Faktoren und konvergente Summen (Reihen) mit divergenten Gliedern -- dergleichen in der arithmetischen Analysis für Paradoxieen zu er- klären wären! Allemal hat 7)
Uinfinity = u0u1u2u3 ...
Uinfinity = u0 + u1 + u2 + u3 + ... (in infinitum)
unbedingt einen Sinn und völlig bestimmten Wert im Gebiet der binären Relative.
Dies ist verhältnissmässig leicht hier einzusehen. Es beruht darauf, dass in dem Ul links jede Leerstelle definitiv eine solche bleibt, wie viele Faktoren ul bei wachsendem l auch noch zum Produkt der bisherigen hinzutreten mögen, bei dem Ul rechts aber jede besetzte Stelle ihr Auge permanent, untilgbar beibehalten muss, wie viele Glieder ul zur Summe der bereits vereinigten auch noch hinzutreten mögen. Genauer gesagt: weil
[Formel 1]
definirt ist -- für jede Auswahl, z. B. Reihe, von Werten u als Erstreckung des P, der S -- so wird es für eine bestimmte Stelle ij nur zwei Mög- lichkeiten geben und zwar:
Links: entweder gibt es eine Zahl n für welche ul bei ij eine Leer- stelle hat, (un)i j = 0 ist, oder nicht. Im erstern Falle hat auch Ul für jedes l > n bei ij eine Leerstelle und wird diese zur definitiv unbesetzten. Im letztern Falle muss nach l jedes (ul)i j gleich 1 sein und bleibt die Stelle eine definitiv besetzte.
Rechts: entweder gibt es ein n für welches ul bei ij ein Auge trägt, (un)i j = 1 ist, oder solches trifft nicht zu. Im erstern Falle hat auch Ul für jedes l > n an der Stelle ij ein Auge und diese wird zur definitiv besetzten. Im letztern Falle sind nach l alle (ul)i j gleich 0 und bleibt die Stelle endgültig leer.
Zu links wie rechts (vom Mittelstriche) erweisen also sämtliche Stellen der Matrix von Ul sich als entweder definitiv besetzte oder definitiv un- besetzte und kann es ein Drittes, kann es oszillatorische Stellen überhaupt nicht geben -- q. e. d.
Dass bei vorstehender Überlegung das numerische Moment der Zahlen- zeiger nur eine nebensächliche Rolle spielt, wird der einsichtsvolle Leser sogleich übersehen.
Die Überlegungen bleiben auch stichhaltig, falls etwa in Plul der Zeiger l ein "Kontinuum" von Zahlenwerten zu durchlaufen hätte.
Satz und Beweis gelten wesentlich auch für
[Formel 2]
und
[Formel 3]
, wie immer der Erstreckungsbereich beschaffen sein möge.
Denn was z. B. das Pu betrifft, so muss es zu irgend einem Suffix ij im Erstreckungsbereiche entweder ein u geben, für welches ui j = 0 ist, oder nicht. Im erstern Falle hat Pu bei ij definitiv eine Leerstelle, im letztern, wo also "nach u alle" ui j = 1 sind, wird Pu bei ij eine definitiv besetzte Stelle haben, und ein Drittes (eine oszillatorisch besetzte Stelle) bleibt undenkbar.
Etc. (d. h. analog für
[Formel 4]
).
§ 13. Unendliche Summen und Produkte.
Faktoren und konvergente Summen (Reihen) mit divergenten Gliedern — dergleichen in der arithmetischen Analysis für Paradoxieen zu er- klären wären! Allemal hat 7)
U∞ = u0u1u2u3 …
U∞ = u0 + u1 + u2 + u3 + … (in infinitum)
unbedingt einen Sinn und völlig bestimmten Wert im Gebiet der binären Relative.
Dies ist verhältnissmässig leicht hier einzusehen. Es beruht darauf, dass in dem Uλ links jede Leerstelle definitiv eine solche bleibt, wie viele Faktoren uλ bei wachsendem λ auch noch zum Produkt der bisherigen hinzutreten mögen, bei dem Uλ rechts aber jede besetzte Stelle ihr Auge permanent, untilgbar beibehalten muss, wie viele Glieder uλ zur Summe der bereits vereinigten auch noch hinzutreten mögen. Genauer gesagt: weil
[Formel 1]
definirt ist — für jede Auswahl, z. B. Reihe, von Werten u als Erstreckung des Π, der Σ — so wird es für eine bestimmte Stelle ij nur zwei Mög- lichkeiten geben und zwar:
Links: entweder gibt es eine Zahl n für welche uλ bei ij eine Leer- stelle hat, (un)i j = 0 ist, oder nicht. Im erstern Falle hat auch Uλ für jedes λ > n bei ij eine Leerstelle und wird diese zur definitiv unbesetzten. Im letztern Falle muss nach λ jedes (uλ)i j gleich 1 sein und bleibt die Stelle eine definitiv besetzte.
