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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 6. Dualisiren und Konjugiren.
Relative höchstens Moduln in dem Ausdrucke vorkommen -- und dies ist
praktisch weitaus der häufigste Fall.

Im Gegensatz aber zum Konjugiren, welches die Natur der Knüp-
fungszeichen und die Klammerstellung nicht weiter berührte als in-
dem sie deren Reihenfolge in die entgegengesetzte verwandelte, wird
nun bei der Herstellung des dualen Gegenstücks zu einem Ausdrucke
sorgfältigst Bedacht zu nehmen sein auf korrekten Ansatz der Klammern.

Das zu dem Ende einzuhaltende Verfahren wird man sehr leicht im
Hinblick auf die Konventionen des § 5 sich aneignen und einüben, doch
ist es nicht ganz einfach zu beschreiben.

Man muss sich eben in dem gegebnen Ausdrucke sämtliche Klammern
-- auch die Ersparniss halber daselbst unterdrückten -- ausdrücklich ange-
setzt denken, muss die fehlenden mental suppliren oder im Geiste herbei-
schaffen. Blos innerhalb solcher Ausdruckteile, die wie
a · b · c ... (oder abc ..), wie a + b + c ..,
a ; b ; c ; .., a j b j c j ..
mittelst einer und derselben knüpfenden Spezies aufgebaut erscheinen, darf
letztres -- der Assoziationsgesetze halber -- unterbleiben. Unerlässlich
ist es aber überall da, wo verschiedene knüpfende Spezies konkurriren,
verschiedne Knüpfungszeichen (durch Buchstaben oder Ausdruckteile ge-
trennt) aufeinander folgen.

Nach vollzogener Umwandlung der Knüpfungszeichen muss man alsdann
die sich nach § 5 als entbehrlich zu erkennen gebenden von all den Klam-
mern wieder fort lassen.

Es werden entbehrlich gerade diejenigen Klammern, die im gegebnen
Ausdrucke ausdrücklich angesetzt waren und dort nicht unterdrückt werden
durften. Diese also wird man beim Dualisiren weglassen. Und umge-
kehrt: diejenigen Klammern, die im gegebnen Ausdrucke fehlten, werden
im allgemeinen in dessen dualem Gegenstücke ausdrücklich zu setzen sein
-- abgesehn nämlich von obenerwähnten Fällen der Assoziativität und
noch einigen andern Fällen, wie a · b ; c -- wozu, auch wieder ohne Klam-
mern, a + b j c das duale Gegenstück sein wird -- deren vollständige Auf-
zählung indessen kaum verlohnen dürfte.

Es versteht sich, dass beim Dualisiren sowol als beim Konjugiren die
Reihenfolge der beiden Teilprozesse auch als die umgekehrte hätte genom-
men, der zweite Prozess als erster hätte angesetzt werden können.

Darin, dass beim Dualisiren die Reihenfolge der Terme ungeändert
gelassen wird, und beim Konjugiren die Natur der Knüpfungszeichen, liegt
die Rechtfertigung der obigen Angabe, dass die dualen zu zwei konjugirten
Formeln (resp. Ausdrücken) ebenfalls einander konjugirt sein müssen, gleich-
wie die konjugirten zu zwei einander dual entprechenden Formeln (resp.
Ausdrücken) auch ihrerseits werden zu einander dual sein müssen. Die
beiden Prozesse "stören sich gegenseitig nicht".

Es muss auch einerlei sein, in welcher Ordnung etwa diese beiden ein-

§ 6. Dualisiren und Konjugiren.
Relative höchstens Moduln in dem Ausdrucke vorkommen — und dies ist
praktisch weitaus der häufigste Fall.

Im Gegensatz aber zum Konjugiren, welches die Natur der Knüp-
fungszeichen und die Klammerstellung nicht weiter berührte als in-
dem sie deren Reihenfolge in die entgegengesetzte verwandelte, wird
nun bei der Herstellung des dualen Gegenstücks zu einem Ausdrucke
sorgfältigst Bedacht zu nehmen sein auf korrekten Ansatz der Klammern.

Das zu dem Ende einzuhaltende Verfahren wird man sehr leicht im
Hinblick auf die Konventionen des § 5 sich aneignen und einüben, doch
ist es nicht ganz einfach zu beschreiben.

Man muss sich eben in dem gegebnen Ausdrucke sämtliche Klammern
— auch die Ersparniss halber daselbst unterdrückten — ausdrücklich ange-
setzt denken, muss die fehlenden mental suppliren oder im Geiste herbei-
schaffen. Blos innerhalb solcher Ausdruckteile, die wie
a · b · c … (oder abc ‥), wie a + b + c ‥,
a ; b ; c ; ‥, a ɟ b ɟ c ɟ ‥
mittelst einer und derselben knüpfenden Spezies aufgebaut erscheinen, darf
letztres — der Assoziationsgesetze halber — unterbleiben. Unerlässlich
ist es aber überall da, wo verschiedene knüpfende Spezies konkurriren,
verschiedne Knüpfungszeichen (durch Buchstaben oder Ausdruckteile ge-
trennt) aufeinander folgen.

