Die beiden untereinanderstehenden Formen des Satzes 2) lassen nebenbei sich auch zusammenfassen zu:
1' (a + an)(an + a)
aan + ana 0',
oder: Korollar zu 2):
1' aa + anan
(a + a)(an + an) 0'.
Merkwürdiger Weise aber besitzen die Sätze 1) auf der zweiten Hauptstufe auch folgende strikte Analoga, welche schon Peirce entdeckte: 3)
1' a j an
a ; an 0'
-- womit zugleich auch gegeben ist:
1' an j a
an ; a 0'
1' an j a
an ; a 0'
1' a j an
a ; an 0'
wie man durch Vertauschung von a mit einem seiner drei verwandten Relative, welche der Allgemeingültigkeit von 3) halber gestattet sein muss, unschwer erkennt.
Bei Beachtung aller erwähnten nähern und fernern Analogien werden die Formeln insgesamt leicht zu behalten sein.
Natürlich kann man auch die verschiednen Formen des Satzes 3) zusammenfassen zu dem Theorme:
Korollar zu 3):
1' (a j an)(an j a)(an j a)(a j an)
a ; an + an ; a + an ; a + a ; an 0'
worin von den Termen (Faktoren, Summanden) irgendwelche unter- drückbar. Auch wäre hievon mit den beiden Formen von Satz 2) noch weitere Zusammenfassung thunlich.
Behufs Beweises von 2) ist blos die Gültigkeit der Koeffizienten- subsumtionen:
1'i jai j + anj i
ai janj i 0'i j
allgemein -- für jedes Suffix ij darzuthun.
Ist nun ij, so ist in der ersten Subsumtion das Subjekt = 0, in der zweiten das Prädikat = 1, mithin dieselbe allemal ohnehin erfüllt.
Ist dagegen i = j, so kommen unsre Behauptungen auf diese hinaus:
1'i i = 1 ai i + ani i
ai iani i 0 = 0'i i,
Vierte Vorlesung.
womit begreiflich auch
1' ⋹ ā + ă
āă⋹ 0'
gegeben ist.
Die beiden untereinanderstehenden Formen des Satzes 2) lassen nebenbei sich auch zusammenfassen zu:
1' ⋹ (a + ā̆)(ā + ă)
aā̆ + āă ⋹ 0',
oder: Korollar zu 2):
1' ⋹ aă + āā̆
(a + ă)(ā + ā̆) ⋹ 0'.
Merkwürdiger Weise aber besitzen die Sätze 1) auf der zweiten Hauptstufe auch folgende strikte Analoga, welche schon Peirce entdeckte: 3)
1' ⋹ a ɟ ā̆
a ; ā̆ ⋹ 0'
— womit zugleich auch gegeben ist:
1' ⋹ ā̆ ɟ a
ā̆ ; a ⋹ 0'
1' ⋹ ā ɟ ă
ā ; ă ⋹ 0'
1' ⋹ ă ɟ ā
ă ; ā ⋹ 0'
wie man durch Vertauschung von a mit einem seiner drei verwandten Relative, welche der Allgemeingültigkeit von 3) halber gestattet sein muss, unschwer erkennt.
Bei Beachtung aller erwähnten nähern und fernern Analogien werden die Formeln insgesamt leicht zu behalten sein.
Natürlich kann man auch die verschiednen Formen des Satzes 3) zusammenfassen zu dem Theorme:
Korollar zu 3):
1' ⋹ (a ɟ ā̆)(ā̆ ɟ a)(ā ɟ ă)(ă ɟ ā)
a ; ā̆ + ā̆ ; a + ā ; ă + ă ; ā ⋹ 0'
worin von den Termen (Faktoren, Summanden) irgendwelche unter- drückbar. Auch wäre hievon mit den beiden Formen von Satz 2) noch weitere Zusammenfassung thunlich.
Behufs Beweises von 2) ist blos die Gültigkeit der Koeffizienten- subsumtionen:
1'i j ⋹ ai j + āj i
ai jāj i⋹ 0'i j
allgemein — für jedes Suffix ij darzuthun.
Ist nun i ≠ j, so ist in der ersten Subsumtion das Subjekt = 0, in der zweiten das Prädikat = 1, mithin dieselbe allemal ohnehin erfüllt.
Ist dagegen i = j, so kommen unsre Behauptungen auf diese hinaus:
1'i i = 1 ⋹ ai i + āi i
ai iāi i⋹ 0 = 0'i i,
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Vierte Vorlesung.
womit begreiflich auch
1' ⋹ ā + ă āă⋹ 0'
gegeben ist.
Die beiden untereinanderstehenden Formen des Satzes 2) lassen
nebenbei sich auch zusammenfassen zu:
1' ⋹ (a + ā̆)(ā + ă) aā̆ + āă ⋹ 0',
oder:
Korollar zu 2): 1' ⋹ aă + āā̆ (a + ă)(ā + ā̆) ⋹ 0'.
Merkwürdiger Weise aber besitzen die Sätze 1) auf der zweiten
Hauptstufe auch folgende strikte Analoga, welche schon Peirce entdeckte:
3) 1' ⋹ a ɟ ā̆ a ; ā̆ ⋹ 0'
— womit zugleich auch gegeben ist:
1' ⋹ ā̆ ɟ a ā̆ ; a ⋹ 0'
1' ⋹ ā ɟ ă ā ; ă ⋹ 0'
1' ⋹ ă ɟ ā ă ; ā ⋹ 0'
wie man durch Vertauschung von a mit einem seiner drei verwandten
Relative, welche der Allgemeingültigkeit von 3) halber gestattet sein
muss, unschwer erkennt.
Bei Beachtung aller erwähnten nähern und fernern Analogien
werden die Formeln insgesamt leicht zu behalten sein.
Natürlich kann man auch die verschiednen Formen des Satzes 3)
zusammenfassen zu dem Theorme:
Korollar zu 3):
1' ⋹ (a ɟ ā̆)(ā̆ ɟ a)(ā ɟ ă)(ă ɟ ā) a ; ā̆ + ā̆ ; a + ā ; ă + ă ; ā ⋹ 0'
worin von den Termen (Faktoren, Summanden) irgendwelche unter-
drückbar. Auch wäre hievon mit den beiden Formen von Satz 2)
noch weitere Zusammenfassung thunlich.
Behufs Beweises von 2) ist blos die Gültigkeit der Koeffizienten-
subsumtionen:
1'i j ⋹ ai j + āj i ai jāj i⋹ 0'i j
allgemein — für jedes Suffix ij darzuthun.
Ist nun i ≠ j, so ist in der ersten Subsumtion das Subjekt = 0,
in der zweiten das Prädikat = 1, mithin dieselbe allemal ohnehin
erfüllt.
Ist dagegen i = j, so kommen unsre Behauptungen auf diese hinaus:
1'i i = 1 ⋹ ai i + āi i ai iāi i⋹ 0 = 0'i i,
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 118. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/132>, abgerufen am 25.11.2024.
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