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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Dritte Vorlesung.

mittelbaren Beweise vorzieht, ist die Reihenfolge, in der man die
Beweise durchnimmt, gleichgültig.

Falls jedoch eine Formel sich ohne Zurückgehen auf die Relativ-
koeffizienten aus andern auf diesem Wege schon bewiesenen Formeln
und Sätzen ableiten lässt, so werden wir solch "mittelbaren" (mediate)
Beweis*) fast immer vorziehen -- uns bestrebend, die Technik der
Algebra der Relative selbst zur Entwickelung zu bringen und zur Gel-
tung, zu ihrem Rechte kommen zu lassen. In solchen Fällen ver-
bleibt die Führung des "unmittelbaren" Beweises dem Leser als eine
jederzeit empfehlenswerte Übungsaufgabe.

Beweis von 1) des § 6. Prämisse, Hypothesis (der sekundären
Formel) ist L = (a b)(c d). Nach (14) haben wir:
(a b) = Pi j(ai j bi j) (ai j bi j), ebenso (c d) (ci j di j),
woraus nach bekannten Schemata des Aussagenkalkuls (für jedes ij) folgt:
ai jci jbi jdi j und ai j + ci j bi j + di j,
oder wegen (10):
(ac)i j (bd)i j und (a + c)i j (b + d)i j.

Denkt man sich vor diese in Klammer { } zu stellenden Konklu-
sionen das Zeichen Pi j gesetzt und wendet das Schema (14) rückwärts
an, so erscheinen die beiden ersten Teil-Behauptungen: ac bd und
a + c b + d der Behauptung, Thesis R von 1) erwiesen.

Ganz ebenso haben wir aber**) nach (14) auch:
(a b) = Pi h(ai h bi h) (ai h bi h)
und
(c d) = Ph j(ch j dh j) (ch j dh j),
woraus im Vereine zu schliessen ist:
ai hch jbi hdh j nebst ai h + ch j bi h + dh j
nicht nur, sondern auch:
Shai hch jShbi hdh j nebst Ph(ai h + ch j) Ph(bi h + dh j),
das heisst wegen (12):
(a ; c)i j (b ; d)i j, (a j c)i j (b j d)i j.

*) "Indirekt" darf aus bekannten Gründen hier nicht gesagt werden.

**) Weil es in unser Belieben gestellt, gleichgültig ist, welchen Namen wir
für den laufenden Zeiger (die Summations- oder Produktationsvariable) wählen.
Mit andern Worten: es dürfen die vorhin für jedes Suffix ij gezognen Folge-
rungen ai j bi j, ci j di j auch für Suffixe in Anspruch genommen werden, die
man etwa ih und hj zu nennen beliebt, die man irgendwie anders zu nennen
vorzieht.

Dritte Vorlesung.

mittelbaren Beweise vorzieht, ist die Reihenfolge, in der man die
Beweise durchnimmt, gleichgültig.

Falls jedoch eine Formel sich ohne Zurückgehen auf die Relativ-
koeffizienten aus andern auf diesem Wege schon bewiesenen Formeln
und Sätzen ableiten lässt, so werden wir solch „mittelbaren“ (mediate)
Beweis*) fast immer vorziehen — uns bestrebend, die Technik der
Algebra der Relative selbst zur Entwickelung zu bringen und zur Gel-
tung, zu ihrem Rechte kommen zu lassen. In solchen Fällen ver-
bleibt die Führung des „unmittelbaren“ Beweises dem Leser als eine
jederzeit empfehlenswerte Übungsaufgabe.

Beweis von 1) des § 6. Prämisse, Hypothesis (der sekundären
Formel) ist L = (a ⋹ b)(c ⋹ d). Nach (14) haben wir:
(a ⋹ b) = Πi j(ai j ⋹ bi j) ⋹ (ai j ⋹ bi j), ebenso (c ⋹ d) ⋹ (ci j ⋹ di j),
woraus nach bekannten Schemata des Aussagenkalkuls (für jedes ij) folgt:
ai jci j⋹bi jdi j und ai j + ci j ⋹ bi j + di j,
oder wegen (10):
(ac)i j ⋹ (bd)i j und (a + c)i j ⋹ (b + d)i j.

