Beim successiven Berechnen der Iterationen von f tritt also zu dem schon vorhandnen Ausdrucke von fr(u) immer nur ein Faktor: "ph von allem Bisherigen", resp. ein Summand: "ps von allem Bisherigen" hinzu und ist das Bildungsgesetz der iterirten Funktionen leicht zu über- schauen, wennschon die Ausdrücke für dieselben bei wachsendem Ex- ponenten rasch immer verwickelter werden. Wir haben z. B. links: f(u) = uph(u), f2(u) = uph(u)ph{uph(u)}, f3(u) = uph(u)ph{uph(u)}ph[uph(u)ph{uph(u)}], ... und rechts: f(u) = u + ps(u), f2(u) = u + ps(u) + ps{u + ps(u)}, f3(u) = u + ps(u) + ps{u + ps(u)} + ps[u + ps(u) + ps{u + ps(u)}] ....
Obschon die Namen für "das Bisherige" immer länger werden, steigern sich indessen keineswegs auch die Berechnungsschwierigkeiten oder Mühen. Die Bildung von fr + 1(u) zu schon gewonnenem fr(u) bleibt ebensoleicht und erfordert wesentlich nicht mehr Arbeit, wie die Berechnung der Funktion ph resp. ps selbst für ein irgendwie gegebnes Argument.
Die unbegrenzt fortgesetzten Iterationen der Funktion f(u) präsen- tiren sich also hier in der Form eines identischen unendlichen Pro- duktes, resp. einer identischen unendlichen Summenreihe, und folglich sind sie (nach oben bewiesenem allgemeinern Satze) konvergent; es hat finfinity(u) einen ganz bestimmten Wert.
Die "Probe 1" für unser Th. 1) verlangt zu zeigen, dass dieses eine Wurzel der aufzulösenden Subsumtion angibt, wie immer der Wert des arbiträren Parameters u auch gewählt sein mochte.
Die "Probe 2" verlangt zu zeigen, dass wenn von vornherein
xph(x)
ps(x) x
ist, dann auch finfinity(x) = x selbst sein müsse.
Letzteres ist leicht, in Anbetracht, dass die Voraussetzungen sich auch äquivalent umschreiben lassen in:
x = xph(x)
x + ps(x) = x
mithin in: f(x) = x.
[Diese Wahrnehmung hat auch zur Entdeckung des iterirt die Lösung liefernden f(u) naheliegend geführt.]
Ist aber für irgend eine Funktion f(u) und einen bestimmten Argu- mentwert x von u wie vorstehend f(x) = x, so muss auch sein f2(x) = f{f(x)} = f(x) = x, etc.,
Fünfte Vorlesung.
Beim successiven Berechnen der Iterationen von f tritt also zu dem schon vorhandnen Ausdrucke von fr(u) immer nur ein Faktor: „φ von allem Bisherigen“, resp. ein Summand: „ψ von allem Bisherigen“ hinzu und ist das Bildungsgesetz der iterirten Funktionen leicht zu über- schauen, wennschon die Ausdrücke für dieselben bei wachsendem Ex- ponenten rasch immer verwickelter werden. Wir haben z. B. links: f(u) = uφ(u), f2(u) = uφ(u)φ{uφ(u)}, f3(u) = uφ(u)φ{uφ(u)}φ[uφ(u)φ{uφ(u)}], … und rechts: f(u) = u + ψ(u), f2(u) = u + ψ(u) + ψ{u + ψ(u)}, f3(u) = u + ψ(u) + ψ{u + ψ(u)} + ψ[u + ψ(u) + ψ{u + ψ(u)}] ….
Obschon die Namen für „das Bisherige“ immer länger werden, steigern sich indessen keineswegs auch die Berechnungsschwierigkeiten oder Mühen. Die Bildung von fr + 1(u) zu schon gewonnenem fr(u) bleibt ebensoleicht und erfordert wesentlich nicht mehr Arbeit, wie die Berechnung der Funktion φ resp. ψ selbst für ein irgendwie gegebnes Argument.