Rechts: entweder gibt es ein n für welches uλ bei ij ein Auge trägt, (un)i j = 1 ist, oder solches trifft nicht zu. Im erstern Falle hat auch Uλ für jedes λ > n an der Stelle ij ein Auge und diese wird zur definitiv besetzten. Im letztern Falle sind nach λ alle (uλ)i j gleich 0 und bleibt die Stelle endgültig leer.
Zu links wie rechts (vom Mittelstriche) erweisen also sämtliche Stellen der Matrix von Uλ sich als entweder definitiv besetzte oder definitiv un- besetzte und kann es ein Drittes, kann es oszillatorische Stellen überhaupt nicht geben — q. e. d.
Dass bei vorstehender Überlegung das numerische Moment der Zahlen- zeiger nur eine nebensächliche Rolle spielt, wird der einsichtsvolle Leser sogleich übersehen.
Die Überlegungen bleiben auch stichhaltig, falls etwa in Πλuλ der Zeiger λ ein „Kontinuum“ von Zahlenwerten zu durchlaufen hätte.
Satz und Beweis gelten wesentlich auch für
[Formel 2]
und
[Formel 3]
, wie immer der Erstreckungsbereich beschaffen sein möge.
Denn was z. B. das Πu betrifft, so muss es zu irgend einem Suffix ij im Erstreckungsbereiche entweder ein u geben, für welches ui j = 0 ist, oder nicht. Im erstern Falle hat Πu bei ij definitiv eine Leerstelle, im letztern, wo also „nach u alle“ ui j = 1 sind, wird Πu bei ij eine definitiv besetzte Stelle haben, und ein Drittes (eine oszillatorisch besetzte Stelle) bleibt undenkbar.
Etc. (d. h. analog für
[Formel 4]
).
<TEI><text><body><divn="1"><divn="2"><p><pbfacs="#f0197"n="183"/><fwplace="top"type="header">§ 13. Unendliche Summen und Produkte.</fw><lb/>
Faktoren und konvergente Summen (Reihen) mit divergenten Gliedern<lb/>— dergleichen in der arithmetischen Analysis für Paradoxieen zu er-<lb/>
klären wären! Allemal hat<lb/>
7) <table><lb/><row><cell><hirendition="#i">U</hi><hirendition="#sub">∞</hi> = <hirendition="#i">u</hi><hirendition="#sub">0</hi><hirendition="#i">u</hi><hirendition="#sub">1</hi><hirendition="#i">u</hi><hirendition="#sub">2</hi><hirendition="#i">u</hi><hirendition="#sub">3</hi>…</cell><cell><hirendition="#i">U</hi><hirendition="#sub">∞</hi> = <hirendition="#i">u</hi><hirendition="#sub">0</hi> + <hirendition="#i">u</hi><hirendition="#sub">1</hi> + <hirendition="#i">u</hi><hirendition="#sub">2</hi> + <hirendition="#i">u</hi><hirendition="#sub">3</hi> + … (in infinitum)</cell></row><lb/></table> unbedingt einen Sinn und völlig bestimmten Wert im Gebiet der<lb/>
binären Relative.</p><lb/><p>Dies ist verhältnissmässig leicht hier einzusehen. Es beruht darauf,<lb/>
dass in dem <hirendition="#i">U<hirendition="#sub">λ</hi></hi> links jede Leerstelle definitiv eine solche bleibt, wie viele<lb/>
Faktoren <hirendition="#i">u<hirendition="#sub">λ</hi></hi> bei wachsendem <hirendition="#i">λ</hi> auch noch zum Produkt der bisherigen<lb/>
hinzutreten mögen, bei dem <hirendition="#i">U<hirendition="#sub">λ</hi></hi> rechts aber jede besetzte Stelle ihr Auge<lb/>
permanent, untilgbar beibehalten muss, wie viele Glieder <hirendition="#i">u<hirendition="#sub">λ</hi></hi> zur Summe<lb/>
der bereits vereinigten auch noch hinzutreten mögen. Genauer gesagt: weil<lb/><hirendition="#c"><formula/></hi> definirt ist — für jede Auswahl, z. B. Reihe, von Werten <hirendition="#i">u</hi> als Erstreckung<lb/>
des <hirendition="#i">Π</hi>, der <hirendition="#i">Σ</hi>— so wird es für eine bestimmte Stelle <hirendition="#i">ij</hi> nur zwei Mög-<lb/>
