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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 7. Beweis der Grundgesetze.

barkeit der Glieder einer Aussagensumme bei kolonnenweisem Summiren
der in Zeilen gesetzten Glieder hervorgeht) und wiederum nach (12) und
(10) in rückwärtiger Anwendung dieser (oben vorwärts angewendeten) Fest-
setzungen, q. e. d.

Analog hat man:
{(a + b) ; c}i j = Sh(a + b)i hch j = Sh(ai h + bi h)ch j = Sh(ai hch j + bi hch j),
(a ; c + b ; c)i j = (a ; c)i j + (b ; c)i j = Shai hch j + Shbi hch j;
aber die rechten Seiten sind gleich, und folglich auch die linken, q. e. d.
Ferner:
(a j bc)i j = Ph{ai h + (bc)h j} = Ph(ai h + bh jch j) = Ph(ai h + bh j)(ai h + ch j),
{(a j b)(a j c)}i j = (a j b)i j(a j c)i j = Ph(ai h + bh j) · Ph(ai h + ch j),
wo wieder die beiden Ausdrücke rechts und folglich auch die links über-
einstimmen, q. e. d. Endlich:
(ab j c)i j = Ph{(ab)i h + ch j} = Ph(ai hbi h + ch j) = Ph(ai h + ch j)(bi h + ch j) =
= Ph(ai h + ch j) · Ph(bi h + ch j) = (a j c)i j(b j c)i j = {(a j c)(b j c)}i j,
q. e. d.

Beweis zu 5) des § 6. Erste Formel.

Es ist
Li j = (a ; bc)i j = Shai h(bc)h j = Shai hbh jch j = Shai hbh j · ai hch j,
Ri j = (a ; b · a ; c)i j = (a ; b)i j(a ; c)i j = Shai hbh j · Skai kck j.

Offenbar ist nun Li j Ri j, weil unter den Gliedern des expandirten
Produktes der beiden letzten Summen die Glieder der darüberstehenden
Summe sämtlich enthalten sind -- nämlich als die Partialprodukte aus
deren gleichstelligen Gliedern, jedoch neben noch vielen andern Gliedern,
womit die Subsumtion erwiesen ist -- q. e. d.

Zur zweiten Formel hätten wir:
Li j = (a j b + a j c)i j = (a j b)i j + (a j c)i j = Ph(ai h + bh j) + Pk(ai k + ck j) =
= Ph k(ai h + bh j + ai k + ck j),
letztres nach dem dualen Gegenstück des Distributionsgesetzes. Dazu:
Ri j = {a j (b + c)}i j = Ph{ai h + (b + c)h j} = Ph(ai h + bh j + ch j) =
= Ph(ai h + bh j + ai h + ch j)
unter Anwendung des Tautologiegesetzes. Die Vergleichung beider Ergeb-
nisse zeigt, dass alle Faktoren von Ri j sich unter denen von Li j vorfinden,
wo sie bei k = h zutage treten. Nach dem Aussagenschema ab a ist
nun das faktorenreichere Produkt im andern enthalten, d. h. Li j Ri j, q. e. d.

Übrigens bedarf man zum Beweise dieses Satzes der Berufung auf
die Koeffizientenevidenz gar nicht. Wegen bc b hat man vielmehr
nach 1) des § 6: a ; bc a ; b, und wegen bc c ähnlich: a ; bc a ; c,

§ 7. Beweis der Grundgesetze.

Analog hat man:
{(a + b) ; c}i j = Σh(a + b)i hch j = Σh(ai h + bi h)ch j = Σh(ai hch j + bi hch j),
(a ; c + b ; c)i j = (a ; c)i j + (b ; c)i j = Σhai hch j + Σhbi hch j;
aber die rechten Seiten sind gleich, und folglich auch die linken, q. e. d.
Ferner:
(a ɟ bc)i j = Πh{ai h + (bc)h j} = Πh(ai h + bh jch j) = Πh(ai h + bh j)(ai h + ch j),
{(a ɟ b)(a ɟ c)}i j = (a ɟ b)i j(a ɟ c)i j = Πh(ai h + bh j) · Πh(ai h + ch j),
wo wieder die beiden Ausdrücke rechts und folglich auch die links über-
einstimmen, q. e. d. Endlich:
(ab ɟ c)i j = Πh{(ab)i h + ch j} = Πh(ai hbi h + ch j) = Πh(ai h + ch j)(bi h + ch j) =
= Πh(ai h + ch j) · Πh(bi h + ch j) = (a ɟ c)i j(b ɟ c)i j = {(a ɟ c)(b ɟ c)}i j,
q. e. d.

Beweis zu 5) des § 6. Erste Formel.

Es ist
Li j = (a ; bc)i j = Σhai h(bc)h j = Σhai hbh jch j = Σhai hbh j · ai hch j,
Ri j = (a ; b · a ; c)i j = (a ; b)i j(a ; c)i j = Σhai hbh j · Σkai kck j.

