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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 7. Beweis des Distributionsgesetzes.

Diese Folgerungen sind wiederum allgemein, für irgend ein Suffix ij
gezogen. Man kann sie auch für jedes Suffix ij in Anspruch nehmen,
was durch Voranschreiben des Zeichens Pi j vor diese alsdann in { } zu
setzenden Konklusionen anzudeuten wäre. Alsdann ist im Hinblick auf
(14) gerechtfertigt, dass
a ; c b ; d, a j c b j d
ist, und haben wir somit die Behauptung von 1):
R = (ac bd)(a + c b + d)(a ; c b ; d)(a j c b j d)
mit allen ihren Teil-Behauptungen erwiesen, q. e. d.

Von den Beweisen der schon dem identischen Kalkul angehörigen
Sätze wollen wir als vornehmstes Paradigma jetzt den

Beweis des Distributionsgesetzes a(b + c) = ab + ac -- siehe unter
2) des § 6 -- geben. Nach den beiden Festsetzungen (10) ist einerseits
{a(b + c)}i j = ai j(b + c)i j = ai j(bi j + ci j)
und andrerseits:
(ab + ac)i j = (ab)i j + (ac)i j = ai jbi j + ai jci j.

Für Relativkoeffizienten, die -- wie Aussagen -- nur der beiden
Werte 1 und 0 fähig sind, steht aber die Gültigkeit des Distributions-
gesetzes kraft des Abacus längst fest, d. h. wir haben:
ai j(bi j + ci j) = ai jbi j + ai jci j,
und somit ist auch erkannt dass:
{a(b + c)}i j = (ab + ac)i j
für ein beliebiges Suffix ij ist. Da diese Konklusion für jedes Suffix ij
in Anspruch genommen werden darf, was auch durch Umhüllen,
Hineinsetzen ihrer Aussage zwischen die Zeichen Pi j[, und], aus-
gedrückt werden könnte, so folgt nunmehr nach dem Korollar zu
(14), dass
a(b + c) = ab + ac
sein muss, was zu beweisen gewesen.

Wenn hiernach nicht blos die erste Subsumtion desselben, sondern
sogleich das volle Distributionsgesetz sich hat beweisen lassen, so wird der
einsichtsvolle Leser doch sofort erkennen, dass dies unserm früher (Bd. 1)
vermittelst des "Gruppenkalkuls" geführten "Beweise seiner Unbeweisbar-
keit" keinen Eintrag thut. Die formalen Grundlagen, aus welchen der
Beweis zu führen war, sind eben hier und dort (ganz) andere gewesen.

Was die formalen Grundlagen des Bd. 1 betrifft, denen nur unsre
Festsetzung (1) auch als Def. (1) der Gleichheit angehörte, so mussten

§ 7. Beweis des Distributionsgesetzes.

Diese Folgerungen sind wiederum allgemein, für irgend ein Suffix ij
gezogen. Man kann sie auch für jedes Suffix ij in Anspruch nehmen,
was durch Voranschreiben des Zeichens Πi j vor diese alsdann in { } zu
setzenden Konklusionen anzudeuten wäre. Alsdann ist im Hinblick auf
(14) gerechtfertigt, dass
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ist, und haben wir somit die Behauptung von 1):
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mit allen ihren Teil-Behauptungen erwiesen, q. e. d.

Von den Beweisen der schon dem identischen Kalkul angehörigen
Sätze wollen wir als vornehmstes Paradigma jetzt den

Beweis des Distributionsgesetzes a(b + c) = ab + ac — siehe unter
2) des § 6 — geben. Nach den beiden Festsetzungen (10) ist einerseits
{a(b + c)}i j = ai j(b + c)i j = ai j(bi j + ci j)
und andrerseits:
(ab + ac)i j = (ab)i j + (ac)i j = ai jbi j + ai jci j.

