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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 13. Invarianz einer Funktion.

Dies ist im Allgemeinen von f(u) verschieden -- wie leicht z. B.
die Annahme b = an zeigt, wo für f(u) = au + anun nun f2(u) = u = f0(u)
wird, etc.

Dagegen wird im obigen allgemeinen Falle wieder: f3(u) = f(u),
f4(u) = f2(u), etc., allgemein:
f2k + 1(u) = f(u), f2k + 2(u) = f2(u),
mithin ist fr(u) divergent und finfinity(u) sinnlos, ausgenommen in dem
oben angeführten Sonderfalle, wo schon f2(u) = f(u) und diese Funk-
tion invariant ist.

Gibt es ein Zahlenpaar m, n derart, dass bei einer bestimmten
Funktion f(u) für jedes u ist:
fm + n(u) = fm(u),
so nennen wir die Funktion eine "periodisch (oder oszillirend) iterirende
mit einer Iterationsperiode n", oder schlechtweg "mit der Iterations-
periode n", falls n zugleich die kleinste Zahl von der genannten Eigen-
schaft sein sollte (die in ein solches Zahlenpaar m, n eingeht).

Darnach subsumirt sich der Begriff einer invarianten Funktion unter
denjenigen einer periodisch iterirenden Funktion von der Periode 1.

Während die Iterationen einer solchen konvergent sind, wird da-
gegen jede periodisch iterirende Funktion, deren Periode n > 1 ist, eine
divergent iterirende sein müssen.

Kürzehalber mag dies nur ein Beispiel erläutern. Sei etwa allgemein
-- wenn wir das stets hinzuzudenkende Argument (u) unterdrücken --
f8 = f5, so wird auch f9 = f6, f10 = f7, f11 = f5, f12 = f6, f13 = f7, f14 = f5,
u. s. w. Die Iterationen von f, deren Periode gleich 3 ist, werden also
ewig fort von einem der drei (als verschieden vorauszusetzen gewesenen)
Werte f5, f6, f7 zum andern im Ring herum (vom letzten wieder zum
ersten) oszilliren und finfinity ist keiner bestimmten Deutung fähig.

Solches gilt auch, wenn etwa m = 0, also fn(u) = u selbst sein sollte;
hier wiederholen sich dann beim unbegrenzt fortgesetzten Iteriren in ste-
tiger Folge die Werte f0, f, f2, f3, ..., fn -- 1, [f0 (oder u), f, etc.].

Für die allgemeine Funktion im identischen Kalkul hat sich oben gezeigt,
dass sie, sofern sie nicht invariant ist, eine periodisch iterirende mit der
Periode 2 sein muss.

Dass auch die relativen Operationen zur Bildung von Funktionen mit
divergenten Iterationen führen können (und im Allgemeinen führen werden)
zeigt schon das Beispiel f(u) = a ; u, in welchem fr(u) = ar ; u, gleichwie
die Potenz ar selbst, im Allgemeinen oszilliren wird.

Für die beiden in unserm Theorem 1) angegebnen Bedeutungen
von f(u) haben wir nun:
12)

fr + 1(u) = fr(u)ph{fr(u)}

fr + 1(u) = fr(u) + ps{fr(u)}.

§ 13. Invarianz einer Funktion.

Dies ist im Allgemeinen von f(u) verschieden — wie leicht z. B.
die Annahme b = ā zeigt, wo für f(u) = au + āū nun f2(u) = u = f0(u)
wird, etc.

Dagegen wird im obigen allgemeinen Falle wieder: f3(u) = f(u),
f4(u) = f2(u), etc., allgemein:
f2ϰ + 1(u) = f(u), f2ϰ + 2(u) = f2(u),
mithin ist fr(u) divergent und f∞(u) sinnlos, ausgenommen in dem
oben angeführten Sonderfalle, wo schon f2(u) = f(u) und diese Funk-
tion invariant ist.

Gibt es ein Zahlenpaar m, n derart, dass bei einer bestimmten
Funktion f(u) für jedes u ist:
fm + n(u) = fm(u),
so nennen wir die Funktion eine „periodisch (oder oszillirend) iterirende
mit einer Iterationsperiode n“, oder schlechtweg „mit der Iterations-
periode n“, falls n zugleich die kleinste Zahl von der genannten Eigen-
schaft sein sollte (die in ein solches Zahlenpaar m, n eingeht).

Darnach subsumirt sich der Begriff einer invarianten Funktion unter
denjenigen einer periodisch iterirenden Funktion von der Periode 1.

Während die Iterationen einer solchen konvergent sind, wird da-
gegen jede periodisch iterirende Funktion, deren Periode n > 1 ist, eine
divergent iterirende sein müssen.

