Anmelden (DTAQ)

DWDS dlexDB CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Bild:

<< vorherige Seite

nächste Seite >>

Dritte Vorlesung.

Beweise von 9) des § 6:
[Formel 1] ,
[Formel 2] nach den Festsetzungen und De Morgan's für Aussagen und Koeffizienten
bereits sicher gestellten Theoremen.

Beweise der Formeln 10) des § 6 -- ebenso:
[Formel 3] ,
[Formel 4] .

Beweise von 11) des § 6 -- S. 85:
(ab)i j = (ab)j i = aj ibj i = bj iaj i = bi jai j = (ba)i j,
(a + b)i j = (a + b)j i = aj i + bj i = bj i + aj i = bi j + ai j = (b + a)i j.

Beweise von 12) des § 6:
(a ; b)i j = (a ; b)j i = Shaj hbh i = Shbh iaj h = Shbi hah j = (b ; a)i j,
(a j b)i j = (a j b)j i = Ph(aj h + bh i) = Ph(bh i + aj h) = Ph(bi h + ah j) = (b j a)i j.

Behufs Beweises der Formeln 13) des § 6 -- S. 87 -- ist un-
mittelbar nur zu zeigen dass:
(a b) = (bn an) sowie (a b) = (a b)
ist. Ersteres folgt, weil wir die Kontraposition mit Aussagen- oder
Koeffizientensubsumtionen vorzunehmen bereits berechtigt sind, im Hin-
blick auf (14) leicht so:
(a b) = Pi j(ai j bi j) = Pi j[(bi j) (ai j)] = Pi j(bni j ani j) = (bn an).
Letzteres, weil Vertauschung der Produktzeiger gestattet ist, so:
(a b) = Pi j(ai j bi j) = Pj i(ai j bi j) = Pi j(aj i bj i) =
= Pi j(ai j bi j) = (a b).
Aus den beiden hiermit bewiesenen Sätzen folgt nun die letzte oder
dritte Formel 13):
(a b) = (bn an)
bequemer mittelbar durch deren "kombinirte" Anwendung -- das soll
hier heissen: durch deren successive Anwendung in irgend einer Folge.

Nachdem mit diesen Sätzen nunmehr die Prinzipien des Dualismus
und der Konjugation, die wir im vorigen Paragraphen auseinander-
gesetzt haben, vollends erhärtet sind, werden wir künftig von jedem
Quadrupel "verwandter" Formeln nur mehr eine einzige -- zumeist die

Dritte Vorlesung.

Beweise von 9) des § 6:
[Formel 1] ,
[Formel 2] nach den Festsetzungen und De Morgan’s für Aussagen und Koeffizienten
bereits sicher gestellten Theoremen.

Beweise der Formeln 10) des § 6 — ebenso:
[Formel 3] ,
[Formel 4] .

Beweise von 11) des § 6 — S. 85:
(ab͝)i j = (ab)j i = aj ibj i = bj iaj i = b̆i jăi j = (b̆ă)i j,
(a + b͝)i j = (a + b)j i = aj i + bj i = bj i + aj i = b̆i j + ăi j = (b̆ + ă)i j.

Beweise von 12) des § 6:
(a ; b͝)i j = (a ; b)j i = Σhaj hbh i = Σhbh iaj h = Σhb̆i hăh j = (b̆ ; ă)i j,
(a ɟ b͝)i j = (a ɟ b)j i = Πh(aj h + bh i) = Πh(bh i + aj h) = Πh(b̆i h + ăh j) = (b̆ ɟ ă)i j.

Behufs Beweises der Formeln 13) des § 6 — S. 87 — ist un-
mittelbar nur zu zeigen dass:
(a ⋹ b) = (b̄ ⋹ ā) sowie (a ⋹ b) = (ă ⋹ b̆)
ist. Ersteres folgt, weil wir die Kontraposition mit Aussagen- oder
Koeffizientensubsumtionen vorzunehmen bereits berechtigt sind, im Hin-
blick auf (14) leicht so:
(a ⋹ b) = Πi j(ai j ⋹ bi j) = Πi j[(bi j)͞ ⋹ (ai j)͞] = Πi j(b̄i j ⋹ āi j) = (b̄ ⋹ ā).
Letzteres, weil Vertauschung der Produktzeiger gestattet ist, so:
(a ⋹ b) = Πi j(ai j ⋹ bi j) = Πj i(ai j ⋹ bi j) = Πi j(aj i ⋹ bj i) =
= Πi j(ăi j ⋹ b̆i j) = (ă ⋹ b̆).
Aus den beiden hiermit bewiesenen Sätzen folgt nun die letzte oder
dritte Formel 13):
(a ⋹ b) = (b̄̆ ⋹ ā̆)
bequemer mittelbar durch deren „kombinirte“ Anwendung — das soll
hier heissen: durch deren successive Anwendung in irgend einer Folge.