lichkeiten geben und zwar:</p><lb/><p><hirendition="#g">Links</hi>: entweder gibt es eine Zahl <hirendition="#i">n</hi> für welche <hirendition="#i">u<hirendition="#sub">λ</hi></hi> bei <hirendition="#i">ij</hi> eine Leer-<lb/>
stelle hat, (<hirendition="#i">u<hirendition="#sub">n</hi></hi>)<hirendition="#i"><hirendition="#sub">i j</hi></hi> = 0 ist, oder nicht. Im erstern Falle hat auch <hirendition="#i">U<hirendition="#sub">λ</hi></hi> für<lb/>
jedes <hirendition="#i">λ</hi>><hirendition="#i">n</hi> bei <hirendition="#i">ij</hi> eine Leerstelle und wird diese zur definitiv unbesetzten.<lb/>
Im letztern Falle muss <hirendition="#i">nach λ jedes</hi> (<hirendition="#i">u<hirendition="#sub">λ</hi></hi>)<hirendition="#i"><hirendition="#sub">i j</hi></hi> gleich 1 sein und bleibt die<lb/>
Stelle eine definitiv besetzte.</p><lb/><p><hirendition="#g">Rechts</hi>: entweder gibt es ein <hirendition="#i">n</hi> für welches <hirendition="#i">u<hirendition="#sub">λ</hi></hi> bei <hirendition="#i">ij</hi> ein Auge trägt,<lb/>
(<hirendition="#i">u<hirendition="#sub">n</hi></hi>)<hirendition="#i"><hirendition="#sub">i j</hi></hi> = 1 ist, oder solches trifft nicht zu. Im erstern Falle hat auch <hirendition="#i">U<hirendition="#sub">λ</hi></hi><lb/>
für jedes <hirendition="#i">λ</hi>><hirendition="#i">n</hi> an der Stelle <hirendition="#i">ij</hi> ein Auge und diese wird zur definitiv<lb/>
besetzten. Im letztern Falle sind nach <hirendition="#i">λ</hi> alle (<hirendition="#i">u<hirendition="#sub">λ</hi></hi>)<hirendition="#i"><hirendition="#sub">i j</hi></hi> gleich 0 und bleibt<lb/>
die Stelle endgültig leer.</p><lb/><p>Zu links wie rechts (vom Mittelstriche) erweisen also sämtliche Stellen<lb/>
der Matrix von <hirendition="#i">U<hirendition="#sub">λ</hi></hi> sich als entweder definitiv besetzte oder definitiv un-<lb/>
besetzte und kann es ein Drittes, kann es oszillatorische Stellen überhaupt<lb/>
nicht geben — q. e. d.</p><lb/><p>Dass bei vorstehender Überlegung das numerische Moment der <hirendition="#i">Zahlen</hi>-<lb/>
zeiger nur eine nebensächliche Rolle spielt, wird der einsichtsvolle Leser<lb/>
sogleich übersehen.</p><lb/><p>Die Überlegungen bleiben auch stichhaltig, falls etwa in <hirendition="#i">Π<hirendition="#sub">λ</hi>u<hirendition="#sub">λ</hi></hi> der<lb/>
Zeiger <hirendition="#i">λ</hi> ein „Kontinuum“ von Zahlenwerten zu durchlaufen hätte.</p><lb/><p>Satz und Beweis gelten wesentlich auch für <formula/> und <formula/>, wie immer<lb/>
der Erstreckungsbereich beschaffen sein möge.</p><lb/><p>Denn was z. B. das <hirendition="#i">Π<hirendition="#sub">u</hi></hi> betrifft, so muss es zu irgend einem Suffix <hirendition="#i">ij</hi><lb/>
im Erstreckungsbereiche entweder ein <hirendition="#i">u</hi> geben, für welches <hirendition="#i">u<hirendition="#sub">i j</hi></hi> = 0 ist,<lb/>
oder nicht. Im erstern Falle hat <hirendition="#i">Π<hirendition="#sub">u</hi></hi> bei <hirendition="#i">ij</hi> definitiv eine Leerstelle, im<lb/>
letztern, wo also „nach <hirendition="#i">u alle</hi>“<hirendition="#i">u<hirendition="#sub">i j</hi></hi> = 1 sind, wird <hirendition="#i">Π<hirendition="#sub">u</hi></hi> bei <hirendition="#i">ij</hi> eine definitiv<lb/>
besetzte Stelle haben, und ein Drittes (eine oszillatorisch besetzte Stelle)<lb/>
bleibt undenkbar.</p><lb/><p>Etc. (d. h. analog für <formula/>).</p><lb/></div></div></body></text></TEI>
[183/0197]
§ 13. Unendliche Summen und Produkte.
