Für relative unendliche Produkte und Summen gilt ein ähnlicher Satz in gleicher Allgemeinheit nicht. Man thut dies leicht durch Bei- spiele dar, z. B. beim relativen Produkt schon für den Fall durchweg gleicher Faktoren.
Ein relatives Produkt von lauter gleichen Faktoren nennen wir "Potenz".
Wir definiren, wenn l eine natürliche Zahl vorstellt, die Potenz (u;)l sive (; u)l, einfacher: ul (u hoch l), entweder "durch Induktion" ("rekurri- rend") mittelst der Festsetzung: 8) u1 = u, u2 = u ; u, ..., ul + 1 = ul ; u, oder auch "independent" als: 9)
[Formel 1]
.
Es folgen die bekannten Sätze wie für die Potenzen der Arithmetik: 10) ul + 1 = u ; ul, uk ; ul = uk + l = ul ; uk, (uk)l = uk x l = (ul)k.
Durch ein zugefügtes Adjektiv die "Potenz" als eine "relative" zu charakterisiren ist überflüssig, weil durch das Tautologiegesetz uu = u jeder Möglichkeit vorgebeugt, es vorweg ausgeschlossen, präkludirt ist, die "Potenz" als ein identisches Produkt (aus gleichen Faktoren) misszuverstehen.
Auch hier spielen mit den Exponenten wieder Zahlen vorzeitig eine Rolle. Wen das genirt der möge ul nur wie einen "stenographischen Schlüssel", ein konventionelles Zeichen zur Vereinfachung der Schrift, be- quemlichkeitshalber dulden.
Das duale Gegenstück zur Potenz ist die relative Summe aus lauter gleichen Summanden: 11)
[Formel 2]
.
Ich will sie "iterirte" oder "iterative Summe" gelegentlich nennen. Wollte man die Analogie mit den arithmetischen Gebilden in der Be- zeichnung noch weiter treiben, so hätte an Stelle der vorstehend dafür eingeführten Abkürzung -- die mit der Schreibung (u;)l für ul parallel geht -- eine andre gewählt werden müssen, bei der der Iterations- exponent l wie ein "Multiplikator" hinter das u zu treten hätte. Wir würden dann aber dreierlei -- und die arithmetische eingerechnet -- viererlei Multiplikationen und ebensoviele Malzeichen zu unterscheiden bekommen, was entschieden zu viel ist ("Aller guten Dinge sind drei").
Die dualen Gegenstücke zu den obigen Potenzgesetzen mag der Leser nun selbst sich zu Papier oder zum Bewusstsein bringen.
Also es ist behauptet: schon die Potenz ul divergirt im Allgemeinen.
Dies zeigt schon ein so einfaches Beispiel, wie beim Denkbereich 1 1/3 von nur drei Elementen die Annahme:
Fünfte Vorlesung.
Für relative unendliche Produkte und Summen gilt ein ähnlicher Satz in gleicher Allgemeinheit nicht. Man thut dies leicht durch Bei- spiele dar, z. B. beim relativen Produkt schon für den Fall durchweg gleicher Faktoren.
Ein relatives Produkt von lauter gleichen Faktoren nennen wir „Potenz“.
Wir definiren, wenn λ eine natürliche Zahl vorstellt, die Potenz (u;)λ sive (; u)λ, einfacher: uλ (u hoch λ), entweder „durch Induktion“ („rekurri- rend“) mittelst der Festsetzung: 8) u1 = u, u2 = u ; u, …, uλ + 1 = uλ ; u, oder auch „independent“ als: 9)
[Formel 1]
.
Es folgen die bekannten Sätze wie für die Potenzen der Arithmetik: 10) uλ + 1 = u ; uλ, uϰ ; uλ = uϰ + λ = uλ ; uϰ, (uϰ)λ = uϰ × λ = (uλ)ϰ.
Durch ein zugefügtes Adjektiv die „Potenz“ als eine „relative“ zu charakterisiren ist überflüssig, weil durch das Tautologiegesetz uu = u jeder Möglichkeit vorgebeugt, es vorweg ausgeschlossen, präkludirt ist, die „Potenz“ als ein identisches Produkt (aus gleichen Faktoren) misszuverstehen.