Nach vollzogener Umwandlung der Knüpfungszeichen muss man alsdann
die sich nach § 5 als entbehrlich zu erkennen gebenden von all den Klam-
mern wieder fort lassen.

Es werden entbehrlich gerade diejenigen Klammern, die im gegebnen
Ausdrucke ausdrücklich angesetzt waren und dort nicht unterdrückt werden
durften. Diese also wird man beim Dualisiren weglassen. Und umge-
kehrt: diejenigen Klammern, die im gegebnen Ausdrucke fehlten, werden
im allgemeinen in dessen dualem Gegenstücke ausdrücklich zu setzen sein
— abgesehn nämlich von obenerwähnten Fällen der Assoziativität und
noch einigen andern Fällen, wie a · b ; c — wozu, auch wieder ohne Klam-
mern, a + b ɟ c das duale Gegenstück sein wird — deren vollständige Auf-
zählung indessen kaum verlohnen dürfte.

Es versteht sich, dass beim Dualisiren sowol als beim Konjugiren die
Reihenfolge der beiden Teilprozesse auch als die umgekehrte hätte genom-
men, der zweite Prozess als erster hätte angesetzt werden können.

Darin, dass beim Dualisiren die Reihenfolge der Terme ungeändert
gelassen wird, und beim Konjugiren die Natur der Knüpfungszeichen, liegt
die Rechtfertigung der obigen Angabe, dass die dualen zu zwei konjugirten
Formeln (resp. Ausdrücken) ebenfalls einander konjugirt sein müssen, gleich-
wie die konjugirten zu zwei einander dual entprechenden Formeln (resp.
Ausdrücken) auch ihrerseits werden zu einander dual sein müssen. Die
beiden Prozesse „stören sich gegenseitig nicht“.

Es muss auch einerlei sein, in welcher Ordnung etwa diese beiden ein-

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[93/0107] § 6. Dualisiren und Konjugiren. Relative höchstens Moduln in dem Ausdrucke vorkommen — und dies ist praktisch weitaus der häufigste Fall. Im Gegensatz aber zum Konjugiren, welches die Natur der Knüp- fungszeichen und die Klammerstellung nicht weiter berührte als in- dem sie deren Reihenfolge in die entgegengesetzte verwandelte, wird nun bei der Herstellung des dualen Gegenstücks zu einem Ausdrucke sorgfältigst Bedacht zu nehmen sein auf korrekten Ansatz der Klammern. Das zu dem Ende einzuhaltende Verfahren wird man sehr leicht im Hinblick auf die Konventionen des § 5 sich aneignen und einüben, doch ist es nicht ganz einfach zu beschreiben. Man muss sich eben in dem gegebnen Ausdrucke sämtliche Klammern — auch die Ersparniss halber daselbst unterdrückten — ausdrücklich ange- setzt denken, muss die fehlenden mental suppliren oder im Geiste herbei- schaffen. Blos innerhalb solcher Ausdruckteile, die wie a · b · c … (oder abc ‥), wie a + b + c ‥, a ; b ; c ; ‥, a ɟ b ɟ c ɟ ‥ mittelst einer und derselben knüpfenden Spezies aufgebaut erscheinen, darf letztres — der Assoziationsgesetze halber — unterbleiben. Unerlässlich ist es aber überall da, wo verschiedene knüpfende Spezies konkurriren, verschiedne Knüpfungszeichen (durch Buchstaben oder Ausdruckteile ge- trennt) aufeinander folgen. Nach vollzogener Umwandlung der Knüpfungszeichen muss man alsdann die sich nach § 5 als entbehrlich zu erkennen gebenden von all den Klam- mern wieder fort lassen. Es werden entbehrlich gerade diejenigen Klammern, die im gegebnen Ausdrucke ausdrücklich angesetzt waren und dort nicht unterdrückt werden durften. Diese also wird man beim Dualisiren weglassen. Und umge- kehrt: diejenigen Klammern, die im gegebnen Ausdrucke fehlten, werden im allgemeinen in dessen dualem Gegenstücke ausdrücklich zu setzen sein — abgesehn nämlich von obenerwähnten Fällen der Assoziativität und noch einigen andern Fällen, wie a · b ; c — wozu, auch wieder ohne Klam- mern, a + b ɟ c das duale Gegenstück sein wird — deren vollständige Auf- zählung indessen kaum verlohnen dürfte. Es versteht sich, dass beim Dualisiren sowol als beim Konjugiren die Reihenfolge der beiden Teilprozesse auch als die umgekehrte hätte genom- men, der zweite Prozess als erster hätte angesetzt werden können. Darin, dass beim Dualisiren die Reihenfolge der Terme ungeändert gelassen wird, und beim Konjugiren die Natur der Knüpfungszeichen, liegt die Rechtfertigung der obigen Angabe, dass die dualen zu zwei konjugirten Formeln (resp. Ausdrücken) ebenfalls einander konjugirt sein müssen, gleich- wie die konjugirten zu zwei einander dual entprechenden Formeln (resp. Ausdrücken) auch ihrerseits werden zu einander dual sein müssen. Die beiden Prozesse „stören sich gegenseitig nicht“. Es muss auch einerlei sein, in welcher Ordnung etwa diese beiden ein-

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 93. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/107>, abgerufen am 27.11.2024.