nicht völlig bestimmbaren Relativsymbols uinfinity bezeichnen kann; desgleichen einen mindest umfassenden oder Minimalwert des b, welcher noch der Forderung uinfinityb genügt (der eventuell freilich = 1 sein kann) und demnach die "obere Grenze" (limes superior) für uinfinity heisse.
Und man wird nicht selten sagen können, dass ul von einem hin- reichend grossen l ab beständig zwischen diesen beiden Grenzen schwanke, nur "Zwischenwerte" zwischen denselben durchlaufend oder annehmend.
[Mit dem letztern Zusatze indessen, obwohl er häufig zutreffen wird -- insbesondre stets bei endlicher Elementezahl des Denkbereiches mithin auch endlicher Stellenzahl der Matrix -- dürfte für manche Fälle doch zuviel gesagt sein.
Gibt es z. B. für jede "definitiv besetzte" Stelle ij eine Zahl n, nach deren Überschreitung durch l die Stelle nicht mehr als eine Leerstelle in ul auftreten wird, so gibt es allerdings auch für jede endliche Menge von solchen Stellen ij eine Zahl -- in Gestalt des grössten der den Stellen der Menge einzeln zugeordneten Werten -- von der Eigenschaft, dass, nachdem l sie überschritten hat, alle genannten Stellen ihre endgültige Besetzung gefunden haben müssen und nie mehr in ul zu Leerstellen werden können. Allein wenn die Menge der in Betracht zu ziehenden Stellen unbegrenzt zunimmt, bleibt es fraglich und künftigen subtilern Untersuchungen vorbehalten zu entscheiden, ob nicht dieser grösste unter allen (kleinsten) Werten n (die zu jeder Stelle gehören) dann in der Zahlenreihe immer weiter hinausrückt und die Reihe der Werte n, als eine selbst unbegrenzt wachsende, keinen Wert als grössten einschliesst. Dann würde zwar für jede einzelne Stelle eine Zahl l = n angebbar, von der ab die Stelle in ul ihre endgültige Besetzung gefunden hat, für die Gesamt- heit aller definitiv zu besetzenden Stellen aber gleichwohl nicht. Etc.]
Von der Frage der Konvergenz oder Divergenz des allgemeinen Gliedes (Terms) ul unsrer Reihe ist wohl zu unterscheiden die Frage nach Konvergenz oder Divergenz der Reihe selber, wenn deren Terme durch eine knüpfende Operation (z. B. Spezies) verbunden gedacht werden. Werden die Terme der Reihe durch eine identische Spezies mit einander verknüpft, so erhalten wir ein "unendliches Produkt" oder eine "unendliche Summe" schlechtweg (oder "Reihe" im engern Sinne). Dann ist das Knüpfungsergebniss aus den l + 1 ersten 6)
Ul = u0u1u2 ... ul
Ul = u0 + u1 + u2 + ... + ul
d. i. "der produktatorische Faktor" resp. das sogenannte "summatorische Glied" der Reihe derjenige allgemeine Term, um dessen Konvergenz es sich im letztern Falle handelt.
Hier gilt der bemerkenswerte Doppelsatz: Jedes identische unend- liche Produkt und jede identische unendliche Summe ist konvergent. Und zwar selbst dann, wenn auch der allgemeine Term ul divergiren sollte: wir haben in unsrer Disziplin konvergente Produkte aus divergenten
Fünfte Vorlesung.
nicht völlig bestimmbaren Relativsymbols u∞ bezeichnen kann; desgleichen einen mindest umfassenden oder Minimalwert des b, welcher noch der Forderung u∞ ⋹ b genügt (der eventuell freilich = 1 sein kann) und demnach die „obere Grenze“ (limes superior) für u∞ heisse.
Und man wird nicht selten sagen können, dass uλ von einem hin- reichend grossen λ ab beständig zwischen diesen beiden Grenzen schwanke, nur „Zwischenwerte“ zwischen denselben durchlaufend oder annehmend.
[Mit dem letztern Zusatze indessen, obwohl er häufig zutreffen wird — insbesondre stets bei endlicher Elementezahl des Denkbereiches mithin auch endlicher Stellenzahl der Matrix — dürfte für manche Fälle doch zuviel gesagt sein.
Gibt es z. B. für jede „definitiv besetzte“ Stelle ij eine Zahl n, nach deren Überschreitung durch λ die Stelle nicht mehr als eine Leerstelle in uλ auftreten wird, so gibt es allerdings auch für jede endliche Menge von solchen Stellen ij eine Zahl — in Gestalt des grössten der den Stellen der Menge einzeln zugeordneten Werten — von der Eigenschaft, dass, nachdem λ sie überschritten hat, alle genannten Stellen ihre endgültige Besetzung gefunden haben müssen und nie mehr in uλ zu Leerstellen werden können. Allein wenn die Menge der in Betracht zu ziehenden Stellen unbegrenzt zunimmt, bleibt es fraglich und künftigen subtilern Untersuchungen vorbehalten zu entscheiden, ob nicht dieser grösste unter allen (kleinsten) Werten n (die zu jeder Stelle gehören) dann in der Zahlenreihe immer weiter hinausrückt und die Reihe der Werte n, als eine selbst unbegrenzt wachsende, keinen Wert als grössten einschliesst. Dann würde zwar für jede einzelne Stelle eine Zahl λ = n angebbar, von der ab die Stelle in uλ ihre endgültige Besetzung gefunden hat, für die Gesamt- heit aller definitiv zu besetzenden Stellen aber gleichwohl nicht. Etc.]
