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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Dritte Vorlesung.

wir dort neben zwei "Prinzipien" I und II auch noch zu einem "Prinzip" III
unsre Zuflucht nehmen, welches als ein partikularer Fall in dem vollen
Distributionsgesetze enthalten war. Von diesem letzteren Prinzip ist zunächst
zu betonen, dass es mit Vorstehendem nun ebenfalls aus den Festsetzungen
des § 3 "bewiesen" ist.

Nimmt man jetzt noch die nach dem Abacus identisch geltenden For-
meln oder Schemata des Aussagenkalkuls:
[Formel 1] ,

0i j ai j

ai j 1i j,

(ci j ai jbi j) = (ci j ai j)(ci j bi j)

(ai j + bi j ci j) = (ai j ci j)(bi j ci j)

1i j ai j + ani j

ai jani j 0i j

-- bei deren zweitem und letztem Paare noch Festsetzung (6) mit anzu-
rufen war -- für jedes Suffix ij in Anspruch, indem man bei den drei
sekundären von ihnen aussagenrechnerisch die verschiedenen Individuali-
sirungen in denen sich die Formel für alle Suffixe verkörpert, überschiebend
multiplizirt, so erhält man kraft Festsetzung (14) dieselben Schemata oder
Formeln als für die binären Relative a, b, c selbst gültige -- wir brauchen
sie so nicht herzusetzen, weil sie sich aus den vorstehenden Schemata leicht
ablesen lassen, indem man die Suffixe durchgängig weglässt.

Damit sind dann auch die "Prinzipien" I und II des Bd. 1 nebst den
dortigen Definitionen (2), (3) und (6) -- kurz: die gesamten formalen Grund-
lagen, aus welchen wir seinerzeit den identischen Kalkul entwickelten, streng
deduktiv ableiteten, nunmehr aus unsern Festsetzungen des § 3 "bewiesen".
Fortan dürfen wir also auch den identischen Kalkul selbst, mit einem jeden
seiner Sätze, für unsre binären Relative legitim in Anspruch nehmen.

Ohne mich der geringsten Lücke schuldig zu machen, kann ich darum
den Beweis jedes einzelnen Satzes, den wir aus dem identischen Kalkul
hier benötigen werden, getrost dem Leser überlassen. Nur darauf muss
ich hervorhebend hinweisen, dass für jeden Satz in der That auch solch
ein selbständiger unmittelbarer Beweis leicht zu führen ist, welcher indessen
ganz anders aussieht, sich so sehr verschieden gestaltet von den in Bd. 1
für denselben Satz gelieferten Beweisen. Die letzteren werden hier als
"mittelbare" zu bezeichnen sein.

Nachdem wir so den "Anschluss" unsrer Theorie an die der vorher-
gehenden Bände gewonnen haben, wenden wir uns blos noch dem Beweise
derjenigen Formeln zu, die auf die relativen Spezies mit Bezug haben oder
der zweiten Hauptstufe angehören.

Zu dem Quadrupel der Formeln 4) des § 6 gebe ich erstmals alle
vier verwandten Beweise. Sie lauten:
{a ; (b + c)}i j = Shai h(b + c)h j = Shai h(bh j + ch j) = Sh(ai hbh j + ai hch j) =
= Shai hbh j + Shai hch j = (a ; b)i j + (a ; c)i j = (a ; b + a ; c)i j
und zwar -- den vorstehenden Gleichheitszeichen der Reihe nach ent-
sprechend -- nach (12), (10), dem Distributionsgesetz für Koeffizienten,
wegen der distributiven Kraft des Summenzeichens (die aus der Umstell-

Dritte Vorlesung.

wir dort neben zwei „Prinzipien“ I und II auch noch zu einem „Prinzip“ III
unsre Zuflucht nehmen, welches als ein partikularer Fall in dem vollen
Distributionsgesetze enthalten war. Von diesem letzteren Prinzip ist zunächst
zu betonen, dass es mit Vorstehendem nun ebenfalls aus den Festsetzungen
des § 3 „bewiesen“ ist.

Nimmt man jetzt noch die nach dem Abacus identisch geltenden For-
meln oder Schemata des Aussagenkalkuls:
[Formel 1] ,

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(ci j ⋹ ai jbi j) = (ci j ⋹ ai j)(ci j ⋹ bi j)

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— bei deren zweitem und letztem Paare noch Festsetzung (6) mit anzu-
rufen war — für jedes Suffix ij in Anspruch, indem man bei den drei
sekundären von ihnen aussagenrechnerisch die verschiedenen Individuali-
sirungen in denen sich die Formel für alle Suffixe verkörpert, überschiebend
multiplizirt, so erhält man kraft Festsetzung (14) dieselben Schemata oder
Formeln als für die binären Relative a, b, c selbst gültige — wir brauchen
sie so nicht herzusetzen, weil sie sich aus den vorstehenden Schemata leicht
ablesen lassen, indem man die Suffixe durchgängig weglässt.

