seien mit x zugleich die sämtlichen Unbekannten "herausgefallen" und zwischen jenen übrigen Unbekannten bestehe keinerlei Relation, die- selben seien unbeschränkt allgemeine Relative ("Parameter"). In der That mögen wir dann diesen letztern ein willkürliches Wertsystem beilegen und wird es nur noch darauf ankommen die zugehörigen Werte von x zu ermitteln, welche mit ihm zusammen ein System von Wurzeln bilden, m. a. W. die Unbekannte x durch die übrigen Un- bekannten auszudrücken. Soferne solcher Fall sich als zutreffend hat nachweisen lassen liegt alsdann ein "reines" Auflösungsproblem vor, und zwar dasjenige der Auflösung der Gleichung f = 0 nach der einen Unbekannten x; dann ist diese Gleichung als eine "unbedingt auflös- bare" erkannt und mögen wir alsbald zu ihrer Auflösung schreiten.
Im zweiten (Unter-)Falle gibt es gewisse Wertsysteme (mindestens eines), welche den Unbekannten y, z, .., a, b, ... nicht beigelegt werden dürfen weil es zu denselben keinen Wert von x gibt, mit dem zusammen sie ein System von Wurzeln vorstellen würden. Jede Aus- sage, die wahrheitsgemäss ein Wertsystem von y, z, .., a, b, ... als unzulässig hinstellt, "ausschliesst", lässt sich alsdann als eine "Relation" zwischen diesen übrigen Unbekannten ansehen, wenn man will auch wieder in Form einer Gleichung darstellen, und darf dieselbe, weil sie durch die Gleichung f = 0 bedingt wird (zur Erfüllung ebendieser unerlässlich ist), in ihr aber der Name der Unbekannten x nicht vor- kommt, als "eine Resultante der Elimination von x aus der Gleichung f = 0" bezeichnet werden.
Die vereinigte Gleichung, Gesamtaussage aller Resultanten (der Elimination von x aus f = 0) aber muss nicht nur eine notwendige sondern auch hinreichende Bedingung sein für die Auflösbarkeit der Gleichung f = 0 nach der Unbekannten x; wir nennen sie "die" voll- ständige oder "volle Resultante" gedachter Elimination. Dieselbe schliesst alle unzulässigen Wertsysteme der übrigen Unbekannten y, z, .., a, b, ... aus. Jedes ihr genügende Wertsystem dieser Un- bekannten ist ein "zulässiges", welches mit gewissen Werten von x zusammen ein System von Wurzeln der Gleichung f = 0 liefert, und sie kann auch charakterisirt werden als eine solche Relation zwischen den Unbekannten ohne x, welche von der Gleichung f = 0 bedingt wird und deren Erfülltsein die Auflösbarkeit "nach x" der Gleichung f = 0 garantirt, d. h. uns die Existenz von mindestens einem dieser Gleichung genügenden Wurzelwerte x verbürgt; sie statuirt die "Valenz- bedingung" für x.
Da wir uns die Auflösung der Gleichung f = 0 nach der Un-
Fünfte Vorlesung.
seien mit x zugleich die sämtlichen Unbekannten „herausgefallen“ und zwischen jenen übrigen Unbekannten bestehe keinerlei Relation, die- selben seien unbeschränkt allgemeine Relative („Parameter“). In der That mögen wir dann diesen letztern ein willkürliches Wertsystem beilegen und wird es nur noch darauf ankommen die zugehörigen Werte von x zu ermitteln, welche mit ihm zusammen ein System von Wurzeln bilden, m. a. W. die Unbekannte x durch die übrigen Un- bekannten auszudrücken. Soferne solcher Fall sich als zutreffend hat nachweisen lassen liegt alsdann ein „reines“ Auflösungsproblem vor, und zwar dasjenige der Auflösung der Gleichung f = 0 nach der einen Unbekannten x; dann ist diese Gleichung als eine „unbedingt auflös- bare“ erkannt und mögen wir alsbald zu ihrer Auflösung schreiten.
Im zweiten (Unter-)Falle gibt es gewisse Wertsysteme (mindestens eines), welche den Unbekannten y, z, ‥, a, b, … nicht beigelegt werden dürfen weil es zu denselben keinen Wert von x gibt, mit dem zusammen sie ein System von Wurzeln vorstellen würden. Jede Aus- sage, die wahrheitsgemäss ein Wertsystem von y, z, ‥, a, b, … als unzulässig hinstellt, „ausschliesst“, lässt sich alsdann als eine „Relation“ zwischen diesen übrigen Unbekannten ansehen, wenn man will auch wieder in Form einer Gleichung darstellen, und darf dieselbe, weil sie durch die Gleichung f = 0 bedingt wird (zur Erfüllung ebendieser unerlässlich ist), in ihr aber der Name der Unbekannten x nicht vor- kommt, als „eine Resultante der Elimination von x aus der Gleichung f = 0“ bezeichnet werden.