Von der Frage der Konvergenz oder Divergenz des allgemeinen Gliedes (Terms) uλ unsrer Reihe ist wohl zu unterscheiden die Frage nach Konvergenz oder Divergenz der Reihe selber, wenn deren Terme durch eine knüpfende Operation (z. B. Spezies) verbunden gedacht werden. Werden die Terme der Reihe durch eine identische Spezies mit einander verknüpft, so erhalten wir ein „unendliches Produkt“ oder eine „unendliche Summe“ schlechtweg (oder „Reihe“ im engern Sinne). Dann ist das Knüpfungsergebniss aus den λ + 1 ersten 6)
Uλ = u0u1u2 … uλ
Uλ = u0 + u1 + u2 + … + uλ
d. i. „der produktatorische Faktor“ resp. das sogenannte „summatorische Glied“ der Reihe derjenige allgemeine Term, um dessen Konvergenz es sich im letztern Falle handelt.
Hier gilt der bemerkenswerte Doppelsatz: Jedes identische unend- liche Produkt und jede identische unendliche Summe ist konvergent. Und zwar selbst dann, wenn auch der allgemeine Term uλ divergiren sollte: wir haben in unsrer Disziplin konvergente Produkte aus divergenten
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Fünfte Vorlesung.
nicht völlig bestimmbaren Relativsymbols u∞ bezeichnen kann; desgleichen
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Forderung u∞ ⋹ b genügt (der eventuell freilich = 1 sein kann) und
demnach die „obere Grenze“ (limes superior) für u∞ heisse.
Und man wird nicht selten sagen können, dass uλ von einem hin-
reichend grossen λ ab beständig zwischen diesen beiden Grenzen schwanke,
nur „Zwischenwerte“ zwischen denselben durchlaufend oder annehmend.
[Mit dem letztern Zusatze indessen, obwohl er häufig zutreffen wird
— insbesondre stets bei endlicher Elementezahl des Denkbereiches mithin
auch endlicher Stellenzahl der Matrix — dürfte für manche Fälle doch
zuviel gesagt sein.
Gibt es z. B. für jede „definitiv besetzte“ Stelle ij eine Zahl n, nach
deren Überschreitung durch λ die Stelle nicht mehr als eine Leerstelle
in uλ auftreten wird, so gibt es allerdings auch für jede endliche Menge
von solchen Stellen ij eine Zahl — in Gestalt des grössten der den Stellen
der Menge einzeln zugeordneten Werten — von der Eigenschaft, dass,
nachdem λ sie überschritten hat, alle genannten Stellen ihre endgültige
Besetzung gefunden haben müssen und nie mehr in uλ zu Leerstellen
werden können. Allein wenn die Menge der in Betracht zu ziehenden
Stellen unbegrenzt zunimmt, bleibt es fraglich und künftigen subtilern
Untersuchungen vorbehalten zu entscheiden, ob nicht dieser grösste unter
allen (kleinsten) Werten n (die zu jeder Stelle gehören) dann in der
Zahlenreihe immer weiter hinausrückt und die Reihe der Werte n, als eine
selbst unbegrenzt wachsende, keinen Wert als grössten einschliesst. Dann
würde zwar für jede einzelne Stelle eine Zahl λ = n angebbar, von der ab
die Stelle in uλ ihre endgültige Besetzung gefunden hat, für die Gesamt-
heit aller definitiv zu besetzenden Stellen aber gleichwohl nicht. Etc.]
Von der Frage der Konvergenz oder Divergenz des allgemeinen
Gliedes (Terms) uλ unsrer Reihe ist wohl zu unterscheiden die Frage
nach Konvergenz oder Divergenz der Reihe selber, wenn deren Terme
durch eine knüpfende Operation (z. B. Spezies) verbunden gedacht
werden. Werden die Terme der Reihe durch eine identische Spezies
mit einander verknüpft, so erhalten wir ein „unendliches Produkt“ oder
eine „unendliche Summe“ schlechtweg (oder „Reihe“ im engern Sinne).
Dann ist das Knüpfungsergebniss aus den λ + 1 ersten
6) Uλ = u0u1u2 … uλ Uλ = u0 + u1 + u2 + … + uλ
d. i. „der produktatorische Faktor“ resp. das sogenannte „summatorische
Glied“ der Reihe derjenige allgemeine Term, um dessen Konvergenz
es sich im letztern Falle handelt.
Hier gilt der bemerkenswerte Doppelsatz: Jedes identische unend-
liche Produkt und jede identische unendliche Summe ist konvergent. Und
zwar selbst dann, wenn auch der allgemeine Term uλ divergiren sollte:
wir haben in unsrer Disziplin konvergente Produkte aus divergenten
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 182. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/196>, abgerufen am 23.11.2024.
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