den zugehörigen Zeigern in der gehörigen Reihenfolge nach links vor den verbleibenden (von allen S und P befreiten) Koeffizientenaus- druck schiebt.
Die entgegengesetzte Kunst, die umgekehrte Aufgabe: eine Aussagen- funktion von Koeffizienten "einfacher" Relativsymbole als den allgemeinen Koeffizienten eines aus letztern Relativen zusammengesetzten Ausdruckes oder Relativs darzustellen, ist -- sofern lösbar -- im Allgemeinen etwas schwieriger zu lösen resp. zu erlernen.
Um nun auch noch von 14) des § 6 die erste Formel zu bewei- sen, bemerke man, dass: Li j = (ab)i j = ai jbi j, Ri j = (a ; c + b ; cn)i j = Sh(ai hch j + bi hcnh j).
Letztre Summe enthält den beim Werte h = j des Zeigers sich ergebenden Term: ai jcj j + bi jcnj j und dass Li j schon diesem eingeordnet ist, um so mehr also der ganzen Summe Ri j, lässt sich nachweisen aus der dem identischen Kalkul an- gehörigen (somit nicht blos für Aussagen, sondern sogar für Klassen gültigen) Formel: abab + ac + bcn = (a + ab)c + (b + ab)cn = ac + bcn wenn man darin dem a und b durchweg das Suffix ij, dem c und cn das Suffix jj zuteilt, q. e. d.
Beweis von 15) des § 6, erste Formel. Es ist Li j = {a ; b · (an j c)}i j = ShPkai hbh j(ani k + ck j), Ri j = (a ; bc)i j = Shai hbh jch j.
Das Produkt Pk in Li j enthält den bei k = h sich ergebenden Faktor: ai hbh j(ani h + ch j) = ai hbh jch j.
Dasselbe ist demnach, weil zu letzterm noch mehr Faktoren hin- zutreten -- nach dem Schema aba des Aussagenkalkuls -- ein- geordnet diesem Faktor, womit erkannt ist, dass das allgemeine Glied der Sh welche Li j vorstellt, eingeordnet ist dem allgemeinen Gliede der Sh welche Ri j vorstellt. Diese Beziehung überträgt sich von den allgemeinen Gliedern auf die Summen derselben, d. h. es ist Li jRi j, q. e. d.
Da wir fortan äusserst viel werden zu thun haben mit Summen und Produkten, in symbolischer Abkürzung dargestellt vermittest der S und P-zeichen, wobei der allgemeine Term ein Aussagensymbol ist, das einen doppelten Index führt, so verlohnt es, auf die wichtigsten
Dritte Vorlesung.
den zugehörigen Zeigern in der gehörigen Reihenfolge nach links vor den verbleibenden (von allen Σ und Π befreiten) Koeffizientenaus- druck schiebt.
Die entgegengesetzte Kunst, die umgekehrte Aufgabe: eine Aussagen- funktion von Koeffizienten „einfacher“ Relativsymbole als den allgemeinen Koeffizienten eines aus letztern Relativen zusammengesetzten Ausdruckes oder Relativs darzustellen, ist — sofern lösbar — im Allgemeinen etwas schwieriger zu lösen resp. zu erlernen.
Um nun auch noch von 14) des § 6 die erste Formel zu bewei- sen, bemerke man, dass: Li j = (ab)i j = ai jbi j, Ri j = (a ; c + b ; c̄)i j = Σh(ai hch j + bi hc̄h j).
Letztre Summe enthält den beim Werte h = j des Zeigers sich ergebenden Term: ai jcj j + bi jc̄j j und dass Li j schon diesem eingeordnet ist, um so mehr also der ganzen Summe Ri j, lässt sich nachweisen aus der dem identischen Kalkul an- gehörigen (somit nicht blos für Aussagen, sondern sogar für Klassen gültigen) Formel: ab⋹ab + ac + bc̄ = (a + ab)c + (b + ab)c̄ = ac + bc̄ wenn man darin dem a und b durchweg das Suffix ij, dem c und c̄ das Suffix jj zuteilt, q. e. d.