Kürzehalber mag dies nur ein Beispiel erläutern. Sei etwa allgemein
— wenn wir das stets hinzuzudenkende Argument (u) unterdrücken —
f8 = f5, so wird auch f9 = f6, f10 = f7, f11 = f5, f12 = f6, f13 = f7, f14 = f5,
u. s. w. Die Iterationen von f, deren Periode gleich 3 ist, werden also
ewig fort von einem der drei (als verschieden vorauszusetzen gewesenen)
Werte f5, f6, f7 zum andern im Ring herum (vom letzten wieder zum
ersten) oszilliren und f∞ ist keiner bestimmten Deutung fähig.

Solches gilt auch, wenn etwa m = 0, also fn(u) = u selbst sein sollte;
hier wiederholen sich dann beim unbegrenzt fortgesetzten Iteriren in ste-
tiger Folge die Werte f0, f, f2, f3, …, fn — 1, [f0 (oder u), f, etc.].

Für die allgemeine Funktion im identischen Kalkul hat sich oben gezeigt,
dass sie, sofern sie nicht invariant ist, eine periodisch iterirende mit der
Periode 2 sein muss.

Für die beiden in unserm Theorem 1) angegebnen Bedeutungen
von f(u) haben wir nun:
12)

fr + 1(u) = fr(u)φ{fr(u)}

fr + 1(u) = fr(u) + ψ{fr(u)}.

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[187/0201] § 13. Invarianz einer Funktion. Dies ist im Allgemeinen von f(u) verschieden — wie leicht z. B. die Annahme b = ā zeigt, wo für f(u) = au + āū nun f2(u) = u = f0(u) wird, etc. Dagegen wird im obigen allgemeinen Falle wieder: f3(u) = f(u), f4(u) = f2(u), etc., allgemein: f2ϰ + 1(u) = f(u), f2ϰ + 2(u) = f2(u), mithin ist fr(u) divergent und f∞(u) sinnlos, ausgenommen in dem oben angeführten Sonderfalle, wo schon f2(u) = f(u) und diese Funk- tion invariant ist. Gibt es ein Zahlenpaar m, n derart, dass bei einer bestimmten Funktion f(u) für jedes u ist: fm + n(u) = fm(u), so nennen wir die Funktion eine „periodisch (oder oszillirend) iterirende mit einer Iterationsperiode n“, oder schlechtweg „mit der Iterations- periode n“, falls n zugleich die kleinste Zahl von der genannten Eigen- schaft sein sollte (die in ein solches Zahlenpaar m, n eingeht). Darnach subsumirt sich der Begriff einer invarianten Funktion unter denjenigen einer periodisch iterirenden Funktion von der Periode 1. Während die Iterationen einer solchen konvergent sind, wird da- gegen jede periodisch iterirende Funktion, deren Periode n > 1 ist, eine divergent iterirende sein müssen. Kürzehalber mag dies nur ein Beispiel erläutern. Sei etwa allgemein — wenn wir das stets hinzuzudenkende Argument (u) unterdrücken — f8 = f5, so wird auch f9 = f6, f10 = f7, f11 = f5, f12 = f6, f13 = f7, f14 = f5, u. s. w. Die Iterationen von f, deren Periode gleich 3 ist, werden also ewig fort von einem der drei (als verschieden vorauszusetzen gewesenen) Werte f5, f6, f7 zum andern im Ring herum (vom letzten wieder zum ersten) oszilliren und f∞ ist keiner bestimmten Deutung fähig. Solches gilt auch, wenn etwa m = 0, also fn(u) = u selbst sein sollte; hier wiederholen sich dann beim unbegrenzt fortgesetzten Iteriren in ste- tiger Folge die Werte f0, f, f2, f3, …, fn — 1, [f0 (oder u), f, etc.]. Für die allgemeine Funktion im identischen Kalkul hat sich oben gezeigt, dass sie, sofern sie nicht invariant ist, eine periodisch iterirende mit der Periode 2 sein muss. Dass auch die relativen Operationen zur Bildung von Funktionen mit divergenten Iterationen führen können (und im Allgemeinen führen werden) zeigt schon das Beispiel f(u) = a ; u, in welchem fr(u) = ar ; u, gleichwie die Potenz ar selbst, im Allgemeinen oszilliren wird. Für die beiden in unserm Theorem 1) angegebnen Bedeutungen von f(u) haben wir nun: 12) fr + 1(u) = fr(u)φ{fr(u)} fr + 1(u) = fr(u) + ψ{fr(u)}.

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 187. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/201>, abgerufen am 23.11.2024.

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