Faktoren und konvergente Summen (Reihen) mit divergenten Gliedern
— dergleichen in der arithmetischen Analysis für Paradoxieen zu er-
klären wären! Allemal hat
7) U∞ = u0u1u2u3 … U∞ = u0 + u1 + u2 + u3 + … (in infinitum)
unbedingt einen Sinn und völlig bestimmten Wert im Gebiet der
binären Relative.
Dies ist verhältnissmässig leicht hier einzusehen. Es beruht darauf,
dass in dem Uλ links jede Leerstelle definitiv eine solche bleibt, wie viele
Faktoren uλ bei wachsendem λ auch noch zum Produkt der bisherigen
hinzutreten mögen, bei dem Uλ rechts aber jede besetzte Stelle ihr Auge
permanent, untilgbar beibehalten muss, wie viele Glieder uλ zur Summe
der bereits vereinigten auch noch hinzutreten mögen. Genauer gesagt: weil
[FORMEL] definirt ist — für jede Auswahl, z. B. Reihe, von Werten u als Erstreckung
des Π, der Σ — so wird es für eine bestimmte Stelle ij nur zwei Mög-
lichkeiten geben und zwar:
Links: entweder gibt es eine Zahl n für welche uλ bei ij eine Leer-
stelle hat, (un)i j = 0 ist, oder nicht. Im erstern Falle hat auch Uλ für
jedes λ > n bei ij eine Leerstelle und wird diese zur definitiv unbesetzten.
Im letztern Falle muss nach λ jedes (uλ)i j gleich 1 sein und bleibt die
Stelle eine definitiv besetzte.
Rechts: entweder gibt es ein n für welches uλ bei ij ein Auge trägt,
(un)i j = 1 ist, oder solches trifft nicht zu. Im erstern Falle hat auch Uλ
für jedes λ > n an der Stelle ij ein Auge und diese wird zur definitiv
besetzten. Im letztern Falle sind nach λ alle (uλ)i j gleich 0 und bleibt
die Stelle endgültig leer.
Zu links wie rechts (vom Mittelstriche) erweisen also sämtliche Stellen
der Matrix von Uλ sich als entweder definitiv besetzte oder definitiv un-
besetzte und kann es ein Drittes, kann es oszillatorische Stellen überhaupt
nicht geben — q. e. d.
Dass bei vorstehender Überlegung das numerische Moment der Zahlen-
zeiger nur eine nebensächliche Rolle spielt, wird der einsichtsvolle Leser
sogleich übersehen.
Die Überlegungen bleiben auch stichhaltig, falls etwa in Πλuλ der
Zeiger λ ein „Kontinuum“ von Zahlenwerten zu durchlaufen hätte.
Satz und Beweis gelten wesentlich auch für [FORMEL] und [FORMEL], wie immer
der Erstreckungsbereich beschaffen sein möge.
Denn was z. B. das Πu betrifft, so muss es zu irgend einem Suffix ij
im Erstreckungsbereiche entweder ein u geben, für welches ui j = 0 ist,
oder nicht. Im erstern Falle hat Πu bei ij definitiv eine Leerstelle, im
letztern, wo also „nach u alle“ ui j = 1 sind, wird Πu bei ij eine definitiv
besetzte Stelle haben, und ein Drittes (eine oszillatorisch besetzte Stelle)
bleibt undenkbar.
Etc. (d. h. analog für [FORMEL]).
Informationen zur CAB-Ansicht
Diese Ansicht bietet Ihnen die Darstellung des Textes in normalisierter Orthographie.
Diese Textvariante wird vollautomatisch erstellt und kann aufgrund dessen auch Fehler enthalten.
Alle veränderten Wortformen sind grau hinterlegt. Als fremdsprachliches Material erkannte
Textteile sind ausgegraut dargestellt.
Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 183. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/197>, abgerufen am 23.11.2024.
Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer
Creative-Commons-Lizenz.
Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken.
Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.
Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf
diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken
dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder
nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der
Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden.
Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des
§ 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen
Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung
der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu
vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.
Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.