Auch hier spielen mit den Exponenten wieder Zahlen vorzeitig eine Rolle. Wen das genirt der möge uλ nur wie einen „stenographischen Schlüssel“, ein konventionelles Zeichen zur Vereinfachung der Schrift, be- quemlichkeitshalber dulden.
Das duale Gegenstück zur Potenz ist die relative Summe aus lauter gleichen Summanden: 11)
[Formel 2]
.
Ich will sie „iterirte“ oder „iterative Summe“ gelegentlich nennen. Wollte man die Analogie mit den arithmetischen Gebilden in der Be- zeichnung noch weiter treiben, so hätte an Stelle der vorstehend dafür eingeführten Abkürzung — die mit der Schreibung (u;)λ für uλ parallel geht — eine andre gewählt werden müssen, bei der der Iterations- exponent λ wie ein „Multiplikator“ hinter das u zu treten hätte. Wir würden dann aber dreierlei — und die arithmetische eingerechnet — viererlei Multiplikationen und ebensoviele Malzeichen zu unterscheiden bekommen, was entschieden zu viel ist (“Aller guten Dinge sind drei“).
Die dualen Gegenstücke zu den obigen Potenzgesetzen mag der Leser nun selbst sich zu Papier oder zum Bewusstsein bringen.
Also es ist behauptet: schon die Potenz uλ divergirt im Allgemeinen.
Dies zeigt schon ein so einfaches Beispiel, wie beim Denkbereich 1 ⅓ von nur drei Elementen die Annahme:
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[184/0198]
Fünfte Vorlesung.
Für relative unendliche Produkte und Summen gilt ein ähnlicher
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spiele dar, z. B. beim relativen Produkt schon für den Fall durchweg
gleicher Faktoren.
Ein relatives Produkt von lauter gleichen Faktoren nennen wir
„Potenz“.
Wir definiren, wenn λ eine natürliche Zahl vorstellt, die Potenz (u;)λ
sive (; u)λ, einfacher: uλ (u hoch λ), entweder „durch Induktion“ („rekurri-
rend“) mittelst der Festsetzung:
8) u1 = u, u2 = u ; u, …, uλ + 1 = uλ ; u,
oder auch „independent“ als:
9) [FORMEL].
Es folgen die bekannten Sätze wie für die Potenzen der Arithmetik:
10) uλ + 1 = u ; uλ, uϰ ; uλ = uϰ + λ = uλ ; uϰ, (uϰ)λ = uϰ × λ = (uλ)ϰ.
Durch ein zugefügtes Adjektiv die „Potenz“ als eine „relative“ zu
charakterisiren ist überflüssig, weil durch das Tautologiegesetz uu = u jeder
Möglichkeit vorgebeugt, es vorweg ausgeschlossen, präkludirt ist, die „Potenz“
als ein identisches Produkt (aus gleichen Faktoren) misszuverstehen.
Auch hier spielen mit den Exponenten wieder Zahlen vorzeitig eine
Rolle. Wen das genirt der möge uλ nur wie einen „stenographischen
Schlüssel“, ein konventionelles Zeichen zur Vereinfachung der Schrift, be-
quemlichkeitshalber dulden.
Das duale Gegenstück zur Potenz ist die relative Summe aus lauter
gleichen Summanden:
11) [FORMEL].
Ich will sie „iterirte“ oder „iterative Summe“ gelegentlich nennen.
Wollte man die Analogie mit den arithmetischen Gebilden in der Be-
zeichnung noch weiter treiben, so hätte an Stelle der vorstehend dafür
eingeführten Abkürzung — die mit der Schreibung (u;)λ für uλ parallel
geht — eine andre gewählt werden müssen, bei der der Iterations-
exponent λ wie ein „Multiplikator“ hinter das u zu treten hätte. Wir
würden dann aber dreierlei — und die arithmetische eingerechnet —
viererlei Multiplikationen und ebensoviele Malzeichen zu unterscheiden
bekommen, was entschieden zu viel ist (“Aller guten Dinge sind drei“).
Die dualen Gegenstücke zu den obigen Potenzgesetzen mag der
Leser nun selbst sich zu Papier oder zum Bewusstsein bringen.
Also es ist behauptet: schon die Potenz uλ divergirt im Allgemeinen.
Dies zeigt schon ein so einfaches Beispiel, wie beim Denkbereich 1 ⅓
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 184. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/198>, abgerufen am 23.11.2024.
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