Offenbar ist nun Li j ⋹ Ri j, weil unter den Gliedern des expandirten
Produktes der beiden letzten Summen die Glieder der darüberstehenden
Summe sämtlich enthalten sind — nämlich als die Partialprodukte aus
deren gleichstelligen Gliedern, jedoch neben noch vielen andern Gliedern,
womit die Subsumtion erwiesen ist — q. e. d.

Zur zweiten Formel hätten wir:
Li j = (a ɟ b + a ɟ c)i j = (a ɟ b)i j + (a ɟ c)i j = Πh(ai h + bh j) + Πk(ai k + ck j) =
= Πh k(ai h + bh j + ai k + ck j),
letztres nach dem dualen Gegenstück des Distributionsgesetzes. Dazu:
Ri j = {a ɟ (b + c)}i j = Πh{ai h + (b + c)h j} = Πh(ai h + bh j + ch j) =
= Πh(ai h + bh j + ai h + ch j)
unter Anwendung des Tautologiegesetzes. Die Vergleichung beider Ergeb-
nisse zeigt, dass alle Faktoren von Ri j sich unter denen von Li j vorfinden,
wo sie bei k = h zutage treten. Nach dem Aussagenschema ab ⋹ a ist
nun das faktorenreichere Produkt im andern enthalten, d. h. Li j ⋹ Ri j, q. e. d.

Übrigens bedarf man zum Beweise dieses Satzes der Berufung auf
die Koeffizientenevidenz gar nicht. Wegen bc ⋹ b hat man vielmehr
nach 1) des § 6: a ; bc ⋹ a ; b, und wegen bc ⋹ c ähnlich: a ; bc ⋹ a ; c,

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[105/0119] § 7. Beweis der Grundgesetze. barkeit der Glieder einer Aussagensumme bei kolonnenweisem Summiren der in Zeilen gesetzten Glieder hervorgeht) und wiederum nach (12) und (10) in rückwärtiger Anwendung dieser (oben vorwärts angewendeten) Fest- setzungen, q. e. d. Analog hat man: {(a + b) ; c}i j = Σh(a + b)i hch j = Σh(ai h + bi h)ch j = Σh(ai hch j + bi hch j), (a ; c + b ; c)i j = (a ; c)i j + (b ; c)i j = Σhai hch j + Σhbi hch j; aber die rechten Seiten sind gleich, und folglich auch die linken, q. e. d. Ferner: (a ɟ bc)i j = Πh{ai h + (bc)h j} = Πh(ai h + bh jch j) = Πh(ai h + bh j)(ai h + ch j), {(a ɟ b)(a ɟ c)}i j = (a ɟ b)i j(a ɟ c)i j = Πh(ai h + bh j) · Πh(ai h + ch j), wo wieder die beiden Ausdrücke rechts und folglich auch die links über- einstimmen, q. e. d. Endlich: (ab ɟ c)i j = Πh{(ab)i h + ch j} = Πh(ai hbi h + ch j) = Πh(ai h + ch j)(bi h + ch j) = = Πh(ai h + ch j) · Πh(bi h + ch j) = (a ɟ c)i j(b ɟ c)i j = {(a ɟ c)(b ɟ c)}i j, q. e. d. Beweis zu 5) des § 6. Erste Formel. Es ist Li j = (a ; bc)i j = Σhai h(bc)h j = Σhai hbh jch j = Σhai hbh j · ai hch j, Ri j = (a ; b · a ; c)i j = (a ; b)i j(a ; c)i j = Σhai hbh j · Σkai kck j. Offenbar ist nun Li j ⋹ Ri j, weil unter den Gliedern des expandirten Produktes der beiden letzten Summen die Glieder der darüberstehenden Summe sämtlich enthalten sind — nämlich als die Partialprodukte aus deren gleichstelligen Gliedern, jedoch neben noch vielen andern Gliedern, womit die Subsumtion erwiesen ist — q. e. d. Zur zweiten Formel hätten wir: Li j = (a ɟ b + a ɟ c)i j = (a ɟ b)i j + (a ɟ c)i j = Πh(ai h + bh j) + Πk(ai k + ck j) = = Πh k(ai h + bh j + ai k + ck j), letztres nach dem dualen Gegenstück des Distributionsgesetzes. Dazu: Ri j = {a ɟ (b + c)}i j = Πh{ai h + (b + c)h j} = Πh(ai h + bh j + ch j) = = Πh(ai h + bh j + ai h + ch j) unter Anwendung des Tautologiegesetzes. Die Vergleichung beider Ergeb- nisse zeigt, dass alle Faktoren von Ri j sich unter denen von Li j vorfinden, wo sie bei k = h zutage treten. Nach dem Aussagenschema ab ⋹ a ist nun das faktorenreichere Produkt im andern enthalten, d. h. Li j ⋹ Ri j, q. e. d. Übrigens bedarf man zum Beweise dieses Satzes der Berufung auf die Koeffizientenevidenz gar nicht. Wegen bc ⋹ b hat man vielmehr nach 1) des § 6: a ; bc ⋹ a ; b, und wegen bc ⋹ c ähnlich: a ; bc ⋹ a ; c,

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 105. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/119>, abgerufen am 24.05.2024.

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