Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Der Ausdruck "Gruppe" wird schon anderweitig und ohnehin in nur
zu oft wechselndem Sinne gebraucht.

Ursprünglich setzt sich das "Dualisiren" aus folgenden beiden
Prozessen zusammen, mit deren Zulässigkeit das Verfahren auch ge-
rechtfertigt erscheint. (Erster Prozess:) Man ersetze alle in der Formel
vorkommenden Buchstaben, welche allgemeine Relative vorstellen, durch
deren Negate für welche ja die Formel ebensogut gelten muss wie für
die ursprünglichen Relative.

Hernach wende man (zweiter Prozess) das gemäss 13) und E) er-
laubte Verfahren des beiderseitigen Negirens, der Kontraposition an, was
nach den Schemata 13) bei einer Subsumtion oder Subsumtionsnega-
tion die Umkehrung von deren Beziehungszeichen, wo nicht eine Ver-
tauschung von Minor und Major involvirt, bei einer Gleichung solche
Vertauschung ihrer beiden Seiten zwar nicht peremtorisch fordert aber
wenigstens zulässt. Durch diesen zweiten Prozess wird nach den Sche-
mata 9) und 10) die Reihenfolge der Operationsglieder oder Terme
nicht alterirt.

Es werden ferner wegen 8) die vorhin über die Buchstaben ein-
geführten Negationstriche wieder aufgehoben und bleibt als Nutzeffekt
nur der: dass die knüpfenden Operationen einer nämlichen Hauptstufe
sich durch einander ersetzen -- während jedes in der Formel vorge-
kommene spezielle Relativ sich in sein Negat verwandelt.

Um die Restitution, Wiederherstellung der ursprünglichen Buchstaben
zufolge des Sich-Aufhebens der doppelten Verneinung genauer einzusehen,
hat man noch zu überlegen:

Kam ein a, an, a, an in der Formel vor, so wird es durch den ersten
Prozess in
an, ann = a, an, ann = a
verwandelt, darnach aber durch den zweiten Prozess in
ann = a, an, ann = ann = a, an = an,
d. h. man erhält die alten Symbole wieder.

Nur bei Symbolen für spezielle Relative -- wie Moduln z. B. --, auf
welche der erste Prozess nicht angewandt werden durfte, ansonst die For-
mel ihrer erwiesenen Gültigkeit verlustig ging, nur bei diesen tritt der
zweite Prozess ungeschwächt in Wirksamkeit und verhilft ihnen zu einem
Negationsstriche.

Bei Moduln -- wird sich im § 8 zeigen -- kann auch diese Nega-
tion sogleich "ausgeführt" werden indem sie blos Vertauschung von 0 und 1,
sowie von 0' und 1', mithin der beiden Moduln einer Hauptstufe, bewirkt.

Indem man also daneben blos die Zeichen · und + sowie ; und j event.
auch P und S vertauscht, wird sich die Operation des Dualisirens eines
Ausdruckes auch mit einem Schlage ausführen lassen, soferne als spezielle

Der Ausdruck „Gruppe“ wird schon anderweitig und ohnehin in nur
zu oft wechselndem Sinne gebraucht.

Ursprünglich setzt sich das „Dualisiren“ aus folgenden beiden
Prozessen zusammen, mit deren Zulässigkeit das Verfahren auch ge-
rechtfertigt erscheint. (Erster Prozess:) Man ersetze alle in der Formel
vorkommenden Buchstaben, welche allgemeine Relative vorstellen, durch
deren Negate für welche ja die Formel ebensogut gelten muss wie für
die ursprünglichen Relative.

Hernach wende man (zweiter Prozess) das gemäss 13) und E) er-
laubte Verfahren des beiderseitigen Negirens, der Kontraposition an, was
nach den Schemata 13) bei einer Subsumtion oder Subsumtionsnega-
tion die Umkehrung von deren Beziehungszeichen, wo nicht eine Ver-
tauschung von Minor und Major involvirt, bei einer Gleichung solche
Vertauschung ihrer beiden Seiten zwar nicht peremtorisch fordert aber
wenigstens zulässt. Durch diesen zweiten Prozess wird nach den Sche-
mata 9) und 10) die Reihenfolge der Operationsglieder oder Terme
nicht alterirt.

Es werden ferner wegen 8) die vorhin über die Buchstaben ein-
geführten Negationstriche wieder aufgehoben und bleibt als Nutzeffekt
nur der: dass die knüpfenden Operationen einer nämlichen Hauptstufe
sich durch einander ersetzen — während jedes in der Formel vorge-
kommene spezielle Relativ sich in sein Negat verwandelt.

Um die Restitution, Wiederherstellung der ursprünglichen Buchstaben
zufolge des Sich-Aufhebens der doppelten Verneinung genauer einzusehen,
hat man noch zu überlegen:

Kam ein a, ā, ă, ā̆ in der Formel vor, so wird es durch den ersten
Prozess in
ā, ā̄ = a, ā̆, ā̄̆ = ă
verwandelt, darnach aber durch den zweiten Prozess in
ā̄ = a, ā, ā̆̄ = ā̄̆ = ă, ă̄ = ā̆,
d. h. man erhält die alten Symbole wieder.

Nur bei Symbolen für spezielle Relative — wie Moduln z. B. —, auf
welche der erste Prozess nicht angewandt werden durfte, ansonst die For-
mel ihrer erwiesenen Gültigkeit verlustig ging, nur bei diesen tritt der
zweite Prozess ungeschwächt in Wirksamkeit und verhilft ihnen zu einem
Negationsstriche.

Bei Moduln — wird sich im § 8 zeigen — kann auch diese Nega-
tion sogleich „ausgeführt“ werden indem sie blos Vertauschung von 0 und 1,
sowie von 0' und 1', mithin der beiden Moduln einer Hauptstufe, bewirkt.

Indem man also daneben blos die Zeichen · und + sowie ; und ɟ event.
auch Π und Σ vertauscht, wird sich die Operation des Dualisirens eines
Ausdruckes auch mit einem Schlage ausführen lassen, soferne als spezielle