Nachdem mit diesen Sätzen nunmehr die Prinzipien des Dualismus
und der Konjugation, die wir im vorigen Paragraphen auseinander-
gesetzt haben, vollends erhärtet sind, werden wir künftig von jedem
Quadrupel „verwandter“ Formeln nur mehr eine einzige — zumeist die

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <pb facs="#f0122" n="108"/>
          <fw place="top" type="header">Dritte Vorlesung.</fw><lb/>
          <p><hi rendition="#g">Beweise</hi> von 9) des § 6:<lb/><hi rendition="#et"><formula/>,<lb/><formula/></hi> nach den Festsetzungen und <hi rendition="#g">De Morgan&#x2019;</hi>s für Aussagen und Koeffizienten<lb/>
bereits sicher gestellten Theoremen.</p><lb/>
          <p><hi rendition="#g">Beweise</hi> der Formeln 10) des § 6 &#x2014; ebenso:<lb/><formula/>,<lb/><formula/>.</p><lb/>
          <p><hi rendition="#g">Beweise</hi> von 11) des § 6 &#x2014; S. 85:<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">ab&#x035D;</hi>)<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i j</hi></hi> = (<hi rendition="#i">ab</hi>)<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">j i</hi></hi> = <hi rendition="#i">a<hi rendition="#sub">j i</hi>b<hi rendition="#sub">j i</hi></hi> = <hi rendition="#i">b<hi rendition="#sub">j i</hi>a<hi rendition="#sub">j i</hi></hi> = <hi rendition="#i">b&#x0306;<hi rendition="#sub">i j</hi>a&#x0306;<hi rendition="#sub">i j</hi></hi> = (<hi rendition="#i">b&#x0306;a&#x0306;</hi>)<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i j</hi></hi>,<lb/>
(<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>&#x035D;)<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i j</hi></hi> = (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>)<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">j i</hi></hi> = <hi rendition="#i">a<hi rendition="#sub">j i</hi></hi> + <hi rendition="#i">b<hi rendition="#sub">j i</hi></hi> = <hi rendition="#i">b<hi rendition="#sub">j i</hi></hi> + <hi rendition="#i">a<hi rendition="#sub">j i</hi></hi> = <hi rendition="#i">b&#x0306;<hi rendition="#sub">i j</hi></hi> + <hi rendition="#i">a&#x0306;<hi rendition="#sub">i j</hi></hi> = (<hi rendition="#i">b&#x0306;</hi> + <hi rendition="#i">a&#x0306;</hi>)<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i j</hi></hi>.</hi></p><lb/>
          <p><hi rendition="#g">Beweise</hi> von 12) des § 6:<lb/>
(<hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi>&#x035D;)<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i j</hi></hi> = (<hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi>)<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">j i</hi></hi> = <hi rendition="#i">&#x03A3;<hi rendition="#sub">h</hi>a<hi rendition="#sub">j h</hi>b<hi rendition="#sub">h i</hi></hi> = <hi rendition="#i">&#x03A3;<hi rendition="#sub">h</hi>b<hi rendition="#sub">h i</hi>a<hi rendition="#sub">j h</hi></hi> = <hi rendition="#i">&#x03A3;<hi rendition="#sub">h</hi>b&#x0306;<hi rendition="#sub">i h</hi>a&#x0306;<hi rendition="#sub">h j</hi></hi> = (<hi rendition="#i">b&#x0306;</hi> ; <hi rendition="#i">a&#x0306;</hi>)<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i j</hi></hi>,<lb/>
(<hi rendition="#i">a</hi> &#x025F; <hi rendition="#i">b</hi>&#x035D;)<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i j</hi></hi> = (<hi rendition="#i">a</hi> &#x025F; <hi rendition="#i">b</hi>)<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">j i</hi></hi> = <hi rendition="#i">&#x03A0;<hi rendition="#sub">h</hi></hi>(<hi rendition="#i">a<hi rendition="#sub">j h</hi></hi> + <hi rendition="#i">b<hi rendition="#sub">h i</hi></hi>) = <hi rendition="#i">&#x03A0;<hi rendition="#sub">h</hi></hi>(<hi rendition="#i">b<hi rendition="#sub">h i</hi></hi> + <hi rendition="#i">a<hi rendition="#sub">j h</hi></hi>) = <hi rendition="#i">&#x03A0;<hi rendition="#sub">h</hi></hi>(<hi rendition="#i">b&#x0306;<hi rendition="#sub">i h</hi></hi> + <hi rendition="#i">a&#x0306;<hi rendition="#sub">h j</hi></hi>) = (<hi rendition="#i">b&#x0306;</hi> &#x025F; <hi rendition="#i">a&#x0306;</hi>)<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i j</hi></hi>.</p><lb/>