Damit sind dann auch die „Prinzipien“ I und II des Bd. 1 nebst den
dortigen Definitionen (2), (3) und (6) — kurz: die gesamten formalen Grund-
lagen, aus welchen wir seinerzeit den identischen Kalkul entwickelten, streng
deduktiv ableiteten, nunmehr aus unsern Festsetzungen des § 3 „bewiesen“.
Fortan dürfen wir also auch den identischen Kalkul selbst, mit einem jeden
seiner Sätze, für unsre binären Relative legitim in Anspruch nehmen.

Nachdem wir so den „Anschluss“ unsrer Theorie an die der vorher-
gehenden Bände gewonnen haben, wenden wir uns blos noch dem Beweise
derjenigen Formeln zu, die auf die relativen Spezies mit Bezug haben oder
der zweiten Hauptstufe angehören.

Zu dem Quadrupel der Formeln 4) des § 6 gebe ich erstmals alle
vier verwandten Beweise. Sie lauten:
{a ; (b + c)}i j = Σhai h(b + c)h j = Σhai h(bh j + ch j) = Σh(ai hbh j + ai hch j) =
= Σhai hbh j + Σhai hch j = (a ; b)i j + (a ; c)i j = (a ; b + a ; c)i j
und zwar — den vorstehenden Gleichheitszeichen der Reihe nach ent-
sprechend — nach (12), (10), dem Distributionsgesetz für Koeffizienten,
wegen der distributiven Kraft des Summenzeichens (die aus der Umstell-

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[104/0118] Dritte Vorlesung. wir dort neben zwei „Prinzipien“ I und II auch noch zu einem „Prinzip“ III unsre Zuflucht nehmen, welches als ein partikularer Fall in dem vollen Distributionsgesetze enthalten war. Von diesem letzteren Prinzip ist zunächst zu betonen, dass es mit Vorstehendem nun ebenfalls aus den Festsetzungen des § 3 „bewiesen“ ist. Nimmt man jetzt noch die nach dem Abacus identisch geltenden For- meln oder Schemata des Aussagenkalkuls: [FORMEL], 0i j ⋹ ai j ai j⋹ 1i j, (ci j ⋹ ai jbi j) = (ci j ⋹ ai j)(ci j ⋹ bi j) (ai j + bi j ⋹ ci j) = (ai j ⋹ ci j)(bi j ⋹ ci j) 1i j ⋹ ai j + āi j ai jāi j⋹ 0i j — bei deren zweitem und letztem Paare noch Festsetzung (6) mit anzu- rufen war — für jedes Suffix ij in Anspruch, indem man bei den drei sekundären von ihnen aussagenrechnerisch die verschiedenen Individuali- sirungen in denen sich die Formel für alle Suffixe verkörpert, überschiebend multiplizirt, so erhält man kraft Festsetzung (14) dieselben Schemata oder Formeln als für die binären Relative a, b, c selbst gültige — wir brauchen sie so nicht herzusetzen, weil sie sich aus den vorstehenden Schemata leicht ablesen lassen, indem man die Suffixe durchgängig weglässt. Damit sind dann auch die „Prinzipien“ I und II des Bd. 1 nebst den dortigen Definitionen (2), (3) und (6) — kurz: die gesamten formalen Grund- lagen, aus welchen wir seinerzeit den identischen Kalkul entwickelten, streng deduktiv ableiteten, nunmehr aus unsern Festsetzungen des § 3 „bewiesen“. Fortan dürfen wir also auch den identischen Kalkul selbst, mit einem jeden seiner Sätze, für unsre binären Relative legitim in Anspruch nehmen. Ohne mich der geringsten Lücke schuldig zu machen, kann ich darum den Beweis jedes einzelnen Satzes, den wir aus dem identischen Kalkul hier benötigen werden, getrost dem Leser überlassen. Nur darauf muss ich hervorhebend hinweisen, dass für jeden Satz in der That auch solch ein selbständiger unmittelbarer Beweis leicht zu führen ist, welcher indessen ganz anders aussieht, sich so sehr verschieden gestaltet von den in Bd. 1 für denselben Satz gelieferten Beweisen. Die letzteren werden hier als „mittelbare“ zu bezeichnen sein. Nachdem wir so den „Anschluss“ unsrer Theorie an die der vorher- gehenden Bände gewonnen haben, wenden wir uns blos noch dem Beweise derjenigen Formeln zu, die auf die relativen Spezies mit Bezug haben oder der zweiten Hauptstufe angehören. Zu dem Quadrupel der Formeln 4) des § 6 gebe ich erstmals alle vier verwandten Beweise. Sie lauten: {a ; (b + c)}i j = Σhai h(b + c)h j = Σhai h(bh j + ch j) = Σh(ai hbh j + ai hch j) = = Σhai hbh j + Σhai hch j = (a ; b)i j + (a ; c)i j = (a ; b + a ; c)i j und zwar — den vorstehenden Gleichheitszeichen der Reihe nach ent- sprechend — nach (12), (10), dem Distributionsgesetz für Koeffizienten, wegen der distributiven Kraft des Summenzeichens (die aus der Umstell-

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 104. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/118>, abgerufen am 18.05.2024.

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