Denkt man sich vor diese in Klammer { } zu stellenden Konklu-
sionen das Zeichen Πi j gesetzt und wendet das Schema (14) rückwärts
an, so erscheinen die beiden ersten Teil-Behauptungen: ac ⋹ bd und
a + c ⋹ b + d der Behauptung, Thesis R von 1) erwiesen.

Ganz ebenso haben wir aber**) nach (14) auch:
(a ⋹ b) = Πi h(ai h ⋹ bi h) ⋹ (ai h ⋹ bi h)
und
(c ⋹ d) = Πh j(ch j ⋹ dh j) ⋹ (ch j ⋹ dh j),
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*) „Indirekt“ darf aus bekannten Gründen hier nicht gesagt werden.

**) Weil es in unser Belieben gestellt, gleichgültig ist, welchen Namen wir
für den laufenden Zeiger (die Summations- oder Produktationsvariable) wählen.
Mit andern Worten: es dürfen die vorhin für jedes Suffix ij gezognen Folge-
rungen ai j ⋹ bi j, ci j ⋹ di j auch für Suffixe in Anspruch genommen werden, die
man etwa ih und hj zu nennen beliebt, die man irgendwie anders zu nennen
vorzieht.

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[102/0116] Dritte Vorlesung. mittelbaren Beweise vorzieht, ist die Reihenfolge, in der man die Beweise durchnimmt, gleichgültig. Falls jedoch eine Formel sich ohne Zurückgehen auf die Relativ- koeffizienten aus andern auf diesem Wege schon bewiesenen Formeln und Sätzen ableiten lässt, so werden wir solch „mittelbaren“ (mediate) Beweis *) fast immer vorziehen — uns bestrebend, die Technik der Algebra der Relative selbst zur Entwickelung zu bringen und zur Gel- tung, zu ihrem Rechte kommen zu lassen. In solchen Fällen ver- bleibt die Führung des „unmittelbaren“ Beweises dem Leser als eine jederzeit empfehlenswerte Übungsaufgabe. Beweis von 1) des § 6. Prämisse, Hypothesis (der sekundären Formel) ist L = (a ⋹ b)(c ⋹ d). Nach (14) haben wir: (a ⋹ b) = Πi j(ai j ⋹ bi j) ⋹ (ai j ⋹ bi j), ebenso (c ⋹ d) ⋹ (ci j ⋹ di j), woraus nach bekannten Schemata des Aussagenkalkuls (für jedes ij) folgt: ai jci j⋹bi jdi j und ai j + ci j ⋹ bi j + di j, oder wegen (10): (ac)i j ⋹ (bd)i j und (a + c)i j ⋹ (b + d)i j. Denkt man sich vor diese in Klammer { } zu stellenden Konklu- sionen das Zeichen Πi j gesetzt und wendet das Schema (14) rückwärts an, so erscheinen die beiden ersten Teil-Behauptungen: ac ⋹ bd und a + c ⋹ b + d der Behauptung, Thesis R von 1) erwiesen. Ganz ebenso haben wir aber **) nach (14) auch: (a ⋹ b) = Πi h(ai h ⋹ bi h) ⋹ (ai h ⋹ bi h) und (c ⋹ d) = Πh j(ch j ⋹ dh j) ⋹ (ch j ⋹ dh j), woraus im Vereine zu schliessen ist: ai hch j⋹bi hdh j nebst ai h + ch j ⋹ bi h + dh j nicht nur, sondern auch: Σhai hch j⋹Σhbi hdh j nebst Πh(ai h + ch j) ⋹ Πh(bi h + dh j), das heisst wegen (12): (a ; c)i j ⋹ (b ; d)i j, (a ɟ c)i j ⋹ (b ɟ d)i j. *) „Indirekt“ darf aus bekannten Gründen hier nicht gesagt werden. **) Weil es in unser Belieben gestellt, gleichgültig ist, welchen Namen wir für den laufenden Zeiger (die Summations- oder Produktationsvariable) wählen. Mit andern Worten: es dürfen die vorhin für jedes Suffix ij gezognen Folge- rungen ai j ⋹ bi j, ci j ⋹ di j auch für Suffixe in Anspruch genommen werden, die man etwa ih und hj zu nennen beliebt, die man irgendwie anders zu nennen vorzieht.

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 102. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/116>, abgerufen am 27.11.2024.

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