laufen, so stellt das erste der drei vorstehenden "Doppel"-Produkte vor: das Ergebniss einer multiplikativen Verknüpfung, bei welcher zuerst die Elemente einer jeden Zeile unsrer Matrix (bis zum mten einschliesslich) zu einem Teilprodukte vereinigt, hernach diese Produkte aus den n ersten Zeilen miteinander multiplizirt werden, wogegen das zweite Doppelprodukt bedeutet: das Knüpfungsergebniss, wenn zuerst die Elemente einer jeden Kolonne (bis inclusive zum nten) zu einem Teilprodukte vereinigt, sodann diese Produkte aus den m ersten Kolonnen miteinander multiplizirt werden. Das erste Doppelprodukt also fordert "zeilenweises", das zweite "kolonnen- weises" Multipliziren.
Dass dies so und nicht umgekehrt der Fall ist, liegt daran, dass die P oder S-zeichen jeweils in der entgegengesetzten Ordnung "evaluirt", aus- gewertet (in die ausführliche Schreibung umgedeutet) werden müssen, als die ist, in der sie dem von links nach rechts lesenden Auge sich dar- bieten. Das zweite oder innere Zeichen muss allemal zuerst interpretirt werden; denn der mit ihm gebildete Ausdruck bildet den allgemeinen Term zu dem vorhergehenden, ersten oder äusseren Zeichen, und (nach dem Grundsatze: Die Nürnberger hängen keinen, sie hätten ihn denn zuvor) muss man diesen Term erst haben, bevor man ihn produktiren oder sum- miren kann.
So ist in der That:
[Formel 1]
Etc. Die Umstellung der beiden P-zeichen bewirkt also weiter nichts als eine Vertauschung von Zeilen und Kolonnen (Horizontal- und Vertikal- reihen) in unsrer Matrix.
In dem dritten Produkte 1), welches wegen der unter das P geschrie- benen beiden laufenden Buchstaben h, k erst recht ein Doppelprodukt zu nennen ist (obwol man nur ein P-zeichen in ihm erblickt) darf man diesen Buchstaben die ihnen bezüglich zukommenden Werte in beliebiger Zusammenstellung und Reihenfolge beigelegt denken, so jedoch, dass aus- schliesslich jeder von den vorgeschriebenen Werten des h mit jedem von den gegebenen Werten des k (mindestens) einmal kombinirt wird (Wieder- holungen sind als überflüssig im allgemeinen zu vermeiden, schaden jedoch der Tautologiegesetze halber -- im identischen Kalkul wenigstens -- nichts); es hat also -- kann man sagen -- das Indizespaar h, k ein bestimmtes System von Wertepaaren zu durchlaufen.
Von den Summen gilt mutatis mutandis dasselbe, was wir soeben bei den Produkten zur Sprache brachten.
Was nun aber die Verbindung von Summen- mit Produktenzeichen betrifft, so ist höchst bemerkenswert, dass hier nur die beiden im Grunde auf einen hinauslaufenden Sätze gelten: 2)
[Formel 2]
-- vergl. o) des § 3 -- deren zweiter aus dem ersten hervorgeht, indem man die Namen der beiden Variabeln h und k mit einander
Dritte Vorlesung.
laufen, so stellt das erste der drei vorstehenden „Doppel“-Produkte vor: das Ergebniss einer multiplikativen Verknüpfung, bei welcher zuerst die Elemente einer jeden Zeile unsrer Matrix (bis zum mten einschliesslich) zu einem Teilprodukte vereinigt, hernach diese Produkte aus den n ersten Zeilen miteinander multiplizirt werden, wogegen das zweite Doppelprodukt bedeutet: das Knüpfungsergebniss, wenn zuerst die Elemente einer jeden Kolonne (bis inclusive zum nten) zu einem Teilprodukte vereinigt, sodann diese Produkte aus den m ersten Kolonnen miteinander multiplizirt werden. Das erste Doppelprodukt also fordert „zeilenweises“, das zweite „kolonnen- weises“ Multipliziren.
Dass dies so und nicht umgekehrt der Fall ist, liegt daran, dass die Π oder Σ-zeichen jeweils in der entgegengesetzten Ordnung „evaluirt“, aus- gewertet (in die ausführliche Schreibung umgedeutet) werden müssen, als die ist, in der sie dem von links nach rechts lesenden Auge sich dar- bieten. Das zweite oder innere Zeichen muss allemal zuerst interpretirt werden; denn der mit ihm gebildete Ausdruck bildet den allgemeinen Term zu dem vorhergehenden, ersten oder äusseren Zeichen, und (nach dem Grundsatze: Die Nürnberger hängen keinen, sie hätten ihn denn zuvor) muss man diesen Term erst haben, bevor man ihn produktiren oder sum- miren kann.
