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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 9. Irreduzible relative Knüpfungen mit absoluten Moduln.
kontradiktorische Gegensätze sein. Dagegen sind Vollreihe und Leer-
reihe blos konträre Gegensätze. Die Vollreihe gehört zu den besetzten
Reihen, und die Leerreihe ordnet sich den Lückreihen ein, ist auch
eine "Lückreihe" zu nennen, obwol bei ihr der Begriff der Lücke aus-
artet in etwas die ganze Breite einnehmendes, dem das Substrat, wel-
ches die "Lücke" einfassen sollte, fehlt.

Es war also erkannt: dass die Relative a ; 1 und a j 0 blos aus
Voll- und Leerzeilen, die 1 ; a und 0 j a blos aus Voll- und Leer-
kolonnen bestehen können.

Welche Zeilen -- müssen wir nun weiter fragen -- werden aber
Vollzeilen und welche Leerzeilen von a ; 1 sein?

Die Antwort ergibt sich aus der Diskussion des Ausdruckes
Shai h = ai A + ai B + ai C + ...
welcher den allgemeinen Koeffizienten (a ; 1)i j darstellt.

Diese Summe wird nur dann verschwinden, wenn alle Glieder
derselben = 0 sind. Sobald dagegen auch nur eines der Glieder
gleich 1 ist, m. a. W. sobald mindestens eines der ai h die sich bei
festgehaltnem i und seine Bedeutung wechselndem h ergeben, nicht
= 0 (mithin = 1) ist, wird auch unsre Summe den Wert 1 erhalten.

Es muss also a ; 1 eine Vollzeile überall da (für alle jene i) auf-
weisen, wo a eine (irgendwie) besetzte Zeile besitzt, und eine Leerzeile
nur da, wo auch a eine Leerzeile hat.

Andrerseits wird
Phai h = ai Aai Bai C ...
gleich 1 nur dann sein können, wenn sämtliche ai h gleich 1 sind, da-
gegen verschwinden, sobald auch nur einer der Faktoren ai h ver-
schwindet. Diese Faktoren sind die Koeffizienten der mit i markirten
Zeile ("iten Zeile") von a.

Sonach ist (a j 0)i j = 1, hat das Relativ a j 0 eine Vollzeile nur
da, wo auch a eine Vollzeile besitzt, und jeder Lückzeile von a ent-
spricht eine Leerzeile von a j 0.

Führt man ebenso die Diskussion für die beiden andern Relative,
so gelangt man zu folgenden fundamentalen Sätzen (welche leicht zu
merken):

Das Relativ a ; 1 wird erhalten, indem man alle (irgendwie) besetzten
Zeilen von a in Vollzeilen verwandelt und die Leerzeilen von a als eben-
solche beibehält.

Um das Relativ a j 0 zu bilden, behalte man die Vollzeilen von a

§ 9. Irreduzible relative Knüpfungen mit absoluten Moduln.
kontradiktorische Gegensätze sein. Dagegen sind Vollreihe und Leer-
reihe blos konträre Gegensätze. Die Vollreihe gehört zu den besetzten
Reihen, und die Leerreihe ordnet sich den Lückreihen ein, ist auch
eine „Lückreihe“ zu nennen, obwol bei ihr der Begriff der Lücke aus-
artet in etwas die ganze Breite einnehmendes, dem das Substrat, wel-
ches die „Lücke“ einfassen sollte, fehlt.

Es war also erkannt: dass die Relative a ; 1 und a ɟ 0 blos aus
Voll- und Leerzeilen, die 1 ; a und 0 ɟ a blos aus Voll- und Leer-
kolonnen bestehen können.

Welche Zeilen — müssen wir nun weiter fragen — werden aber
Vollzeilen und welche Leerzeilen von a ; 1 sein?

Die Antwort ergibt sich aus der Diskussion des Ausdruckes
Σhai h = ai A + ai B + ai C + …
welcher den allgemeinen Koeffizienten (a ; 1)i j darstellt.

Diese Summe wird nur dann verschwinden, wenn alle Glieder
derselben = 0 sind. Sobald dagegen auch nur eines der Glieder
gleich 1 ist, m. a. W. sobald mindestens eines der ai h die sich bei
festgehaltnem i und seine Bedeutung wechselndem h ergeben, nicht
= 0 (mithin = 1) ist, wird auch unsre Summe den Wert 1 erhalten.