Für Relativkoeffizienten, die — wie Aussagen — nur der beiden
Werte 1 und 0 fähig sind, steht aber die Gültigkeit des Distributions-
gesetzes kraft des Abacus längst fest, d. h. wir haben:
ai j(bi j + ci j) = ai jbi j + ai jci j,
und somit ist auch erkannt dass:
{a(b + c)}i j = (ab + ac)i j
für ein beliebiges Suffix ij ist. Da diese Konklusion für jedes Suffix ij
in Anspruch genommen werden darf, was auch durch Umhüllen,
Hineinsetzen ihrer Aussage zwischen die Zeichen Πi j[, und], aus-
gedrückt werden könnte, so folgt nunmehr nach dem Korollar zu
(14), dass
a(b + c) = ab + ac
sein muss, was zu beweisen gewesen.

Wenn hiernach nicht blos die erste Subsumtion desselben, sondern
sogleich das volle Distributionsgesetz sich hat beweisen lassen, so wird der
einsichtsvolle Leser doch sofort erkennen, dass dies unserm früher (Bd. 1)
vermittelst des „Gruppenkalkuls“ geführten „Beweise seiner Unbeweisbar-
keit“ keinen Eintrag thut. Die formalen Grundlagen, aus welchen der
Beweis zu führen war, sind eben hier und dort (ganz) andere gewesen.

Was die formalen Grundlagen des Bd. 1 betrifft, denen nur unsre
Festsetzung (1) auch als Def. (1) der Gleichheit angehörte, so mussten

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[103/0117] § 7. Beweis des Distributionsgesetzes. Diese Folgerungen sind wiederum allgemein, für irgend ein Suffix ij gezogen. Man kann sie auch für jedes Suffix ij in Anspruch nehmen, was durch Voranschreiben des Zeichens Πi j vor diese alsdann in { } zu setzenden Konklusionen anzudeuten wäre. Alsdann ist im Hinblick auf (14) gerechtfertigt, dass a ; c ⋹ b ; d, a ɟ c ⋹ b ɟ d ist, und haben wir somit die Behauptung von 1): R = (ac ⋹ bd)(a + c ⋹ b + d)(a ; c ⋹ b ; d)(a ɟ c ⋹ b ɟ d) mit allen ihren Teil-Behauptungen erwiesen, q. e. d. Von den Beweisen der schon dem identischen Kalkul angehörigen Sätze wollen wir als vornehmstes Paradigma jetzt den Beweis des Distributionsgesetzes a(b + c) = ab + ac — siehe unter 2) des § 6 — geben. Nach den beiden Festsetzungen (10) ist einerseits {a(b + c)}i j = ai j(b + c)i j = ai j(bi j + ci j) und andrerseits: (ab + ac)i j = (ab)i j + (ac)i j = ai jbi j + ai jci j. Für Relativkoeffizienten, die — wie Aussagen — nur der beiden Werte 1 und 0 fähig sind, steht aber die Gültigkeit des Distributions- gesetzes kraft des Abacus längst fest, d. h. wir haben: ai j(bi j + ci j) = ai jbi j + ai jci j, und somit ist auch erkannt dass: {a(b + c)}i j = (ab + ac)i j für ein beliebiges Suffix ij ist. Da diese Konklusion für jedes Suffix ij in Anspruch genommen werden darf, was auch durch Umhüllen, Hineinsetzen ihrer Aussage zwischen die Zeichen Πi j[, und], aus- gedrückt werden könnte, so folgt nunmehr nach dem Korollar zu (14), dass a(b + c) = ab + ac sein muss, was zu beweisen gewesen. Wenn hiernach nicht blos die erste Subsumtion desselben, sondern sogleich das volle Distributionsgesetz sich hat beweisen lassen, so wird der einsichtsvolle Leser doch sofort erkennen, dass dies unserm früher (Bd. 1) vermittelst des „Gruppenkalkuls“ geführten „Beweise seiner Unbeweisbar- keit“ keinen Eintrag thut. Die formalen Grundlagen, aus welchen der Beweis zu führen war, sind eben hier und dort (ganz) andere gewesen. Was die formalen Grundlagen des Bd. 1 betrifft, denen nur unsre Festsetzung (1) auch als Def. (1) der Gleichheit angehörte, so mussten

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 103. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/117>, abgerufen am 27.11.2024.