So ist in der That:
[Formel 1]
Etc. Die Umstellung der beiden Π-zeichen bewirkt also weiter nichts als eine Vertauschung von Zeilen und Kolonnen (Horizontal- und Vertikal- reihen) in unsrer Matrix.
In dem dritten Produkte 1), welches wegen der unter das Π geschrie- benen beiden laufenden Buchstaben h, k erst recht ein Doppelprodukt zu nennen ist (obwol man nur ein Π-zeichen in ihm erblickt) darf man diesen Buchstaben die ihnen bezüglich zukommenden Werte in beliebiger Zusammenstellung und Reihenfolge beigelegt denken, so jedoch, dass aus- schliesslich jeder von den vorgeschriebenen Werten des h mit jedem von den gegebenen Werten des k (mindestens) einmal kombinirt wird (Wieder- holungen sind als überflüssig im allgemeinen zu vermeiden, schaden jedoch der Tautologiegesetze halber — im identischen Kalkul wenigstens — nichts); es hat also — kann man sagen — das Indizespaar h, k ein bestimmtes System von Wertepaaren zu durchlaufen.
Von den Summen gilt mutatis mutandis dasselbe, was wir soeben bei den Produkten zur Sprache brachten.
Was nun aber die Verbindung von Summen- mit Produktenzeichen betrifft, so ist höchst bemerkenswert, dass hier nur die beiden im Grunde auf einen hinauslaufenden Sätze gelten: 2)
[Formel 2]
— vergl. ο) des § 3 — deren zweiter aus dem ersten hervorgeht, indem man die Namen der beiden Variabeln h und k mit einander
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[112/0126]
Dritte Vorlesung.
laufen, so stellt das erste der drei vorstehenden „Doppel“-Produkte vor:
das Ergebniss einer multiplikativen Verknüpfung, bei welcher zuerst die
Elemente einer jeden Zeile unsrer Matrix (bis zum mten einschliesslich) zu
einem Teilprodukte vereinigt, hernach diese Produkte aus den n ersten
Zeilen miteinander multiplizirt werden, wogegen das zweite Doppelprodukt
bedeutet: das Knüpfungsergebniss, wenn zuerst die Elemente einer jeden
Kolonne (bis inclusive zum nten) zu einem Teilprodukte vereinigt, sodann
diese Produkte aus den m ersten Kolonnen miteinander multiplizirt werden.
Das erste Doppelprodukt also fordert „zeilenweises“, das zweite „kolonnen-
weises“ Multipliziren.
Dass dies so und nicht umgekehrt der Fall ist, liegt daran, dass die
Π oder Σ-zeichen jeweils in der entgegengesetzten Ordnung „evaluirt“, aus-
gewertet (in die ausführliche Schreibung umgedeutet) werden müssen, als
die ist, in der sie dem von links nach rechts lesenden Auge sich dar-
bieten. Das zweite oder innere Zeichen muss allemal zuerst interpretirt
werden; denn der mit ihm gebildete Ausdruck bildet den allgemeinen Term
zu dem vorhergehenden, ersten oder äusseren Zeichen, und (nach dem
Grundsatze: Die Nürnberger hängen keinen, sie hätten ihn denn zuvor)
muss man diesen Term erst haben, bevor man ihn produktiren oder sum-
miren kann.
So ist in der That:
[FORMEL] Etc. Die Umstellung der beiden Π-zeichen bewirkt also weiter nichts als
eine Vertauschung von Zeilen und Kolonnen (Horizontal- und Vertikal-
reihen) in unsrer Matrix.
In dem dritten Produkte 1), welches wegen der unter das Π geschrie-
benen beiden laufenden Buchstaben h, k erst recht ein Doppelprodukt zu
nennen ist (obwol man nur ein Π-zeichen in ihm erblickt) darf man
diesen Buchstaben die ihnen bezüglich zukommenden Werte in beliebiger
Zusammenstellung und Reihenfolge beigelegt denken, so jedoch, dass aus-
schliesslich jeder von den vorgeschriebenen Werten des h mit jedem von
den gegebenen Werten des k (mindestens) einmal kombinirt wird (Wieder-
holungen sind als überflüssig im allgemeinen zu vermeiden, schaden jedoch
der Tautologiegesetze halber — im identischen Kalkul wenigstens — nichts);
es hat also — kann man sagen — das Indizespaar h, k ein bestimmtes
System von Wertepaaren zu durchlaufen.
Von den Summen gilt mutatis mutandis dasselbe, was wir soeben bei
den Produkten zur Sprache brachten.
Was nun aber die Verbindung von Summen- mit Produktenzeichen
betrifft, so ist höchst bemerkenswert, dass hier nur die beiden im Grunde
auf einen hinauslaufenden Sätze gelten:
2) [FORMEL]
— vergl. ο) des § 3 — deren zweiter aus dem ersten hervorgeht,
indem man die Namen der beiden Variabeln h und k mit einander
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 112. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/126>, abgerufen am 18.05.2024.
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