/>
dieser. Da aber in der That Gleichheit der beiden Resultanten-Polynome:<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c d</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">d</hi>) = (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) (<hi rendition="#i">a d</hi> + <hi rendition="#i">b c</hi>)</hi><lb/></p>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>

[569/0213] Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage. „Law III“. (a b · c) (a = b) (a = b = c), oder (a a · b) (a = b) „Law IV“. (a = b) [FORMEL] (a c · b) (b c · a), oder kürzer (a b · a) = 1̇, — wozu zu bemerken ist, dass in den beiden letzten Gesetzen das Subsumtionszeichen als ein auch umgekehrt gültiges in ein Gleichheits- zeichen verwandelt werden dürfte. ι) Das erste Gesetz versichert, dass bei gleichzeitigem Bestehen der beiden linearen Triaden a p · b und c p · d es immer ein Element q geben wird derart, dass auch a d · q und b c · q als lineare Triaden be- stehen. Der Beweis dieses Gesetzes könnte geleistet werden, indem wir unter der Voraussetzung, welche ausführlich geschrieben lautet: (a p b1 + a1 p1 b = 0) (c p d1 + c1 p1 d = 0) oder wegen Th. 24+) (a b1 + c d1) p + (a1 b + c1 d) p1 = 0, ein Element q angäben, welches auch die Behauptung (a d q1 + a1 d1 q = 0) (b c q1 + b1 c1 q = 0) oder (a1 d1 + b1 c1) q + (a d + b c) q1 = 0 nachweislich erfüllt. Ein solches gibt Herr Kempe an in der Gestalt: q = (a d + b c) u + (a + d) (b + c) u1, worin u ein arbiträres Element vorstellt, und macht die Probe mittelst Ein- setzung des Wertes von q in die Thesis unter Berücksichtigung der Relation zwischen a, b, c, d, welche aus der Hypothesis durch Elimination von p fließt. Dieses Element q ist aber nichts anderes, als die regelrechte Auflösung der behaupteten Gleichung nach eben dieser Unbekannten, und erfüllt diese Gleichung also sicher, wofern letztere nur überhaupt auflösbar ist. Wir können darum Kempe’s Rechnung hier sparen und brauchen blos das Bestehen dieser Auflösbarkeit, unserer „Valenzbedingung“ für q, auf Grund der Prämisse nachzusehen. Am besten beschränkt man sich darauf, zu zeigen, wie die Prä- missengleichung die Existenz einer Wurzel q der behaupteten Gleichung garantirt, das heisst: zu zeigen, dass die Resultante der Elimination von p aus jener nachsichzieht die Resultante der Elimination von q aus dieser. Da aber in der That Gleichheit der beiden Resultanten-Polynome: (a b1 + c d1) (a1 b + c1 d) = (a1 d1 + b1 c1) (a d + b c)

Suche im Werk

Informationen zum Werk

Titeldaten
Verfügbarkeit Text (TEI-XML-, HTML-, TCF-, E-Book-Fassung): CC BY-SA 4.0.
Nutzungsbedingungen

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ^?

Language Resource Switchboard^?

Resource/URL übermitteln

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.

Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk:	https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905
URL zu dieser Seite:	https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/213
Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 569. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/213>, abgerufen am 23.11.2024.

Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer Creative-Commons-Lizenz. Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken. Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.

Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden. Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des § 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.

2007–2024 Deutsches Textarchiv, Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften. Kontakt: redaktion(at)deutschestextarchiv.de.

Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.