Die vereinigte Gleichung, Gesamtaussage aller Resultanten (der Elimination von x aus f = 0) aber muss nicht nur eine notwendige sondern auch hinreichende Bedingung sein für die Auflösbarkeit der Gleichung f = 0 nach der Unbekannten x; wir nennen sie „die“ voll- ständige oder „volle Resultante“ gedachter Elimination. Dieselbe schliesst alle unzulässigen Wertsysteme der übrigen Unbekannten y, z, ‥, a, b, … aus. Jedes ihr genügende Wertsystem dieser Un- bekannten ist ein „zulässiges“, welches mit gewissen Werten von x zusammen ein System von Wurzeln der Gleichung f = 0 liefert, und sie kann auch charakterisirt werden als eine solche Relation zwischen den Unbekannten ohne x, welche von der Gleichung f = 0 bedingt wird und deren Erfülltsein die Auflösbarkeit „nach x“ der Gleichung f = 0 garantirt, d. h. uns die Existenz von mindestens einem dieser Gleichung genügenden Wurzelwerte x verbürgt; sie statuirt die „Valenz- bedingung“ für x.
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Fünfte Vorlesung.
seien mit x zugleich die sämtlichen Unbekannten „herausgefallen“ und
zwischen jenen übrigen Unbekannten bestehe keinerlei Relation, die-
selben seien unbeschränkt allgemeine Relative („Parameter“). In der
That mögen wir dann diesen letztern ein willkürliches Wertsystem
beilegen und wird es nur noch darauf ankommen die zugehörigen
Werte von x zu ermitteln, welche mit ihm zusammen ein System von
Wurzeln bilden, m. a. W. die Unbekannte x durch die übrigen Un-
bekannten auszudrücken. Soferne solcher Fall sich als zutreffend hat
nachweisen lassen liegt alsdann ein „reines“ Auflösungsproblem vor,
und zwar dasjenige der Auflösung der Gleichung f = 0 nach der einen
Unbekannten x; dann ist diese Gleichung als eine „unbedingt auflös-
bare“ erkannt und mögen wir alsbald zu ihrer Auflösung schreiten.
Im zweiten (Unter-)Falle gibt es gewisse Wertsysteme (mindestens
eines), welche den Unbekannten y, z, ‥, a, b, … nicht beigelegt
werden dürfen weil es zu denselben keinen Wert von x gibt, mit dem
zusammen sie ein System von Wurzeln vorstellen würden. Jede Aus-
sage, die wahrheitsgemäss ein Wertsystem von y, z, ‥, a, b, … als
unzulässig hinstellt, „ausschliesst“, lässt sich alsdann als eine „Relation“
zwischen diesen übrigen Unbekannten ansehen, wenn man will auch
wieder in Form einer Gleichung darstellen, und darf dieselbe, weil sie
durch die Gleichung f = 0 bedingt wird (zur Erfüllung ebendieser
unerlässlich ist), in ihr aber der Name der Unbekannten x nicht vor-
kommt, als „eine Resultante der Elimination von x aus der Gleichung
f = 0“ bezeichnet werden.
Die vereinigte Gleichung, Gesamtaussage aller Resultanten (der
Elimination von x aus f = 0) aber muss nicht nur eine notwendige
sondern auch hinreichende Bedingung sein für die Auflösbarkeit der
Gleichung f = 0 nach der Unbekannten x; wir nennen sie „die“ voll-
ständige oder „volle Resultante“ gedachter Elimination. Dieselbe
schliesst alle unzulässigen Wertsysteme der übrigen Unbekannten
y, z, ‥, a, b, … aus. Jedes ihr genügende Wertsystem dieser Un-
bekannten ist ein „zulässiges“, welches mit gewissen Werten von x
zusammen ein System von Wurzeln der Gleichung f = 0 liefert, und
sie kann auch charakterisirt werden als eine solche Relation zwischen
den Unbekannten ohne x, welche von der Gleichung f = 0 bedingt
wird und deren Erfülltsein die Auflösbarkeit „nach x“ der Gleichung
f = 0 garantirt, d. h. uns die Existenz von mindestens einem dieser
Gleichung genügenden Wurzelwerte x verbürgt; sie statuirt die „Valenz-
bedingung“ für x.
Da wir uns die Auflösung der Gleichung f = 0 nach der Un-
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 158. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/172>, abgerufen am 23.11.2024.
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