          <p>Behufs <hi rendition="#g">Beweises</hi> der Formeln 13) des § 6 &#x2014; S. 87 &#x2014; ist un-<lb/>
mittelbar nur zu zeigen dass:<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">a</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">b</hi>) = (<hi rendition="#i">b&#x0304;</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">a&#x0304;</hi>) sowie (<hi rendition="#i">a</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">b</hi>) = (<hi rendition="#i">a&#x0306;</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">b&#x0306;</hi>)</hi><lb/>
ist. Ersteres folgt, weil wir die Kontraposition mit Aussagen- oder<lb/>
Koeffizientensubsumtionen vorzunehmen bereits berechtigt sind, im Hin-<lb/>
blick auf (14) leicht so:<lb/>
(<hi rendition="#i">a</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">b</hi>) = <hi rendition="#i">&#x03A0;<hi rendition="#sub">i j</hi></hi>(<hi rendition="#i">a<hi rendition="#sub">i j</hi></hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">b<hi rendition="#sub">i j</hi></hi>) = <hi rendition="#i">&#x03A0;<hi rendition="#sub">i j</hi></hi>[(<hi rendition="#i">b<hi rendition="#sub">i j</hi></hi>)&#x035E; &#x22F9; (<hi rendition="#i">a<hi rendition="#sub">i j</hi></hi>)&#x035E;] = <hi rendition="#i">&#x03A0;<hi rendition="#sub">i j</hi></hi>(<hi rendition="#i">b&#x0304;<hi rendition="#sub">i j</hi></hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">a&#x0304;<hi rendition="#sub">i j</hi></hi>) = (<hi rendition="#i">b&#x0304;</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">a&#x0304;</hi>).<lb/>
Letzteres, weil Vertauschung der Produktzeiger gestattet ist, so:<lb/><hi rendition="#et">(<hi rendition="#i">a</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">b</hi>) = <hi rendition="#i">&#x03A0;<hi rendition="#sub">i j</hi></hi>(<hi rendition="#i">a<hi rendition="#sub">i j</hi></hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">b<hi rendition="#sub">i j</hi></hi>) = <hi rendition="#i">&#x03A0;<hi rendition="#sub">j i</hi></hi>(<hi rendition="#i">a<hi rendition="#sub">i j</hi></hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">b<hi rendition="#sub">i j</hi></hi>) = <hi rendition="#i">&#x03A0;<hi rendition="#sub">i j</hi></hi>(<hi rendition="#i">a<hi rendition="#sub">j i</hi></hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">b<hi rendition="#sub">j i</hi></hi>) =<lb/>
= <hi rendition="#i">&#x03A0;<hi rendition="#sub">i j</hi></hi>(<hi rendition="#i">a&#x0306;<hi rendition="#sub">i j</hi></hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">b&#x0306;<hi rendition="#sub">i j</hi></hi>) = (<hi rendition="#i">a&#x0306;</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">b&#x0306;</hi>).</hi><lb/>
Aus den beiden hiermit bewiesenen Sätzen folgt nun die letzte oder<lb/>
dritte Formel 13):<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">a</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">b</hi>) = (<hi rendition="#i">b&#x0304;&#x0306;</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">a&#x0304;&#x0306;</hi>)</hi><lb/>
bequemer mittelbar durch deren &#x201E;kombinirte&#x201C; Anwendung &#x2014; das soll<lb/>
hier heissen: durch deren successive Anwendung in irgend einer Folge.</p><lb/>
          <p>Nachdem mit diesen Sätzen nunmehr die Prinzipien des Dualismus<lb/>
und der Konjugation, die wir im vorigen Paragraphen auseinander-<lb/>
gesetzt haben, vollends erhärtet sind, werden wir künftig von jedem<lb/>
Quadrupel &#x201E;verwandter&#x201C; Formeln nur mehr eine einzige &#x2014; zumeist <hi rendition="#i">die</hi><lb/></p>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>