Beweis von 15) des § 6, erste Formel. Es ist Li j = {a ; b · (ā ɟ c)}i j = ΣhΠkai hbh j(āi k + ck j), Ri j = (a ; bc)i j = Σhai hbh jch j.
Das Produkt Πk in Li j enthält den bei k = h sich ergebenden Faktor: ai hbh j(āi h + ch j) = ai hbh jch j.
Dasselbe ist demnach, weil zu letzterm noch mehr Faktoren hin- zutreten — nach dem Schema ab ⋹ a des Aussagenkalkuls — ein- geordnet diesem Faktor, womit erkannt ist, dass das allgemeine Glied der Σh welche Li j vorstellt, eingeordnet ist dem allgemeinen Gliede der Σh welche Ri j vorstellt. Diese Beziehung überträgt sich von den allgemeinen Gliedern auf die Summen derselben, d. h. es ist Li j ⋹ Ri j, q. e. d.
Da wir fortan äusserst viel werden zu thun haben mit Summen und Produkten, in symbolischer Abkürzung dargestellt vermittest der Σ und Π-zeichen, wobei der allgemeine Term ein Aussagensymbol ist, das einen doppelten Index führt, so verlohnt es, auf die wichtigsten
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Dritte Vorlesung.
den zugehörigen Zeigern in der gehörigen Reihenfolge nach links
vor den verbleibenden (von allen Σ und Π befreiten) Koeffizientenaus-
druck schiebt.
Die entgegengesetzte Kunst, die umgekehrte Aufgabe: eine Aussagen-
funktion von Koeffizienten „einfacher“ Relativsymbole als den allgemeinen
Koeffizienten eines aus letztern Relativen zusammengesetzten Ausdruckes
oder Relativs darzustellen, ist — sofern lösbar — im Allgemeinen etwas
schwieriger zu lösen resp. zu erlernen.
Um nun auch noch von 14) des § 6 die erste Formel zu bewei-
sen, bemerke man, dass:
Li j = (ab)i j = ai jbi j, Ri j = (a ; c + b ; c̄)i j = Σh(ai hch j + bi hc̄h j).
Letztre Summe enthält den beim Werte h = j des Zeigers sich
ergebenden Term:
ai jcj j + bi jc̄j j
und dass Li j schon diesem eingeordnet ist, um so mehr also der ganzen
Summe Ri j, lässt sich nachweisen aus der dem identischen Kalkul an-
gehörigen (somit nicht blos für Aussagen, sondern sogar für Klassen
gültigen) Formel:
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das Suffix jj zuteilt, q. e. d.
Beweis von 15) des § 6, erste Formel. Es ist
Li j = {a ; b · (ā ɟ c)}i j = ΣhΠkai hbh j(āi k + ck j),
Ri j = (a ; bc)i j = Σhai hbh jch j.
Das Produkt Πk in Li j enthält den bei k = h sich ergebenden
Faktor:
ai hbh j(āi h + ch j) = ai hbh jch j.
Dasselbe ist demnach, weil zu letzterm noch mehr Faktoren hin-
zutreten — nach dem Schema ab ⋹ a des Aussagenkalkuls — ein-
geordnet diesem Faktor, womit erkannt ist, dass das allgemeine Glied
der Σh welche Li j vorstellt, eingeordnet ist dem allgemeinen Gliede
der Σh welche Ri j vorstellt. Diese Beziehung überträgt sich von den
allgemeinen Gliedern auf die Summen derselben, d. h. es ist Li j ⋹ Ri j,
q. e. d.
Da wir fortan äusserst viel werden zu thun haben mit Summen
und Produkten, in symbolischer Abkürzung dargestellt vermittest der
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 110. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/124>, abgerufen am 18.05.2024.
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