Es muss also a ; 1 eine Vollzeile überall da (für alle jene i) auf-
weisen, wo a eine (irgendwie) besetzte Zeile besitzt, und eine Leerzeile
nur da, wo auch a eine Leerzeile hat.

Andrerseits wird
Πhai h = ai Aai Bai C …
gleich 1 nur dann sein können, wenn sämtliche ai h gleich 1 sind, da-
gegen verschwinden, sobald auch nur einer der Faktoren ai h ver-
schwindet. Diese Faktoren sind die Koeffizienten der mit i markirten
Zeile („iten Zeile“) von a.

Sonach ist (a ɟ 0)i j = 1, hat das Relativ a ɟ 0 eine Vollzeile nur
da, wo auch a eine Vollzeile besitzt, und jeder Lückzeile von a ent-
spricht eine Leerzeile von a ɟ 0.

Führt man ebenso die Diskussion für die beiden andern Relative,
so gelangt man zu folgenden fundamentalen Sätzen (welche leicht zu
merken):

Das Relativ a ; 1 wird erhalten, indem man alle (irgendwie) besetzten
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solche beibehält.

Um das Relativ a ɟ 0 zu bilden, behalte man die Vollzeilen von a

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[141/0155] § 9. Irreduzible relative Knüpfungen mit absoluten Moduln. kontradiktorische Gegensätze sein. Dagegen sind Vollreihe und Leer- reihe blos konträre Gegensätze. Die Vollreihe gehört zu den besetzten Reihen, und die Leerreihe ordnet sich den Lückreihen ein, ist auch eine „Lückreihe“ zu nennen, obwol bei ihr der Begriff der Lücke aus- artet in etwas die ganze Breite einnehmendes, dem das Substrat, wel- ches die „Lücke“ einfassen sollte, fehlt. Es war also erkannt: dass die Relative a ; 1 und a ɟ 0 blos aus Voll- und Leerzeilen, die 1 ; a und 0 ɟ a blos aus Voll- und Leer- kolonnen bestehen können. Welche Zeilen — müssen wir nun weiter fragen — werden aber Vollzeilen und welche Leerzeilen von a ; 1 sein? Die Antwort ergibt sich aus der Diskussion des Ausdruckes Σhai h = ai A + ai B + ai C + … welcher den allgemeinen Koeffizienten (a ; 1)i j darstellt. Diese Summe wird nur dann verschwinden, wenn alle Glieder derselben = 0 sind. Sobald dagegen auch nur eines der Glieder gleich 1 ist, m. a. W. sobald mindestens eines der ai h die sich bei festgehaltnem i und seine Bedeutung wechselndem h ergeben, nicht = 0 (mithin = 1) ist, wird auch unsre Summe den Wert 1 erhalten. Es muss also a ; 1 eine Vollzeile überall da (für alle jene i) auf- weisen, wo a eine (irgendwie) besetzte Zeile besitzt, und eine Leerzeile nur da, wo auch a eine Leerzeile hat. Andrerseits wird Πhai h = ai Aai Bai C … gleich 1 nur dann sein können, wenn sämtliche ai h gleich 1 sind, da- gegen verschwinden, sobald auch nur einer der Faktoren ai h ver- schwindet. Diese Faktoren sind die Koeffizienten der mit i markirten Zeile („iten Zeile“) von a. Sonach ist (a ɟ 0)i j = 1, hat das Relativ a ɟ 0 eine Vollzeile nur da, wo auch a eine Vollzeile besitzt, und jeder Lückzeile von a ent- spricht eine Leerzeile von a ɟ 0. Führt man ebenso die Diskussion für die beiden andern Relative, so gelangt man zu folgenden fundamentalen Sätzen (welche leicht zu merken): Das Relativ a ; 1 wird erhalten, indem man alle (irgendwie) besetzten Zeilen von a in Vollzeilen verwandelt und die Leerzeilen von a als eben- solche beibehält. Um das Relativ a ɟ 0 zu bilden, behalte man die Vollzeilen von a

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 141. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/155>, abgerufen am 23.11.2024.