Die unbegrenzt fortgesetzten Iterationen der Funktion f(u) präsen- tiren sich also hier in der Form eines identischen unendlichen Pro- duktes, resp. einer identischen unendlichen Summenreihe, und folglich sind sie (nach oben bewiesenem allgemeinern Satze) konvergent; es hat f∞(u) einen ganz bestimmten Wert.
Die „Probe 1“ für unser Th. 1) verlangt zu zeigen, dass dieses eine Wurzel der aufzulösenden Subsumtion angibt, wie immer der Wert des arbiträren Parameters u auch gewählt sein mochte.
Die „Probe 2“ verlangt zu zeigen, dass wenn von vornherein
x⋹φ(x)
ψ(x) ⋹x
ist, dann auch f∞(x) = x selbst sein müsse.
Letzteres ist leicht, in Anbetracht, dass die Voraussetzungen sich auch äquivalent umschreiben lassen in:
x = xφ(x)
x + ψ(x) = x
mithin in: f(x) = x.
[Diese Wahrnehmung hat auch zur Entdeckung des iterirt die Lösung liefernden f(u) naheliegend geführt.]
Ist aber für irgend eine Funktion f(u) und einen bestimmten Argu- mentwert x von u wie vorstehend f(x) = x, so muss auch sein f2(x) = f{f(x)} = f(x) = x, etc.,
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Fünfte Vorlesung.
Beim successiven Berechnen der Iterationen von f tritt also zu dem
schon vorhandnen Ausdrucke von fr(u) immer nur ein Faktor: „φ von
allem Bisherigen“, resp. ein Summand: „ψ von allem Bisherigen“ hinzu
und ist das Bildungsgesetz der iterirten Funktionen leicht zu über-
schauen, wennschon die Ausdrücke für dieselben bei wachsendem Ex-
ponenten rasch immer verwickelter werden. Wir haben z. B. links:
f(u) = uφ(u), f2(u) = uφ(u)φ{uφ(u)},
f3(u) = uφ(u)φ{uφ(u)}φ[uφ(u)φ{uφ(u)}], …
und rechts:
f(u) = u + ψ(u), f2(u) = u + ψ(u) + ψ{u + ψ(u)},
f3(u) = u + ψ(u) + ψ{u + ψ(u)} + ψ[u + ψ(u) + ψ{u + ψ(u)}] ….
Obschon die Namen für „das Bisherige“ immer länger werden,
steigern sich indessen keineswegs auch die Berechnungsschwierigkeiten
oder Mühen. Die Bildung von fr + 1(u) zu schon gewonnenem fr(u)
bleibt ebensoleicht und erfordert wesentlich nicht mehr Arbeit, wie die
Berechnung der Funktion φ resp. ψ selbst für ein irgendwie gegebnes
Argument.
Die unbegrenzt fortgesetzten Iterationen der Funktion f(u) präsen-
tiren sich also hier in der Form eines identischen unendlichen Pro-
duktes, resp. einer identischen unendlichen Summenreihe, und folglich
sind sie (nach oben bewiesenem allgemeinern Satze) konvergent; es hat
f∞(u) einen ganz bestimmten Wert.
Die „Probe 1“ für unser Th. 1) verlangt zu zeigen, dass dieses
eine Wurzel der aufzulösenden Subsumtion angibt, wie immer der
Wert des arbiträren Parameters u auch gewählt sein mochte.
Die „Probe 2“ verlangt zu zeigen, dass wenn von vornherein
x⋹φ(x) ψ(x) ⋹x
ist, dann auch f∞(x) = x selbst sein müsse.
Letzteres ist leicht, in Anbetracht, dass die Voraussetzungen sich
auch äquivalent umschreiben lassen in:
x = xφ(x) x + ψ(x) = x
mithin in: f(x) = x.
[Diese Wahrnehmung hat auch zur Entdeckung des iterirt die Lösung
liefernden f(u) naheliegend geführt.]
Ist aber für irgend eine Funktion f(u) und einen bestimmten Argu-
mentwert x von u wie vorstehend f(x) = x, so muss auch sein
f2(x) = f{f(x)} = f(x) = x, etc.,
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 188. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/202>, abgerufen am 18.02.2025.
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