[108/0122] Dritte Vorlesung. Beweise von 9) des § 6: [FORMEL], [FORMEL] nach den Festsetzungen und De Morgan’s für Aussagen und Koeffizienten bereits sicher gestellten Theoremen. Beweise der Formeln 10) des § 6 — ebenso: [FORMEL], [FORMEL]. Beweise von 11) des § 6 — S. 85: (ab͝)i j = (ab)j i = aj ibj i = bj iaj i = b̆i jăi j = (b̆ă)i j, (a + b͝)i j = (a + b)j i = aj i + bj i = bj i + aj i = b̆i j + ăi j = (b̆ + ă)i j. Beweise von 12) des § 6: (a ; b͝)i j = (a ; b)j i = Σhaj hbh i = Σhbh iaj h = Σhb̆i hăh j = (b̆ ; ă)i j, (a ɟ b͝)i j = (a ɟ b)j i = Πh(aj h + bh i) = Πh(bh i + aj h) = Πh(b̆i h + ăh j) = (b̆ ɟ ă)i j. Behufs Beweises der Formeln 13) des § 6 — S. 87 — ist un- mittelbar nur zu zeigen dass: (a ⋹ b) = (b̄ ⋹ ā) sowie (a ⋹ b) = (ă ⋹ b̆) ist. Ersteres folgt, weil wir die Kontraposition mit Aussagen- oder Koeffizientensubsumtionen vorzunehmen bereits berechtigt sind, im Hin- blick auf (14) leicht so: (a ⋹ b) = Πi j(ai j ⋹ bi j) = Πi j[(bi j)͞ ⋹ (ai j)͞] = Πi j(b̄i j ⋹ āi j) = (b̄ ⋹ ā). Letzteres, weil Vertauschung der Produktzeiger gestattet ist, so: (a ⋹ b) = Πi j(ai j ⋹ bi j) = Πj i(ai j ⋹ bi j) = Πi j(aj i ⋹ bj i) = = Πi j(ăi j ⋹ b̆i j) = (ă ⋹ b̆). Aus den beiden hiermit bewiesenen Sätzen folgt nun die letzte oder dritte Formel 13): (a ⋹ b) = (b̄̆ ⋹ ā̆) bequemer mittelbar durch deren „kombinirte“ Anwendung — das soll hier heissen: durch deren successive Anwendung in irgend einer Folge. Nachdem mit diesen Sätzen nunmehr die Prinzipien des Dualismus und der Konjugation, die wir im vorigen Paragraphen auseinander- gesetzt haben, vollends erhärtet sind, werden wir künftig von jedem Quadrupel „verwandter“ Formeln nur mehr eine einzige — zumeist die

Suche im Werk

Informationen zum Werk

Titeldaten
Verfügbarkeit Text (TEI-XML-, HTML-, TCF-, E-Book-Fassung): CC BY-SA 4.0.
Nutzungsbedingungen

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
TCF (tokenisiert, serialisiert, lemmatisiert, normalisiert)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ^?

Language Resource Switchboard^?

Resource/URL übermitteln

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.

Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk:	https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895
URL zu dieser Seite:	https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/122
Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 108. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/122>, abgerufen am 18.05.2024.

Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer Creative-Commons-Lizenz. Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken. Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.

Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden. Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des § 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.

2007–2024 Deutsches Textarchiv, Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften. Kontakt: redaktion(at)deutschestextarchiv.de.

Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.