Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Auch in diesen beiden Grenzfällen, welche es (ungeachtet des Epi-
thetons der Selbstverständlichkeit beim einen) oft gar nicht leicht ist
als solche zu erkennen und nachzuweisen, liegt noch kein wirkliches
Auflösungsproblem vor.

Dagegen tritt ein solches in jedem andern Falle in Kraft, und mit
seinesgleichen wollen wir uns nunmehr eingehend beschäftigen.

Darnach ist den fernern Betrachtungen jetzt die Voraussetzung
zugrunde zu legen: es gebe im Bereich der binären Relative zwar min-
destens ein System (eventuell auch viele Systeme) von Werten, welche
unter den in der Gleichung vorkommenden "Unbekannten" x, y, z, ..,
a, b, ... bezüglich verstanden, die Gleichung wahr machen, aber die
Werte dieser Buchstaben dürfen, wofern die Gleichung erfüllt sein soll,
doch auch nicht allesamt ganz nach Belieben angenommen werden --
m. a. W. die Gleichung sei weder absurd, noch eine Formel, indem sie
vielmehr eine wirkliche Beziehung, "Relation", zwischen den sämtlichen
Unbekannten statuirt resp. zu erfüllen fordert.

"Relation zwischen -" hier im weitesten Sinne verstanden. Die Re-
lation kann auch "zerfallen" in zumeist wol einfachere und schliesslich
nicht mehr zerfallende Relationen (Relationen im engeren Sinne) zwischen
denjenigen Unbekannten blos, welche dann noch in sie eingehen. Geht
aber in eine solche "Relation" nur mehr eine Unbekannte ein -- wie z. B.
wenn sich x 0' ergeben hätte --, so erscheint allerdings der Ausdruck
"Relation zwischen x, y, z, .." deplacirt und wäre durch den Ausdruck
"Relation für x" ersetzt zu denken. Die damit statuirte Beziehung wäre
dann eben eine uninäre. Es wäre aber wol zu umständlich, wollten wir
allgemein immerfort von "Relationen zwischen den und eventuell für die
Unbekannten" reden. Obendrein erscheint die Distinktion für unsre Theorie
unwesentlich, weil sich in ihr gerade mittelst der Gesamtaussage die Aus-
artungsfälle wenigstens äusserlich dem allgemeinen Falle einordnen, näm-
lich auch die Systeme und Alternativen von "zerfallenden" Relationen sich
formal als eine Relation zwischen sämtlichen Unbekannten darstellen lassen.

Heben wir alsdann unter den Unbekannten irgend eine -- x möge
sie heissen -- hervor, so kann in Hinsicht der übrigen Unbekannten
y, z, .. a, b, ... nur einer von diesen zwei Fällen vorliegen:

Entweder diese letzteren können samt und sonders nach Belieben
angenommen werden, indem es zu jedem System von Werten, welches
denselben beigelegt werden mag, einen Wert oder Werte von x gibt,
welche mit ihm zusammen ein "System von Wurzeln" der Gleichung
f = 0 bilden. Oder solches trifft nicht zu.

Im ersten (Unter-)Falle sagen wir, die Elimination der Unbekannten x
aus der Gleichung f = 0 liefere "keine" Resultante, oder "die Resul-
tante dieser Elimination" sei die Gleichung 0 = 0, aus der Gleichung

Auch in diesen beiden Grenzfällen, welche es (ungeachtet des Epi-
thetons der Selbstverständlichkeit beim einen) oft gar nicht leicht ist
als solche zu erkennen und nachzuweisen, liegt noch kein wirkliches
Auflösungsproblem vor.

Dagegen tritt ein solches in jedem andern Falle in Kraft, und mit
seinesgleichen wollen wir uns nunmehr eingehend beschäftigen.

Darnach ist den fernern Betrachtungen jetzt die Voraussetzung
zugrunde zu legen: es gebe im Bereich der binären Relative zwar min-
destens ein System (eventuell auch viele Systeme) von Werten, welche
unter den in der Gleichung vorkommenden „Unbekannten“ x, y, z, ‥,
a, b, … bezüglich verstanden, die Gleichung wahr machen, aber die
Werte dieser Buchstaben dürfen, wofern die Gleichung erfüllt sein soll,
doch auch nicht allesamt ganz nach Belieben angenommen werden —
m. a. W. die Gleichung sei weder absurd, noch eine Formel, indem sie
vielmehr eine wirkliche Beziehung, „Relation“, zwischen den sämtlichen
Unbekannten statuirt resp. zu erfüllen fordert.

„Relation zwischen -“ hier im weitesten Sinne verstanden. Die Re-
lation kann auch „zerfallen“ in zumeist wol einfachere und schliesslich
nicht mehr zerfallende Relationen (Relationen im engeren Sinne) zwischen
denjenigen Unbekannten blos, welche dann noch in sie eingehen. Geht
aber in eine solche „Relation“ nur mehr eine Unbekannte ein — wie z. B.
wenn sich x ⋹ 0' ergeben hätte —, so erscheint allerdings der Ausdruck
„Relation zwischen x, y, z, ‥“ deplacirt und wäre durch den Ausdruck
„Relation für x“ ersetzt zu denken. Die damit statuirte Beziehung wäre
dann eben eine uninäre. Es wäre aber wol zu umständlich, wollten wir
allgemein immerfort von „Relationen zwischen den und eventuell für die
Unbekannten“ reden. Obendrein erscheint die Distinktion für unsre Theorie
unwesentlich, weil sich in ihr gerade mittelst der Gesamtaussage die Aus-
artungsfälle wenigstens äusserlich dem allgemeinen Falle einordnen, näm-
lich auch die Systeme und Alternativen von „zerfallenden“ Relationen sich
formal als eine Relation zwischen sämtlichen Unbekannten darstellen lassen.

Heben wir alsdann unter den Unbekannten irgend eine — x möge
sie heissen — hervor, so kann in Hinsicht der übrigen Unbekannten
y, z, ‥ a, b, … nur einer von diesen zwei Fällen vorliegen:

Entweder diese letzteren können samt und sonders nach Belieben
angenommen werden, indem es zu jedem System von Werten, welches
denselben beigelegt werden mag, einen Wert oder Werte von x gibt,
welche mit ihm zusammen ein „System von Wurzeln“ der Gleichung
f = 0 bilden. Oder solches trifft nicht zu.

Im ersten (Unter-)Falle sagen wir, die Elimination der Unbekannten x
aus der Gleichung f = 0 liefere „keine“ Resultante, oder „die Resul-
tante dieser Elimination“ sei die Gleichung 0 = 0, aus der Gleichung